Sistemi linearnih jednaina Gausova metoda Kramerova metoda Matrina

Sistemi linearnih jednačina Gausova metoda Kramerova metoda Matrična metoda

LINEARNE JEDNAČINE • Linearna jednačina je svaka jednačina sa nepoznatom koja se ekvivalentnim transformacijama svodi na jednačinu oblika • Ako je , jednačina ima jedinstveno rešenje • Ako je i , jednačina nema rešenja (jednačina je nemoguća). • Ako je ( i је rešenje ). , jednačina ima beskonačno mnogo rešenja

Primer Rešiti jednačinu Rešenje:

SISTEM DVE JEDNAČINE SA DVE NEPOZNATE Rešiti sistem dve linearne jednačina sa dve nepoznate znači naći par brojeva koji zadovoljavaju obe jednačine. Elementarne metode za rešavanje ovih sistema su: metoda zamene metoda suprotnih koeficijenata.

Primer Rešiti sistem jednačina metodom zamene Rešenje:

Primer Rešiti sistem jednačina metodom suprotnih koeficijenata Rešenje:

SISTEMI LINEARNIH JEDNAČINA GAUSOVA METODA -GAUSOV ALGORITAM Dat je sistem od gde je linearnih jednačina sa nepoznatih. ili Gausova metoda se sastoji u sukcesivnom eliminisanju nepoznatih iz sistema i transformacijom u trougaoni ili trapezni ekvivalentni sistem iz koga se dobija rešenje ili se ustanovi da sistem nema rešenja.

GAUSOVA METODA • Pretpostavimo da je koeficijent jednačina sistema osim prve. • Da bismo to realizovali potrebno je prvu jednačinu pomnožiti sa i dodati je drugoj jednačini, zatim prvu jednačinu pomnožiti sa i dodati je trećoj jednačini, itd. Na taj način se umesto polaznog sistema dobija ekvivalentan sistem: Isključimo nepoznatu iz svih

Ako bi produžili isti postupak k-1 puta dobili bi sistem Ako su svi koeficijenti dobijenog sistema jednaki nuli, a slobodni član nije nula, sistem nema rešenja. Ako je k=n sistem ima jedinstveno rešenje. Ako je k<n sistem ima beskonačno rešenja. Tada su slobodne promenljive koje prenosimo na desnu stranu, a zatim se određuju vezane promenljive

Primer Gausovom metodom rešiti sistem jednačina Rešenje: Nakon množenja prve jednačine redom sa -2 i 2 jednačini dobijamo sistem dodavanjem redom drugoj i trećoj

Dodavanjem druge jednačine trećoj dobijamo trougaoni sistem Iz poslednje jednačine neposredno dobijamo da je z=3, zamenom te vrednosti u drugu jednačinu dobijamo da je y=2, a konačno zamenom obe ove izračunate vrednosti u prvu jednačinu dobijamo da je x=1. Dakle rešenje je

Primer Gausovom metodom rešiti sistem jednačina Rešenje : Nakon množenja prve jednačine redom sa -2 trećoj jednačini dobijamo sistem i -10 i dodavanjem redom drugoj i Množenjem druge jednačine sa -7 i dodavanjem trećoj dobijamo sistem

Ovo je neodređen sistem, koji ima beskonačno mnogo rešenja. Stavljajući da je z=t, gde je t bilo koji realan broj, neposredno se dobija rešenje

KRAMEROVA METODA (Kramer 1704 -1752) Dat je sistem od 3 jednačine sa 3 promenljivih (kvadratni sistem) Uočimo sledeće determinante:

• Ako je determinanta sistema , tada sistem ima jedinstveno rešenje D=0 , a bar jedna od determinanti sistem nema rešenja. • Ako je determinanta sistema D=0 i sve determinante sistem je neodređen i ako ima rešenja može ih imati samo beskonačno mnogo.

Primer Rešiti sistem jednačina Rešenje:

Primer Rešiti sistem jednačina Rešenje: Kako je prema Kramerovoj teoremi sistem nema rešenja.

Primer Rešiti sistem jednačina Rešenje: Kako je zaključujemo da je sistem neodređen i transformiše se u ekvivalentni sistem koji ima beskonačno mnogo rešenja. Opšte rešenje je

Primer 9 Rešiti sistem jednačina Rešenje: Za

Za Sistem je neodređen. Zamenom vrednosti a=1 u polazni sistem dobijamo sistem od 3 iste jednačine, koji se time svodi na jednu jednačinu oblika X+Y+Z=1. Ako izaberemo da je X=t i Y=k, gde su t i k proizvoljni realni brojevi, za promenljivu z dobijamo Z=1 -t-k. Dakle rešenje sistema je uređena trojka (X, Y, Z)=(t, k, 1 -t-k)

ZADACI ZA VEŽBU 1. Gausovom metodom rešiti sistem jednačina 2. Kramerovom metodom rešiti sistem jednačina 3. Kramerovom metodom rešiti sistem jednačina i diskutovati rešenja u zavisnosti od parametra a

MATRIČNA METODA ZA REŠAVANJE SISTEMA LINEARNIH JEDNAČINA • Dat je sistem od 3 jednačine sa 3 promenljive( kvadratni sistem) • Sistem se može napisati u matričnom obliku kao AX=B gde je Pod pretpostavkom da je matrica A regularna, tj. da joj je determinanta različita od nule, sistem ima jedinstveno rešenje, koje dobijamo rešavanjem jednačine

Primer Matričnom metodom rešiti sistem jednačina Rešenje:

Primer Sistem rešiti pomoću sve 3 metode a) Rešiti sistem jednačina Gausovom metodom

b) Rešiti sistem jednačina Kramerovom metodom

• Kako je • po Kramerovim formulama dobijamo rešenje

c) Matričnom metodom rešiti sistem jednačina

HOMOGENI SISTEM LINEARNIH JEDNAČINA Sistem jednačina kod koga je slobodni član jednak nuli naziva se homogeni sistem. Svaki homogeni sistem ima trivijalno rešenje (0, 0, 0). Da bi homogeni sistem imao i netrivijalnih rešenja potrebno je da detminanta sistema bude jednaka nuli.

Primer Rešiti homogeni sistem jednačina Rešenje: Sistem ima samo trivijalno rešenje (0; 0, 0) jer je determinanta sistema

Primer Odrediti vrednost parametra a tako sa homogeni sistem jednačina ima i netrivijalna rešenja. Rešenje: Vrednost determinante sistema je: Da bi sistem imao i netrivijalnih rešenja mora da bude ispunjeno da je D=0, tj. 9 -9 a=0, odakle dobijamo da je a=1.

Zadaci za vežbu 1. Gausovom metodom rešiti sistem jednačina 2. Kramerovom metodom rešiti sistem jednačina 3. Rešiti homogeni sistem jednačina i diskutovati rešenja u zavisnosti od paramerta. 4. Rešiti sistem jednačina matričnom metodom

Teorijska pitanja 1. Matrična metoda za rešavanje sistema jednačina 2. Homogeni sistem jednačina