UNIVERSIDADE FEDERAL DE CAMPINA GRANDE 4 Semana Matemtica

UNIVERSIDADE FEDERAL DE CAMPINA GRANDE 4ª Semana Matemática Introdução a Programação no MATLAB 29/10/2007 Galdino, J. F 1

Currículo Resumido 2003. 1 - Graduando em Engenharia Elétrica; 2004. 1 a 2006. 2 - Monitor de Cálculo 1 pelo DME; 2007 – Membro do Projeto Olhos Digitais; 2007 – Participação no IV Encontro de Extensão da UFCG (Atual) - Monitor Voluntário do Laboratório de Princípios de Comunicações; (Atual) – Professor Voluntário de Matemática do PVS (Pré Vestibular Solidário) 2007. E-mail: josenildofg@gmail. com 2

Sumário n n n n Introdução ao MATLAB Estruturas de Controle Arquivos de Comando M-File Funções de Entrada e Saída Introdução a Funções MATLAB Toolboxes Toolbox de Matemática Simbólica Programas em MATLAB 3

Introdução ao MATLAB(MATrix LABoratory): Programa de computador especializado e otimizado para cálculos científicos e de engenharia. n Surgiu em 1970 com o intuito de auxiliar os cursos de Teoria Matricial, Álgebra Linear e Analise Numérica. n 4

Introdução ao MATLAB n Vantagens ¨ Facilidade de Uso ¨ Independência de Plataforma ¨ Funções Predefinidas ¨ Interface Gráfica de Usuário ¨ Compilador MATLAB n Desvantagens ¨ Linguagem Interpretada ¨ Custo 5

6

Navegador de Ajuda Espaço de Lançamento Janela de Comandos MATLAB Navegador de Diretório Corrente Janela de Histórico de Comandos 7

Introdução ao Matlab n Informação do Sistema: >>computer >>version >>ver >>license 8

Introdução ao Matlab MATLAB comand pi Comentários format short 3. 1416 5 dígitos format long 3. 14159265358979 16 dígitos 3. 1416 e+000 5 dígitos + expoente format short e format long e 3. 141592653589793 e 16 dígitos + expoente +000 format short g 3. 1416 short ou short e format long g 3. 14159265358979 long ou long e 9

Introdução ao Matlab MATLAB comand format hex format bank format + format rat pi Comentários 400921 fb 54442 d 18 Hexadecimal, ponto flutuante 3. 14 2 digitos decimais + positivo(+), negativo( -) ou zero(0) 355/113 razão aproximada 10

Introdução ao Matlab n Comandos básicos: >>who -- Lista as variáveis. >>whos -- Lista e especifica as variáveis. >>clc -- Limpa a Janela de Comandos. >>clf -- Limpa figura atual >>clear -- Deleta variáveis do workspace MATLAB. >>help -- Ajuda do Matlab, documentação. >>help elfun – Lista funções do MATLAB 11

Operadores Aritméticos Forma Geral: A op B + * / ^ ‘ Soma Estrutural e Matricial Subtração Estrutural e Matricial Multiplicação Matricial Divisão Matricial à Direita Divisão Matricial à Esquerda Expoente Matricial Operador de Transposição 12

Operadores Aritméticos 13

n A + BOperadores 0 2 2 2 n Aritméticos n A+C Operação ilegal A–B 2 -2 2 0 n A+D 6 5 7 6 14

Operadores Aritméticos n A*B n -1 2 2 5 n A*C 3 8 A. * B -1 0 0 1 n A. * C Operação ilegal 15

Operadores Aritméticos n A/B n -1 2 -2 5 n AB -1 2 2 -3 A. / B -1 0 Inf 1 n A. B -1 Inf 0 1 16

Operadores Relacionais n Forma geral A op B A e B: Operandos. Pode ser uma matriz, um escalar ou uma cadeia de caracteres. Op: Operador Operação == Igual a ~= Diferente de > Maior que >= Maior que ou igual a Menor que < <= Menor que ou igual a 17

Operadores Relacionais n Os operadores <, <=, > e >= são usados para comparar a parte real dos operandos. n Os operadores == e ~= são usados para comparar a parte real e imaginária dos operandos. 18

Operadores Relacionais Expressão 5>3 ´AC’ > ‘BA´ a>b 1 + j <= 2 + 3*j x >= [3 8] a>c 2 + j == 1+ j 5 + j ~= 2 + j Resultado 1 01 10 01 0 1 a = [2 1] b = [ 1 1 ] c = [ 0 2 ] x = [ 4 2] 19

Operadores Lógicos Operação Lógica Binária Operação Lógica Unária A op B op A Operador Operação & E lógico l OU lógico xor Ou exclusivo lógico ~ Não lógico 20

Operadores Lógicos n O MATLAB utiliza a lógica positiva, ou seja, assume-se o valor verdadeiro se ele for diferente de zero e falso se ele for igual a zero. 21

Operadores Lógicos • Tabela da Verdade para Operadores Lógicos Entradas e ou xor não B A&B Al. B xor(A, B) ~A 0 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 A 22

Precedência dos operadores 1. 2. 3. 4. 5. Os operadores aritméticos são avaliados primeiro. Os operadores relacionais são avaliados da esquerda para a direita. Todos os operadores ~ são avaliados. Todos os operadores & são avaliados. Todos os operadores I são avaliados. OBS: Sempre use parênteses para indicar a ordem correta desejada de avaliação de uma expressão. 23

Operadores Lógicos Expressão ~A Al. B Bl. C 3>4&1 3 > (4 & 1) ~C Al. B&C A&C B&C Resultado 0 1 1 0 A = 1, B = 0 e C = -10 24

Operadores Lógicos -Exercícios Expressão ~A Al. B Bl. C 3>4&1 3 > (4 & 1) ~C Al. B&C A&C B&C Resultado 0 1 1 0 25

Estruturas de Controle n Controle de Fluxo O controle de fluxo é um recurso que permite que resultados anteriores influenciem operações futuras. Como em outras linguagens, o Mat. Lab possui recursos que permitem o controle de fluxo de execução de comandos, com base em estruturas de tomada de decisões. Será apresentado as seguintes estruturas de controle: ¨ if-else ¨ switch ¨ while ¨ for 26

Estruturas de Controle n Simbologia Inicio e fim de uma estrutura de uma controle Símbolo de decisão Indica que ações serão executadas 27

Estruturas de Controle n Algoritmo Série de ações executadas em uma ordem especifica. n Pseudocódigo ¨ Linguagem artificial e informal de representar o código de um programa. ¨ Útil para desenvolver algoritmos que serão convertidos em programas estruturados no Matlab. 28

Estruturas de Controle if Estrutura de seleção para escolha de cursos de ação específicos. A estrutura de seleção if executa uma ação indicada só quando a condição é true (Verdadeira); caso contrário, a ação é saltada. 29

Estruturas de Controle if Testa a condição Verdadeira Condição Executa uma ação Falsa 30

Estruturas de Controle n Pseudocódigo Se a nota do estudante for maior ou igual que 7. 0 Imprima “Aprovado” n Código no Matlab if nota >= 7 fprintf(‘Aprovado’); end 31

Estruturas de Controle If-else Testa a condição Falsa Executa uma ação Verdadeira Condição Executa uma ação 32

Estruturas de Controle n Pseudocódigo Se a nota do estudante for maior ou igual que 7. 0 Imprima “Aprovado” senão Imprima “Reprovado” n Código no Matlab if nota >= 7 fprintf(‘Aprovado’); else fprintf(‘Reprovado’); end 33

Estruturas de controle Laços são construções MATLAB que nos permitem executar uma sequência de declarações mais de uma vez. Existem dois tipos de laços: n while n for 34

Estruturas de controle while: é um bloco de declarações que se repete indefinidamente, enquanto uma condição for satisfeita. A forma geral do while é: while expressão. . . Bloco de código. . . end 35

Estruturas de Controle while Testa a condição Condição Verdadeira Executa uma ação Falsa 36

Estruturas de Controle n switch ¨ Estrutura de seleção múltipla. ¨ Consiste de uma série de rótulos case e um otherwise. 37

Estrutura de Controle Verdadeiro Case (‘a’) Ação(ões) do case a Falso Verdadeiro Case (‘b’) Ação(ões) do case b Falso . . Falso Otherwise 38

Estruturas de Controle n Laço for : Executa um bloco de declarações durante um número especificado de vezes. for indice = expressão Declaração 1. . Corpo Declaração n end 39

Estrutura de Controle n: número de iterações do laço for cont: variável de controle cont = 1 Inicialização da variável de controle cont = 2 cont = 3 cont <= n Verdadeiro Corpo do laço cont = cont + 1 Falso 40

Estruturas de Controle n Exemplo: Calcular a soma dos 10 primeiros inteiros. soma = 0; % Inicializa a variável soma com zero for k = 1: 10 soma = soma + k; end fprintf('A soma dos dez primeiros inteiros eh: %. 2 f', soma); 41

Estruturas de Controle n Exemplo: Calcular o fatorial de um número n. n = 5; % Inicializa a variável soma com zero for k = 1: n % Laço de repetição: n vezes fatorial = fatorial*k; % Cálculo do fatorial = 1; end fprintf(‘O fatorial de %. 2 f eh %. 2 f', n, fatorial); 42

Estruturas de Controle n Exemplo: Calcular a soma dos 5 primeiros inteiros impares. soma = 0; % Inicializa a variável soma com zero for k = 1: 2: 9 soma = soma + k; end fprintf('A soma dos 5 primeiros inteiros impares eh: %. 2 f', soma); 43

Estruturas de Controle for X while n while: utilizado para repetir um trecho de código quando não é desconhecido o número de iterações do laço. n for: utilizado para repetir um trecho de código quando é conhecido o número de iterações do laço. 44

Estruturas de Controle n Break ¨ Usada para controlar a operação dos laços for e while ¨ Encerra a execução do laço e passa o controle para a próxima declaração logo após o fim do laço. 45

Estruturas de Controle % Uso do break for k = 1: 5 if k == 3; break; end fprintf(‘k = %dn’, k); end disp(‘Fim do laço!’); 46

Estruturas de Controle k=1 k=2 Fim do laço! 47

Estruturas de Controle n Continue ¨ Usada para controlar a operação dos laços for e while ¨ Termina a passagem corrente pelo laço e retorna o controle para o inicio do laço. 48

Estruturas de Controle % Uso do continue for k = 1: 5 if k == 3; continue; end fprintf(‘k = %dn’, k); end disp(‘Fim do laço!’); 49

Estruturas de Controle k=1 k=2 k=4 k=5 Fim do laço! 50

Arquivos de Comando M-File Geralmente, utiliza-se o prompt do MATLAB para introduzir os comandos. Entretanto este procedimento simples para execução de comandos no prompt se torna altamente ineficiente quando a complexidade do problema aumenta. Em suma, podemos dizer que para problemas simples podemos usar o prompt do MATLAB e para os mais difíceis deve-se utilizar o script-file ou M-file, que é também conhecido como arquivo de comando ou arquivo M. 51

Arquivos de Comando M-File Erro comum de Programação: Os nomes dos arquivos de comando precisam sempre terminar com a extensão ‘. m’. Exemplos: programa 1. m, exemplo 1. m, etc. 52

Arquivos de Comando M-File n Como Criar um Arquivo M (M-file) ¨ Para criar um arquivo M-file, siga os seguintes passos: ¨ Inicialmente, você deve abrir o programa MATLAB, dando um duplo click no ícone do MATLAB que está na área de trabalho. ¨ Selecione o menu File (dê um click). ¨ Selecione o item New e em seguida aponte para M-file e dê um click. 53

Arquivos de Comando M-File Exenplo de script-file. % script-file: circulo. m % Este programa calcula a área de um circulo raio = 2. 5; area = pi*raio^2; fprintf(‘Area do circulo = %. 3 f ', area); 54

Arquivos de Comando M-File n Como Executar um Arquivo M (M-file) ¨ Para executar um arquivo M-file no MATLAB é preciso gravar o arquivo correspondente. Para isto, selecione o item Save Workspace As do menu File. Dê preferência salvar o arquivo no diretório corrente do MATLAB, ou seja, na pasta work. Para executar o arquivo M, digite no prompt do MATLAB o nome do arquivo salvado anteriormente, sem a extensão ‘. m’. Feito isso o MATLAB gera o executável do programa. 55

Arquivos de Comando M-File Para exemplificar, considere o arquivo circulo. m. Digite no prompt do MATLAB o nome do arquivo circulo. Será apresentado o executável do programa. >> circulo Area do circulo = 19. 635 56

Arquivos de Comando M-File Resumindo, pode-se dizer que um programa em MATLAB consiste na criação do arquivo M-file utilizando-se o editor de texto e sua respectiva chamada por linha de comando no prompt do MATLAB. 57

Introdução a Funções MATLAB n Funções Predefinidas MATLAB ¨ Fornece uma enorme variedade de funções prontas para uso. ¨ Funções trigonométricas, logarítmicas, raízes. ¨ Funções hiperbólicas, funções de Bessel, etc. As funções MATLAB podem devolver mais de um resultado para o programa que as ativa. 58

Introdução a Funções MATLAB n Uso da função max Retorna o valor máximo de um vetor de entrada, podendo retornar a localização de onde ocorreu o máximo. maxval = max([1 2 -4 5]) maxval = 5 [maxval index] = max([1 2 -4 5]) maxval = 5 index = 4 59

Introdução a Funções MATLAB n Funções MATLAB com Matrizes como entrada. x = [ 0 pi/2 pi 3*pi/2 2*pi] % Entrada y = sin(x) % Saída y = [ 0 1 0 -1 0] % Resultado 60

Introdução a Funções MATLAB Agora é com você!!! x = [ 0 pi/2 pi 3*pi/2 2*pi] y = cos(x) 61

Introdução a Funções MATLAB Agora é com você!!! Calcule os valores de sin x, cos x e tan x, para x = 30º, 45º e 60º. 62

Introdução a Funções MATLAB n Funções Elementares 63

Introdução a Funções MATLAB Funções Definidas pelo usuário. function [outarg 1, outarg 2, . . . ] = fname(inarg 1, inarg 2, . . . ) % H 1 comentário % Mais um comentário. . . (Código executável). . . (return) n 64

Introdução a Funções MATLAB y B yb d A C ya xa xb x D: distancia entre os pontos A e B 65

Introdução a Funções MATLAB function [resultado] = distancia 2(xa, ya, xb, yb) % DISTANCIA 2 Calcula a distancia entre dois pontos % Function DISTANCIA 2 calcula a distancia entre dois pontos % A(xa, ya) e B(xb, yb) no sistema de coordenadas cartesiano. % % Chamada a função % % res = distancia 2(xa, ya, xb, yb) % % Definiçao das variaveis % xa: abscissa do ponto A % ya: ordenada do ponto A % xb: abscissa do ponto B % yb: ordenada do ponto B % resultado: Distancia entre os pontos A e B. 66

Introdução a Funções MATLAB % OBSERVAÇOES % Data Programador Descriçao % 05/10/07 Josenildo F. Galdino Codigo Original % Calculo da distancia resultado = sqrt((xb - xa). ^2 + (yb - ya). ^2) 67

Introdução a Funções MATLAB Uso da função distancia 2. % Script file: teste_distancia 2. m % Este programa testa a funçao distancia 2 % Data % 05/10/07 Programador Descriçao Josenildo F. Galdino Codigo Original % Definiçao das variaveis: % xa: abscissa do ponto A % ya: ordenada do ponto A % xb: abscissa do ponto B % yb: ordenada do ponto B % resultado: distancia entre os dois pontos A e B. 68

Introdução a Funções MATLAB % Dados fornecidos pelo usuario disp('Calcule a distancia entre os pontos A e B'); xa = input('Forneca a abscissa do ponto A: '); ya = input('Forneca a ordenada do ponto A: '); xb = input('Forneca a abscissa do ponto B: '); yb = input('Forneca a ordenada do ponto B: '); % Uso da funçao definida pelo programador resultado = distancia 2(xa, ya, xb, yb); % Chamada a funçao. % Exibiçao do resultado fprintf('A distancia entre os pontos A e B e %fn', resultado); 69

Introdução a Funções MATLAB >> teste_distancia 2 Calcule a distancia entre os pontos A e B Forneca a abscissa do ponto A: 1 Forneca a ordenada do ponto A: 1 Forneca a abscissa do ponto B: 2 Forneca a ordenada do ponto B: 2 resultado = 1. 4142 A distancia entre os pontos A e B e 1. 414214 >> 70

Toolboxes ¨ ¨ ¨ ¨ Statistics Toolbox Symbolic Math Toolbox Partial Diferrential Equation Toolbox Curve Fitting Toolbox Signal Processing Toolbox Control System Toolbox Communication Toolbox 71

Symbolic Math Toolbox n O Toolbox de Matemática Simbólica disponibiliza uma coleção de diversas funções do MATLAB utilizadas para calcular operações básicas, tais como: derivadas, limites, integrais, expansão da serie de Taylor, e outras operações. A manipulação simbólica no MATLAB pode ser vista como uma evolução do modo como você utiliza o MATLAB para processar números. 72

Symbolic Math Toolbox n A grande vantagem de se utilizar tal processo é que podemos obter resultados mais exatos, eliminando-se assim a imprecisão introduzida pelos valores numéricos. Podemos resolver derivadas, integrais, equações diferenciais e algébricas utilizando-se esta poderosa ferramenta. 73

Symbolic Math Toolbox EXPRESSÕES SIMBÓLICAS Deve-se entender por Expressão simbólica as expressões que contêm objetos simbólicos que podem representar números, funções e operações e variáveis. Dica: As variáveis simbólicas não precisam de um valor numérico. Esta variável simbólica representa apenas um símbolo de uma expressão simbólica. 74

Symbolic Math Toolbox EXPRESSÕES SIMBÓLICAS Exemplos: 75

Symbolic Math Toolbox O MATLAB disponibiliza várias funções que trabalham com funções polinomiais e que podem ser utilizadas para representar funções polinomiais. Dentre elas, encontram-se as seguintes funções: ¨ collect ¨ expand ¨ factor ¨ simplify ¨ simple 76

Symbolic Math Toolbox collect Organiza os coeficientes n Sintaxe collect( f ) mostra um polinômio f em sua variável simbólica, seja x, e organiza todos os coeficientes com a mesma potência de x. Um segundo argumento pode especificar a variável que se deve organizar se houver mais de uma variável simbólica possível. 77

Symbolic Math Toolbox collect(f) 1) Escreva a função y = (x+1)^3 na forma polinomial >> clear % Limpa a Janela de Comandos >> x = sym('x'); % Define a variavel simbolica “x” >> y = (x + 1)^3; % Define a função y = f(x) >> collect(y); % Organiza os coeficientes >> pretty(ans) % Exibe o resultado x 3 + 3 x 2 + 3 x + 1 78

Symbolic Math Toolbox Agora é com você!!! Escreva a função y = (x + 1)(x + 2) na forma polinomial. 79

Symbolic Math Toolbox n collect( f, nome da variável simbólica) A função collect neste caso aceita um segundo argumento que especifica que variável simbólica deve ser utilizada para organizar o polinômio. 80

Symbolic Math Toolbox collect(f, nome da variável simbólica) 2) Escreva a função f(x, z) = (x + 1)^3 + z na forma polinomial. >> x = sym('x'); % Define a variável simbólica x >> z = sym(‘z’); % Define a variável simbólica z >> y = (x +1)^3 + z; % Define a função y = f(x, z) >> collect(y, x); % Organiza os coeficientes em x >> pretty(ans) % Exibe o resultado x 3 + 3 x 2 + 3 x + 1 + z 81

Symbolic Math Toolbox Agora é com você!!! Escreva a função y = (x + 1)^3 + (z + 1)^2 na forma polinomial, em termos de z. 82

Symbolic Math Toolbox n expand realiza a distribuição de produtos para polinômios e aplica outras identidades que envolvem funções de somas, identidades trigonométricas, exponenciais e logaritmos. Sintaxe n expand( f ) 83

Symbolic Math Toolbox expand(f) 3) Escreva a função y = (x+1)^3 na forma polinomial >> clear % Limpa a Janela de Comandos >> x = sym('x'); % Define a variavel simbolica “x” >> y = (x + 1)^3; % Define a função y = f(x) >> expand(y); % Realiza o produto polinomial >> pretty(ans) % Exibe o resultado x 3 + 3 x 2 + 3 x + 1 84

Symbolic Math Toolbox expand X collect Além de representar funções polinomiais a função é bastante útil na manipulação de expressões simbólicas trigonométricas, exponenciais, hiperbólicas, entre outras funções. Esta é uma das características marcantes que diferenciam a função expand da collect. A função expand é bem mais robusta, porque trabalha com muitos tipos de funções, enquanto a função collect é restrita apenas a funções polinomiais. Podemos, dizer que a função expand é uma evolução da função collect, agregando-se novas funcionalidades. 85

Symbolic Math Toolbox expand 4) Obtenha a forma expandida trigonométrica cos(x + y). da função x = sym(‘x’); % Cria a variável simbólica x. y = sym(‘y’); % Cria a variável simbólica y. expand(cos(x+y)) % Realiza a operação ans = % Variável padrão do matlab cos(x)*cos(y) - sin(x)*sin(y) % Resultado 86

Symbolic Math Toolbox Agora é com você!!! Obtenha a forma expandida da função exponencial exp(x + y). 87

Symbolic Math Toolbox Factor Fatoração n Sintaxe factor(X) Esta função obtém a forma fatorada de um polinômio. Na sintaxe da função X, pode ser apenas a expressão simbólica. Ou um array simbólico contendo vários expressões simbólicas. No caso de utilizar um array, a função factor retorna um array com as expressões simbólicas correspondentes. 88

Symbolic Math Toolbox n Uso da Função factor ¨ Calcular os fatores primos de um número inteiro. ¨ Obter a forma polinomial fatorada. ¨ Simplificar expressões simbólicas. 89

Symbolic Math Toolbox Factor(x) 5) Calcule os fatores dos seguintes números 15 e 50. >> factor(15) ans = 3 5 >> factor(50) ans = 2 5 5 90

Symbolic Math Toolbox Factor n Observação: O maior valor inteiro que a função factor aceita é um numero inteiro de até 16 dígitos, se o número tiver uma quantidade de dígitos superior a 16. Devemos usar o sym para criar um elemento. 91

Symbolic Math Toolbox Factor(x) 5) Calcule os fatores do número >> factor(15) ans = 3 5 >> factor(50) ans = 2 5 5 92

Symbolic Math Toolbox Factor(x) 5) Calcule os fatores do número 1234567890 >> factor(sym('1234567890')) ans = (2)*(3)^2*(5)*(101)*(3803)*(3607)*(27961)*(3541) 93

Symbolic Math Toolbox 6) Obtenha a forma fatorada da equação y = x^3 +3*x^2 + 3*x + 1 >> x = sym('x'); % Cria a variável simbólica x. >> y = x^3 + 3*x^2 + 3*x + 1 % Define a função y = f(x) >> factor(y); % Fatoração >> pretty(ans) % Exibe o resultado (x + 1)^3 94

Symbolic Math Toolbox Agora é com você!!! Obtenha a forma fatorada da equação y = x^2 + 3*x + 2 95

Symbolic Math Toolbox Simplify Simplificação simbólica. n Sintaxe: R = simplify(S) A função simplify é uma ferramenta poderosa, que em geral aplica várias identidades algébricas que envolvem somas, potência inteira, raízes quadradas e potência fracionária, como também vários identidades que envolvem funções trigonométricas, exponencial e funções de Bessel, função gama, etc. 96

Symbolic Math Toolbox 7) Simplifique a seguinte expressão: >> x = sym('x'); % Cria a variável simbólica x. >> y = (x^3 + 8)/(x^4 - 16); % Define a função y = f(x) >> simplify(y); % Simplificação simbólica >> pretty(ans) % Exibe o resultado x^2 - 2 x + 4 ---------x^3 - 2 x^2 + 4 x - 8 97

Symbolic Math Toolbox Agora é com você!!! Simplifique a seguinte expressão: 98

Symbolic Math Toolbox 8) Simplifique a seguinte expressão >> x = sym(‘x’); % Cria a variável simbólica x. >> y = cos(x)^2 + sin(x)^2; % Define a função y = f(x) >> simplify(y); % Simplificação simbólica >> pretty(ans) % Exibe o resultado 1 99

Symbolic Math Toolbox 9) Simplifique a seguinte expressão: >> syms x y positive % Cria as variáveis simbólicas x e y, ambas positivas. >> simplify(log(x*y)); % Simplificação simbólica >> pretty(ans) % Exibe o resultado log(x) + log(y) 100

Symbolic Math Toolbox Simple Busca a forma mais simplificada para a expressão simbólica. n Sintaxe: r = simple( S ) [r, how] = simple( S ) A função simple(S) tenta várias simplificações algébricas diferentes na expressão simbólica S, exibe a representação de menor comprimento para S. S é um sym. Se S for uma matriz, o resultado indica a representação mais curta da matriz inteira que necessariamente não é a representação mais curta de cada elemento individual. 101

Symbolic Math Toolbox 10 ) Simplifique a expressão y = (x + 1)(x + 2) >> x = sym(‘x’); % Cria a variável simbólica x. >> simple((x+1)(x+2)) % Simplificação ans = x^2+3*x+2 102

Symbolic Math Toolbox Agora é com você!!! Simplifique a expressão 103

Symbolic Math Toolbox pretty Esta função imprime uma expressão simbólica. n Pretty(expressão simbólica). A grande vantagem do uso da função pretty quando trabalha-se com matemática simbólica é que a exibição da expressão simbólica é a mais clara possível. Dica: Ao trabalhar com matemática simbólica, sempre use a função pretty, para tornar mais legível a expressão simbólica mostrada na tela. 104

Symbolic Math Toolbox n LIMITES 105

Symbolic Math Toolbox Limites % --------------------------------------------% Scripte file: limites. m % Este programa calcula o limite de algumas funções. % -------------------------------------------% DESCRIÇAO % -------------------------------------------% DATA PROGRAMADOR DESCRIÇAO DO CODIGO % 10/10/07 Josenildo F. Galdino Código Original %-------------------------------------------- 106

Symbolic Math Toolbox syms x a; f = 1/(x^2); pretty(f); limit(f, 2) % Cria as variáveis simbólicas x e a. % Definição da função f(x) % Exibição da função % Calcula o limite quando x tende a 2. f 1 = (25*x^3 + 2)/(75*x^7 -2); % Definição da função f 1(x) pretty(f 1) % Exibição da função. limit(f 1) % Calcula o limite quando x tende a 0. 107

Symbolic Math Toolbox f 2 = (25*x^3 + 2)/(75*x^7 -2); % Definição da função f 2(x) pretty(f 2) % Exibição da função limit(f 2) % Calcula o limite quando x tende a 0. f 3 = (x^2 - 2)/(x - 2); pretty(f 3) limit(f 3, 2) % Definição da função f 3(x) % Exibição da função % Calcula o limite quando x tende a 2. f 4 = (x^2 - a^2)/(x^2 + 2*a*x + a^2); % Definição da função f 3(x) pretty(f 4) % Exibição da função limit(f 4, a) % Calcula o limite quando x tende a a. 108

Symbolic Math Toolbox g = sin(2*x)/x; pretty(g) limit(g) % Definição da função g(x) % Exibição da função % Calcula o limite quando x tende a 0. g 1 = sin(5*x)/x; pretty(g 1) limit(g 1) % Definição da função g 1(x) % Exibição da função % Calcula o limite quando x tende a 0. 109

Symbolic Math Toolbox g 2 = (sin(5*x) - sin(3*x))/x; % Definição da função g 2(x) pretty(g 2) % Exibição da função limit(g 2) % Calcula o limite quando x tende a 0. g 3 = (1 - sqrt(1 - x^2))/(x^2); % Definição da função g 3(x) pretty(g 3) % Exibição da função limit(g 3) % Calcula o limite quando x tende a 0. 110

Symbolic Math Toolbox n DERIVADAS 111

Symbolic Math Toolbox DERIVADAS >> syms x n; % Cria a variável simbólica x. >> p = x^3 + 4*x^2 -7*x -10; % Define a função f(x). >> d = diff(p) d= 3*x^2+8*x-7 >> e = diff(p, 2) e= 6*x+8 >> f = diff(p, 3) f= 6 % Calcula a derivada de f(x). % Calcula a 2ª derivada de f(x). % Calcula a 3ª derivada de f(x). 112

Symbolic Math Toolbox DERIVADAS syms x n >> g = x^n; >> h = diff(g) h= x^n*n/x >> h = simplify(h) h= x^(n-1)*n % Cria as variaveis simbólicas x e n. % Define a função g(x). % Calcula a derivada de g(x). % Simplifica o resultado. 113

Symbolic Math Toolbox DERIVADAS DE FUNÇÕESTRANSCENDENTAIS >> syms x % Cria as variaveis simbólicas x e n. >> f 1 = log(x); % Define a função f 1(x). >> df 1 = diff(f 1) % Calcula a derivada de f 1(x). df 1 = 1/x >> f 2 = (cos(x))^2; % Define a função f 2(x). >> df 2 = diff(f 2) % Calcula a derivada de f 2(x). df 2 = -2*cos(x)*sin(x) 114

Symbolic Math Toolbox DERIVADAS DE FUNÇÕES TRANSCENDENTAIS >> f 4 = cos(2*x); >> df 4 = diff(f 4) df 4 = -2*sin(2*x) >> f 5 = exp(-(x^2)/2); >> df 5 = diff(f 5) df 5 = -x*exp(-1/2*x^2) 115

Symbolic Math Toolbox n Calcule a derivada de >> syms x; >> p = x/(x-1); >> diff(p) ans = 1/(x-1)-x/(x-1)^2 % Cria a variável simbólica x. % Define a função f(x). % Calcula a derivada de f(x). >> simplify(ans) ans = -1/(x-1)^2 % Simplifica a expressão da derivada. >> pretty(ans) % Exibe a resposta no formato mais visivel. 1 - -------2 (x - 1) 116

Symbolic Math Toolbox n Calcule a derivada de em x = 1, ou seja, 117

Symbolic Math Toolbox % Cálculo da derivada syms x; % Cria a variável simbólica x. p = 2 + x^2; % Define a função f(x). d = diff(p); % Calcula a derivada de f(x). pretty(d); % Exibe o resultado da derivada % Calculo da derivada em um ponto (x = 1) g = [2 1]; polyval(g, 1) subs(d, 1) % Define o polinômio da derivada % Calcula a derivada em x = 1 % Valor da função em x = 1 118

Symbolic Math Toolbox n INTEGRAIS >> syms x n t >> int(x^n) ans = x^(n+1)/(n+1) % Cria as variáveis simbólicas x n t % Calcula a integral de x^n >> int(x^3 +4*x^2 + 7*x + 10) % Calcula da integral x^3 + 4 x^2 + 7 x + 10 ans = 1/4*x^4+4/3*x^3+7/2*x^2+10*x >> int(x, 1, t) ans = 1/2*t^2 -1/2 % Calculo da integral de x, no intervalo [ 1, t ]. 119

Symbolic Math Toolbox INTEGRAIS DE FUNÇÕES TRANSCENDENTAIS >> syms x % Cria a variável simbólica x >> int(1/x) % Calcula a integral de f(x) = 1/x. ans = log(x) >> int(cos(x)) % Calcula a integral de f(x) = cos (x) ans = sin(x) >> int(1/(1+x^2)) % Calcula a integral de f(x) = 1/(1 + x^2) ans = atan(x) >> int(exp(-x^2)) % Calcula a integral de f(x) = exp(-x^2) ans = 1/2*pi^(1/2)*erf(x) 120

Programas em MATLAB n Resolver a equação quadrática 121

Programas em MATLAB % --------------------------------------------% Scripte file: quadratica. m % Este programa calcula as raizes da equaçao quadratica, sendo % fornecidos pelo usuario os coeficientes a, b e c da equaçao % a*x^2 + b*x + c = 0 % -------------------------------------------% DESCRIÇAO % -------------------------------------------% DATA PROGRAMADOR DESCRIÇAO DO CODIGO % 10/10/07 Josenildo F. Galdino Código Original %-------------------------------------------- 122

Programas em MATLAB % DEFINIÇAO DAS VARIAVEIS % a - coeficiente do termo x^2 % b - coeficiente do termo x % c - coeficiente do termo x^0 ou termo independente. % x 1 - raiz da equação quadrática % x 2 - raiz da equação quadrática % m - variável intermediaria % n - variável intermediaria 123

Programas em MATLAB clc; % Limpa a area de trabalho. % Obtenção dos parâmetros disp('Forneca os coeficientes da equaçao quadratica'); a = input('n. Forneca o coeficiente a: '); b = input('Forneça o coeficiente b: '); c = input('Forneca o coeficiente c: '); x = linspace(-12, 300); % Gera 300 pontos entre -12 e 12. y = a*x. ^2 + b*x + c; % Definição da função y = f(x) 124

Programas em MATLAB % Cálculo das raízes m = -b/(2*a); n = sqrt(b^2 - 4*a*c)/(2*a); fprintf('n. As raizes da equacao quadratica sao: ') x 1 = m + n x 2 = m - n fprintf('n'); 125

Programas em MATLAB % Exibição do gráfico plot(x, y); % Gráfico em 2 -D. title('bfit. Equaçao Quadratica'); % Titulo do gráfico xlabel('bfitx'); % Eixo horizontal ylabel('bfity'); % Eixo vertical 126

Programas em MATLAB Forneca os coeficientes da equaçao quadratica Forneca o coeficiente a: 2 Forneça o coeficiente b: 10 Forneca o coeficiente c: 12 As raizes da equaçao quadratica sao: x 1 = -2 x 2 = -3 127

Programas em MATLAB 128

ANIMAÇÃO n Demonstração Script-file: animacao. m 129

ANIMAÇÃO n Demonstração Script-file: animacao 1. m 130

ANIMAÇÃO n Demonstração Script-file: animacao 2. m 131

OBRIGADO!!! 132