Reti di Petri Reti di Petri Testo di

Reti di Petri

Reti di Petri

Testo di riferimento Wolfgang Reisig, Petri nets. An introduction. Springer, Berlin, 1985

Condizioni ed eventi Gli eventi sono i quadrati e le condizioni i cerchi. Una condizione è soddisfatta se contiene un “token” . primavera inizio estate inizio autunno inizio primavera inverno inizio inverno autunno

Condizioni e eventi Possiamo aggiungere condizioni . primavera inizio estate inverno o primavera . inizio primavera inverno estate non autunno inizio inverno . inizio autunno

Condizioni e eventi primavera inizio estate inverno o primavera . non autunno inizio primavera inverno . estate inizio inverno inizio autunno

Posti e transizioni I posti possono contenere piu’ “token”. Quando una transizione viene eseguita si toglie un “token” da ciascun posto di ingresso e lo aggiunge a ciascun posto di uscita. . . produttore . consumatori

Posti e transizioni Al piu’ tre processi possono leggere la memoria contemporaneamente. Mentre un processo scrive nessuno puo’ leggere. pronto a scrivere . . 3 scrittura . . . lettura 3 . . 2 processi scrittori 4 processi lettori Si aggiungono 3 token pronto a leggere

Definizioni di base (1) Una tripla N = (S, T, F) è chiamata rete se e solo se: 1) S e T sono insiemi disgiunti (gli elementi di S sono chiamati S -elementi, gli elementi di T sono chiamati T-elementi) 2) F (S T) (T S) è una relazione binaria, chiamata la relazione di flusso di N. Graficamente S-elementi sono rappresentati come cerchi e Telementi come quadrati, la relazione di flusso è rappresentata da archi orientati che connettono cerchi e quadrati Notazione. Sia N = (S, T, F) una rete. Denotiamo le componenti come SN, TN, FN e scriviamo anche N per S T. Sia N una rete. Per x N. x = { y | y F x} è chiamato il preset di x N. x = { y | x FN y} è chiamato il postset di x Per X N sia. X = x X. x e X. = x X x. .

Definizioni di base (2) Per x, y N si ha x . y y x. . Una coppia (s, t) SN TN è un self-loop se e solo se s FN t and t FN s. Una rete N è pura se FN non contiene self-loop. Un elemento x N è isolato se e solo se. x x. = . Una rete N è semplice se elementi distinti non hanno lo stesso preset e postset, ossia se, per ogni x, y N, . x =. y and x. = y. => x = y.

Definizioni di base (3) Esempio. Una rete semplice ma non pura che non contiene elementi isolati.

Definizioni di base (4) Siano N e N’ due reti. Data una biiezione b : N N’ chiamiamo N e N’ b-isomorfe se e solo se s SN b(s) SN ’ and x FN y b(x) FN ’ b(y). Questo implica t TN b(t) TN ’. Due reti N e N’ sono isomorfe se e solo se sono isomorfe per qualche funzione b. Rappresentazioni grafiche in cui gli elementi non hanno un nome rappresentano reti a meno di isomorfismo.

Reti condizione-evento (1) Gli S-elementi rappresentano condizioni e indichiamo con B il loro insieme, i T-elementi rappresentano eventi e indichiamo con E il loro insieme. L’insieme delle condizioni che valgono in una configurazione è un caso. Sia N = (B, E, F) una rete. 1) un sottoinsieme c B è un caso 2) sia e E e c B; e ha una concessione in c (è c-abilitato) se e solo se. e c and e. c = (assenza di contatto) 3) sia e E, sia c B, e sia c-abilitato. Allora c’ = (c. e) e. è il caso successore di c sotto e ( c’ risulta dall’occorrenza di e nel caso c) e scriviamo c [e > c’. Notazione. Nella rappresentazione grafica si indica che una condizione vale ponendo una marca nel cerchio che la rappresenta.

Reti condizione-evento (2) Esempio. . primavera inizio estate inizio autunno inizio primavera inverno inizio inverno autunno

Reti condizione-evento (3) Eventi i cui preset e postset sono disgiunti possono essere combinati in un passo. Sia N = (B, E, F) una rete. Un insieme di eventi G E è distaccato (detached) se e solo se per ogni e 1, e 2 G e 1 differente da e 2 =>. e 1 . e 2 = = e 1. e 2. . Siano c, c’ casi di N e sia G distaccato. Allora g è un passo da c a c’, ossia c [G > c’ se e solo se ogni evento e G è abilitato e c’ = (c. G) G. . Lemma. Sia N una rete, sia G EN distaccato e siano c, c’ casi di N. Allora c [G > c’ cc’ =. G and c’c = G. .

Reti condizione-evento (4) Esempio. b 3 e 1 e 4 b 5 . e 5 b 1 e 2 b 2 e 3 b 4

Reti condizione-evento (5) Esempio. . b 3 e 4 b 5 e 1 e 5 b 1 . e 2 b 2 e 3 b 4

Reti condizione-evento (6) Esempio. b 3 e 4 . b 5 e 1 e 5 b 1 e 2 . b 2 e 3 b 4

Reti condizione-evento (7) b 1 e 2 b 3 b 4 e 3 e 5 e 4 b 2 e 1 b 5 L’evento e 1 può essere combinato in un passo sia con l’evento e 2 che con l’evento e 3.

Reti condizione-evento (8) b 1 e 2 . b 3 e 5 b 2 Caso b 6 e 1 b 4 e 3 b 6 e 4 b 5

Reti condizione-evento (9) . b 1 e 5 e 2 b 3 b 4 e 3 . b 2 Passo e 5 e 4 e 1 b 5 Caso b 1, b 2

Reti condizione-evento (10) . b 1 e 2 b 3 b 4 e 3 . e 5 b 2 Passo e 1, e 2 e 1 b 5 Caso b 3, b 5 e 4

Reti condizione-evento (11) . b 1 e 2 b 3 b 4 e 3 . e 5 b 2 Passo e 3 e 1 b 5 Caso b 4, b 5 e 4

Reti condizione-evento (12) b 1 e 2 . b 3 b 4 e 3 e 5 e 4 b 2 Passo e 4 e 1 Caso b 6 b 5

Reti condizione-evento (13) . b 1 e 5 e 2 b 3 b 4 e 3 . b 2 Passo e 5 e 4 e 1 b 5 Caso b 1, b 2

Reti condizione-evento (14) . b 1 e 5 e 2 b 3 b 4 e 3 . b 2 Passo e 2 e 4 e 1 b 5 Caso b 2, b 3

Reti condizione-evento (15) . b 1 e 2 b 3 b 4 e 3 . e 5 b 2 Passo e 1, e 3 e 1 b 5 Caso b 4, b 5 e 4

Reti condizione-evento (16) Un passo finito può essere realizzato con l’occorrenza dei suoi eventi in un ordine arbitrario. Lemma. Sia N una rete, c e c’ casi di N e G = {e 1, …, en} un passo finito da c a c’. Se (e 1, …, en) è un ordinamento arbitrario degli elementi di G allora ci sono casi c 0, …, cn tali che c = c 0, c’ = cn e ci-1 [ei> ci, (i = 1, …, n).

Reti condizione-evento (17) Eventi che abbiano in comune pre o postcondizioni sono in conflitto. In un caso come nell’esempio, in cui si puo’ avere o non avere conflitto, si ha confusione. Si ha conflitto se e 2 occorre prima di e 1, ma non si ha conflitto se e 1 occorre prima di e 2, ma tra le occorrenze di e 1 e e 2 non è specificato alcun ordine. . e 1 . e 3 e 2 .

Reti condizione-evento (18) e 2 occorre prima di e 1. . . e 1 Conflitto tra e 1 e e 3 . e 2 e 1 occorre prima di e 2. Nessun conflitto e 1 e 3 . e 2 .

Sistemi condizione-evento (1) Un sistema condizione-evento consiste di una rete (B, E, F) e di un insieme di casi C con le proprietà seguenti: - Se un passo G E è possibile in un caso c C allora G porta a un caso in C - Se un caso c C risulta da un passo G E allora anche la configurazione di partenza è un caso di C - Tutti i casi di C possono essere trovati ragionando in avanti o all’indietro - C è tale che i) per ogni evento e E c’è un caso in C in cui e ha una concessione, ii) ogni condizione b B appartiene ad almeno un caso di C, ma non a tutti (cosí si escludono condizioni isolate e self-loop). Si vogliono escludere anche eventi isolati perché si vuole che gli eventi siano osservabili. Inoltre si chiede che due condizioni non abbiano lo stesso preset e postset (non sarebbero distinguibili). Analogamente per gli eventi.

Sistemi condizione-evento (2) Una quadrupla S = (B, E, F, C) è un sistema condizione-evento (sistema C/E) se e solo se: 1. (B, E, F) è una rete semplice senza elementi isolati. 2. C (B) è una classe di equivalenza della relazione di raggiungibilità RS = (r. S r. S-1)*, dove r. S (B) è data da c 1 r. S c 2 $G E c 1 [G> c 2. C è la classe dei casi di S. 3. Per ogni e E esiste c C tale che e ha una concessione in C. La classe dei casi di un sistema C/E S è completamente determinato da un elemento arbitrario della classe.

Sistemi condizione-evento (3) Esempio. La classe dei casi dell’esempio seguente è {{b 1}, {b 2}, {b 3}, {b 4}}. b 1 b 3 . b 2 b 4

Sistemi condizione-evento (4) Lemma. Sia S un sistema C/E. 1. BS e ES e FS sono differenti da . 2. Per c CS, c’ BS, G ES c [G > c’ CS c’[G > c c’ CS. 3. Per ogni b BS , c, c’ CS con b c and b c’. 4. S è puro.

Sistemi ciclici e vivi (1) Un sistema C/E è ciclico se e solo se per ogni c 1, c 2 CS c 1 r. S* c 2. Proposizione. Sia S un sistema C/E ciclico e sia c CS. Allora CS = {c’ | c r. S* c’}. Un sistema C/E è vivo se e solo se per ogni c CS e ogni e ES $ c’ CS tale che c r. S* c’ e e è c’-abilitato. Proposizione. Ogni sistema C/E ciclico è vivo.

Sistemi ciclici e vivi (2) Osservazione. Non ogni sistema C/E vivo è ciclico. . .

Equivalenza di sistemi (1) Siano S e S’ due sistemi C/E. 1. Date biiezioni g: CS CS’, e: ES ES’, S e S’ sono (g, e)-equivalenti se solo se per tutti i casi c 1, c 2 CS e tutti gli insiemi di eventi 2. G ES c 1 [G> c 2 g(c 1) [e(G)> g(c 2), dove e(G) = {e(e) | e G}. S e S’ sono equivalenti se solo se sono (g, e)-equivalenti per qualche coppia di biiezioni (g, e). S e S’ sono isomorfi se e solo se le reti (BS, ES, FS) e (BS’, ES’, FS’) sono b-isomorfe per qualche biiezione b e se 3. c CS {b(b)|b c} CS’. 2. Se S e S’ sono equivalenti scriviamo S ~ S’. Proposizione. La relazione ~ è una relazione di equivalenza.

Equivalenza di sistemi (2) Proposizione. Sistemi C/E equivalenti hanno lo stesso numero di casi, eventi e passi. Possono avere un numero differente di condizioni. Esempio. I casi sono {b 1, b 2} primavera, {b 1, b 3} estate, {b 2, b 3} autunno, inverno inizio primavera inizio inverno b 2 . . b 1 inizio autunno inizio estate b 3

Esempio. I casi sono {b 1, b 2} primavera, {b 1, s 3} estate, {b 2, b 3} autunno, inverno primavera . estate inverno autunno inizio primavera inizio inverno b 2 . . b 1 inizio autunno inizio estate b 3

Esempio. I casi sono {b 1, b 2} primavera, {b 1, b 3} estate, {b 2, b 3} autunno, inverno . primavera inverno autunno inizio primavera . b 1 estate inizio inverno b 2 . inizio autunno inizio estate b 3

Esempio. I casi sono {b 1, b 2} primavera, {b 1, b 3} estate, {b 2, b 3} autunno, inverno primavera estate . inverno inizio primavera autunno inizio inverno b 2 . . b 1 inizio autunno inizio estate b 3

Esempio. I casi sono {b 1, b 2} primavera, {b 1, b 3} estate, {b 2, b 3} autunno, inverno primavera inverno estate . autunno inizio primavera b 1 inizio inverno b 2 inizio autunno inizio estate b 3

Equivalenza di sistemi (3) Proposizione. Siano S e S’ due sistemi C/E equivalenti. 1. S è ciclico se solo se S’ è ciclico. 2. S è vivo se solo se S’ è vivo. Lemma. Siano S e S’ sistemi C/E tali che per ogni c CS ’ |c| = 1. S e S’ sono equivalenti se e solo se sono isomorfi.

Sistemi senza contatti (1) Un sistema C/E può essere trasformato in uno equivalente senza contatti. Contatto: in un caso c, . . e c e e. c . Sia S un sistema C/E e siano b, b’ elementi di BS. 1. b’ è il complemento di b se e solo se. b = b’. and b. =. b’. 2. S è completo se ciascuna condizione b BS ha un complemento 3. b’ BS.

Sistemi senza contatti (2) Lemma. Sia S un sistema C/E e sia b 1. BS. b ha al piú un complemento b^. Se b ha un complemento b^, allora 2. b^ ha un complemento b^^ e b^^ = b. 3. Per ogni c CS b c oppure b^ Se S è completo allora 4. Per ogni e ES |. e | = |e. |. 5. Per ogni c CS | c | = 1/2 | BS |. c.

Sistemi senza contatti (3) Sia S un sistema C/E e sia B BS l’insieme delle condizioni che non hanno complemento in BS. Per ogni b B, b^ denoti un nuovo elemento. Sia F = {(e, b^) | (b, e) FS e b B} {(b^, e) | (e, b) FS and b B}. Per c CS sia f (c) = c {b^ | b B and b c}. Allora il sistema C/E S^ = (BS {b^ | b B}, ES, FS F, f(CS) ) è il completamento di S e f(c) è il completamento di c. Esempio. Una condizione e il suo complemento. b b^

Sistemi senza contatti (4) Proposizione. Sia S un sistema C/E e c CS. Vale 1. S^^ = S^ 2. Per ogni b 3. c = f(c) BS. BS , c CS b f(c) b^ f(c)

Sistemi senza contatti (4) Lemma. La funzione f : CS CS^ come definita sopra è biiettiva. Notazione. Denotiamo con -e ed e- preset e postset di e in S^. Proposizione. Sia S un sistema C/E, sia G ES e B l’insieme delle condizioni che non hanno complemento in BS. Vale: 1. 2. 2. 3. -G =. G {b^ | b B and b G. }, G- = G. {b^ | b B and b . G} . G = -G BS , G. = G - BS.

Sistemi senza contatti (5) Esempio. Un sistema C/E S e il suo completamento S^. . . * * elemento nuovo

. . * . *. * elemento nuovo . . * *

Sistemi senza contatti (6) Teorema. Se S^ è il complemento di un sistema C/E S, allora S^ è equivalente a S. Dimostrazione. Bisogna dimostrare che per ogni c 1, c 2 CS , per ogni G RS c 1 [G> c 2 f(c 1) [G> f(c 2). Un sistema C/E S è senza contatti se per ogni e 1. . e c e. BS c 2. e. c . e BS c . ES e ogni c Teorema. 1. Ogni sistema C/E completo è senza contatti. 2. Per ogni sistema C/E ce ne è uno equivalente senza contatti. 3. Se S è senza contatti allora per ogni e ES. e diverso da e. diverso da . CS

Grafo dei casi (1) Il grafo dei casi ha come nodi i casi e come archi i passi del sistema C/E. Sia S un sistema C/E, S l’insieme di tutti i passi di S, P = {(c 1, G, c 2) CS S CS | c 1 [G> c 2}. � Il grafo FS = (CS, P) è chiamato grafo dei casi di S.

Grafo dei casi (2) b 3 e 1 . e 2 e 3 e 5 b 4 e 4 . b 3 e 5 b 4 b 5 b 3 e 1 e 2 e 3 b 2 . e 5 b 5 e 2 e 3 b 3 e 1 b 4 e 2 b 5 e 1 e 2 b 2 e 3 e 4 b 5 e 2 e 3 . b 4 {e 1} {e 4} e 5 {b 2, b 3} {e 2} e 5 b 4 {e 3, e 4} {b 4, b 3} {e 3} {b 4, b 5} {e 4} e 3 e 5 b 4 e 4 b 5 b 1 b 2 {e 5} {b 2, b 5} . . b 3 . . b 5 b 1 b 2 b 1 e 5 e 4 e 5 b 4 e 4 . e 1 b 3 e 2 b 1 b 5 b 1 b 4 e 4 {b 1} b 1 b 2 . . b 3 e 1 e 4 b 1 b 2 b 5 e 2 . . b 3 b 1 b 2 e 1 b 5 b 1 b 2 e 1 e 4 e 2 e 3 e 5 b 4

Grafo dei casi (3) Osservazione. Non ogni grafo può essere interpretato come il grafo dei casi di un sistema C/E. e 1 c 2 c 1 e 2 c 3 e 2 c 4 Teorema. Un sistema C/E è vivo se e solo se per ogni c 0 CS e ogni e ES esiste un cammino in FS c 0 j 1 c 1 … jn cn con jn = {e}. Teorema. Due sistemi C/E sono equivalenti se e solo se i loro grafi di casi sono isomorfi.

Grafo dei casi (4) Teorema. Un sistema C/E è ciclico se e solo se il suo grafo dei casi è fortemente connesso. Teorema. Sia S un sistema C/E, siano c 1 , c 2 , c 3 CS e G 1 , G 2 ES. 1. Se c 1 G 1 c 2 G 2 c 3 è un cammino in FS allora G 1 G 2 = . 2. Sia G 1 G 2 = . Allora se c 1 ( G 1 G 2) c 3 è un arco in FS allora esiste c CS tale che c 1 G 1 c G 2 c 3 è un cammino in FS.

Processi di sistemi C/E (1) Si vuole una descrizione che mostri cambiamenti di condizioni e occorrenze di eventi anche concorrenti. b 3 e 1 e 4 . b 5 b 1 e 2 b 2 e 3 b 3 e 4 e 5 b 4 b 5 e 1 b 1 e 5 b 2 e 3 b 4 b 3 e 2 b 1 e 3 b 1 b 2 b 4

Processi di sistemi C/E (2) Un T-elemento rappresenta l’occorrenza dell’evento denotato dalla sua etichettatura. T-elementi distinti con la stessa etichettatura denotano occorrenze differenti del medesimo evento. Un S-elemento s mostra con la sua iscrizione b che b è stata soddisfatta dall’occorrenza di. s e ha cessato di valere con l’occorrenza di s. . I conflitti sono stati risolti e tutti gli S-elementi non hanno diramazioni.

Processi di sistemi C/E (3) Una relazione binaria r A A su un insieme A è una relazione di similarità se e solo se 1. Per ogni a A: a r a (r è riflessiva) 2. Per ogni a, b A: a r b = b r a (r è simmetrica) Un sottoinsieme B A è una regione di una relazione di similarità r se e solo se 1. Per ogni a, b B: a r b (r è full su B) 2. Per ogni a A: a B b B: not (a r b) 3. (B è un sottoinsieme massimale su cui r è full) Proposizione. Sia A un insieme e r A A una relazione di similarità. 1. Ogni elemento di A appartiene ad almeno una regione di r. 2. Regioni di un insieme non vuoto A sono non vuote e nessuna 3. regione è un sottoinsieme proprio di un’altra regione. 3. Se r è una relazione di equivalenza allora le regioni di r sono 4. esattamente le classi di equivalenza di r.

Processi di sistemi C/E (4) Notazione. Una relazione di similarità finita su un insieme A può essere rappresentata in modo unico come un grafo non orientato, di cui A è l’insieme dei nodi e K = {(a, b) | a b a r b} è l’insieme degli archi. 2 3 1 4 6 7 7 5 La regioni sono {1, 2, 4}, {2, 3, 4, 6}, {4, 5}, {7}. Sia A un insieme parzialmente ordinato: 1. li A A è tale che a li b a < b b < a a = b. 2. co A A è tale che a co b (not a li b) a = b 3. (ossia a co b not (a < b b < a).

Processi di sistemi C/E (5) Sia A un insieme parzialmente ordinato e siano a, b A : 1. a li b a co b. 2. a li b a co b a = b. Teorema. Per un qualsiasi insieme parzialmente ordinato A, li e co sono relazioni di similarità. Esempio. 1 2 3 5 4 6 7 La regioni di li sono {1, 2, 5, 6, 7}, {1, 2, 3}, {4, 6, 7}. Le regioni di co sono {3, 7}, {3, 6}, {3, 4, 5}, {1, 4}, {2, 4}.

Processi di sistemi C/E (6) Sia A un insieme parzialmente ordinato e sia B A: 1. B è una linea se e solo se B è una regione di li. 2. B è un taglio se e solo se B è una regione di co. Sia A un insieme parzialmente ordinato e siano B, C A. 1. A è limitato (bounded) se e solo se esiste n N tale che per ogni linea L di A |L| n. 2. B precede C (scritto B C) se e solo se per ogni b B e per ogni c C b < c or b co c 3. ( scriviamo B < C per B C and B C) 3. B- = {a A | {a} B}, B+ = {a A | B {a}}. 4. o. B = {b B | per ogni b’ B, b co b’ b < b’}, Bo = {b B | per ogni b’ B, b co b’ < b}. o. B è l’insieme degli elementi minimali di B e Bo è l’insieme degli elementi massimali di B.

Processi di sistemi C/E (7) Teorema. Se A è un insieme parzialmente ordinato limitato allora o. A e Ao sono tagli. Proposizione. Sia A un insieme parzialmente ordinato, sia L una linea e sia D un taglio di A. Allora |L D| 1. Un insieme parzialmente ordinato è K-denso se ogni linea ha un’intersezione non vuota con ogni taglio. Esempio. Un insieme che è parzialmente ordinato ma non K-denso. Infatti {3, 2} {1, 4} = . 1 3 2 4

Processi di sistemi C/E (8) Una rete K = (SK , TK, FK) è una rete di occorrenze se e solo se: 1. Per ogni a, b K: a (FK+) b b (FK+) a (K è senza cicli) 2. Per ogni s SK : |. s| 1 |s. | 1 (gli S-elementi non hanno diramazioni) Proposizione. Sia K una rete di occorrenze. La relazione <, definita da a < b a (FK+) b, per ogni a, b K, è un ordine parziale su K.

Processi di sistemi C/E (9) Segue che per una rete di occorrenze sono definite linee, tagli, limitatezza, K-densità. Dato un insieme parzialmente ordinato, sia L una linea e sia D un taglio di A. Allora |L D| 1. Una slice di una rete di occorrenze K è un taglio contenente solo Selementi. Denotiamo sl(K) l’insieme delle slice di K. Esempio. (s 3, t 2, s 4, t 3, s 6) è una linea, (t 1, s 4, s 5) è un taglio, (s 1, s 3) è una slice. s 1 t 1 s 2 s 4 s 3 t 2 s 5 s 6

Processi di sistemi C/E (10) Teorema. Ogni rete di occorrenze non vuota e limitata è K-densa. Esempio. Una rete di occorrenze non limitata che non è K-densa. Infatti la linea {s 0, t 1, s 1, …} e il taglio {s 1’, s 2’, …} hanno intersezione vuota. s 1’ s 2’ s 3’ … s 0 t 1 s 1 t 2 s 2 t 3’

Processi di sistemi C/E (11) Descriviamo i processi come funzioni da reti di occorrenze limitate a sistemi C/E senza contatti soddisfacenti due richieste: 1. Ogni slice corrisponde a in un caso 2. La corrispondenza di un T-elemento rispetta l’ambiente dell’evento. Sia K una rete di occorrenze limitata e S un sistema C/E senza contatti. Una funzione p: K S è un processo di S se e solo se per ogni slice D di K e ogni t TK : 1. p|D è iniettiva e p(D) CS 2. p(. t) =. p(t) p(t. ) = p(t). Nelle rappresentazioni grafiche di processi p: K S ogni elemento x di K è etichettato dalla sua immagine p(x). Ogni linea rappresenta una successione di elementi casualmente dipendenti (sottoprocesso sequenziale), un taglio è un’istantanea (snapshot) del processo. La K-densità garantisce che ogni sottoprocesso sequenziale è rappresentato in ogni snapshot.

Processi di sistemi C/E (12) Teorema. Per ogni processo p: K S : 1. p(SK) BS p(TK) ES (il tipo degli elementi e’ preservato). 2. Per ogni x, y K, x FK y p(x) FS p(y) (p rispetta la relazione di flusso) 3. Per ogni x, y K, p(x) = p(y) x li y (eventi e condizioni non sono concorrenti con loro stessi). 4. Per ogni t TK , . t and t. (eventi hanno prerequisiti e conseguenze). 5. Per ogni taglio D di K p|D è iniettiva.

Perche’ sistemi C/E senza contatti . b 1 e 2 . . b 1 b 3 e 1 . e 2 b 3 b 2 b 1 b 2^ b 2 ? b 1 e 1 b 2^ b 2 e 2 b 3 b 2

Processi di sistemi C/E (13) Teorema. Sia p: K S un processo, sia T TK tale che per ogni t 1, t 2 T, t 1 co t 2. Allora c 1, c 2 CS tali che c 1 [p(T)> c 2. Due processi p 1: K 1 S , p 2: K 2 S di un sistema C/E S sono isomorfi se e solo se K 1 è b-isomorfo a K 2 e per ogni x K 1 p 1(x) = p 2(b(x)). Teorema. Siano S 1 e S 2 due sistemi C/E senza contatti e sia pi l’insieme dei processi di Si (i=1, 2). Allora p 1 = p 2 S 1 = S 2.

Processi di sistemi C/E (14) Lemma. Se p: K S è un processo o. K e Ko sono slice di K. Lemma. Siano pi: Ki S (i=1, 2) due processi con p 1(K 1 o) = p 2(o. K 2). Allora esiste, a meno di isomorfismo, esattamente una rete di occorrenze K con una slice D e un processo p: K S tale che p|D- = p 1 e p|D+ = p 2. Siano p, p 1, p 2 come sopra. Allora p è la composizione di p 1 e p 2, (p = p 1 o p 2). b 2 b 1 b 3 b 4 o b 5 b 2 b 5 b 3 b 4 b 1 b 4

Processi di sistemi C/E (15) Un processo è elementare se descrive un passo singolo. I processi sono decomponibili in un numero finito di processi elementari. Un processo p: K S è elementare se solo se SK = o. K Ko. Proposizione. 1. p: K S è un processo elementare se e solo se p(o. K) [p(TK) > p(Ko) è un passo di S. 2. Se p: K S è elementare allora per ogni t 1, t 2 TK t 1 co t 2.

Processi di sistemi C/E (16) Un processo è vuoto se e solo se TK = . Proposizione. 1. Ogni processo vuoto è elementare. 2. Se p’ è un processo vuoto ed è definito p o p’ (oppure p’ o p) allora p = p o p’ (oppure p = p’o p). Teorema. Se p: K S è un processo, allora esiste un numero finito di processi elementari p 1, …, pn tali che p = p 1 o …o pn.

Processi e grafi dei casi (1) Processi elementari corrispondono ad archi in grafi dei casi. Piú cammini in un grafo dei casi possono corrispondere allo stesso processo. Lemma. Sia S un sistema C/E senza contatti. Allora p: K S è un processo elementare se e solo se c’è un arco = (c 1, G, c 2) in FS tale che p(o. K) = c 1, p(Ko ) = c 2, p(TK) = G. Sia S un sistema senza contatti. 1. Se v è un arco in FS, allora v denota il processo corrispondente a v. v è il processo di v, v è l’arco di v. 2. Siano v 1, …, vn archi e sia w = v 1 … vn un cammino in FS. Allora w = v 1 o … o vn è il processo di w e w è un cammino di w. v

Processi e grafi dei casi (2) Esempio. 1 1, 4 a 2 b 3 1, 5 2, 4 2, 5 1, 6 2, 6 1 c 5 d 3, 4 3, 5 6 3, 6 Per ciascun cammino di un grafo dei casi c’è esattamente un processo corrispondente; a un singolo processo possono corrispondere piú cammini.

Processi e grafi dei casi (3) Sia S un sistema C/E, siano c 1, c 2, c 3 CS e G 1, G 2 ES. 1. Se u 1 = (c 1, G 1, c 2), u 2 = (c 1, G 2, c 3), v = (c 1, G 1 G 2, c 3) sono archi in FS, il cammino u 1 u 2 è una decomposizione di v, v è una unificazione di u 1 u 2. 2. Dati cammini w, w’ è una permutazione di w se e solo se esistono cammini u 1, …, u 4 tali che w = u 1 u 2 u 3, w’ = u 1 u 4 u 3 e u 4 è una decomposizione o una unificazione di u 2. 3. Dati cammini w 1, …, wn in FS, (w 1, …, wn) è una sequenza di permutazione se e solo se per ogni i = 1, …, n-1, wi+1 è una permutazione di wi.

Processi e grafi dei casi (4) Proposizione. Sia S un sistema C/E senza contatti, siano c 1, c 2, c 3 CS e siano G 1, G 2 ES disgiunti e non vuoti. 1. Se v = c 1 (G 1 G 2) c 2 è un arco in FS, allora esiste una decomposizione di v della forma c 1 G 1 c G 2 c 2, per un qualche c CS. 2. Siano u 1 = c 1 G 1 c 3 e u 2 = c 3 G 2 c 2 archi in FS e sia u 1 o u 2 : K S. Allora per ogni t 1, t 2 TK: t 1 co t 2 se e solo se c 1 (G 1 G 2) c 2 è un arco in FS.

Reti posto-transizione (1) Esempio. Un sistema produttore-consumatore con limitata capacità di buffer, multipla generazione e multiplo consumo di token, limitato accesso al buffer, un contatore dei token prodotti. . contatore K=w . . . K=1 buffer 3 . . . 2 K=5 K=1 produttore K=2 consumatore K=2

Reti posto-transizione (2) Una sestupla N = (S, T, F, K, M, W) è una rete P/T se e solo se : 1. (S, T, F) è una rete finita, gli elementi di S sono i posti, gli elementi di T sono le transizioni. 2. K : S N {w} dà la capacità di ciascun posto. 3. W : F N {0} dà un peso a ciascun arco della rete. 4. M : S N {w} è la marcatura iniziale tale che M(s) K(s) per ogni s S.

Reti posto-transizione (3) Denotiamo le componenti di una rete P/T N con S N, TN, FN, KN, MN, WN. Sia N una rete P/T. 1. Una funzione M : SN N {w } è una marcatura di N se e solo se M(s) K(s). 2. Data una marcatura M, una transizione t TN è M-abilitata se e solo se per ogni s. t M(s) ≥ WN (s, t) e per ogni s t. M(s) + WN (t, s) KN (s). 3. Una transizione M-abilitata t TN può dare una marcatura successiva M’ di M che per ogni s è: M(s) - WN (s, t) se e solo se s. t t. M(s) + WN (t, s) se e solo se s t. . t M(s) - WN (s, t) + WN (t, s) se e solo se s . t t. M(s) altrimenti. Diciamo che t porta da M a M’ e scriviamo M[t> M’. 4. Sia [M > il piú piccolo insieme di marcature tale che M [M > e, se M 1 M e per qualche t TN M 1 [t> M 2 allora M 2 [M>.

Reti posto-transizione (3) 1. Rete abilitata (si omettono: 1 sugli archi, w sui posti). . 3 2. Reti non abilitate 2 . . 3 4 3 3 . . 2 3. Selfloop non abilitate 3 3 . . . 3 .

Reti posto-transizione (4) Una marcatura di una rete P/T ha un contatto per una transizione t TN se t non è M-abilitata solo perché i posti in t non hanno la capacità sufficiente. o Una rete P/T N è senza contatti (contact-free) se e solo se per ogni M [MN> e per ogni t TN se s . t M(s) WN (s, t) allora s t. KN (s) - WN (t, s) M(s)

Reti posto-transizione (5) Costruzione della rete completata: Data una rete P/T N la corrispondente rete N’ è ottenuta aggiungendo nuovi posti e nuovi archi. Per ogni posto s di N aggiungiamo un nuovo posto s e per tutti gli archi (t, s) e (s, t) di FN aggiungiamo nuovi archi (s, t) e (t, s), rispettivamente, tali che WN’ (s, t) = WN (t, s) e WN’ (t, s) = WN (s, t). Assumiamo la capacità KN’ (s) = KN (s). Per i nuovi posti s la marcatura iniziale MN’ (s) = KN (s) - MN (s). La rete risultante è senza contatti: per ogni marcatura raggiungibile M si ha MN (s) + MN’ (s) = KN’ (s). Date marcature M di N e M’ di N’ ogni transizione t è M-abilitata in N se e solo se è M’-abilitata in N’. Inoltre si possono sostituire tutte le capacità finite K N (s) N in N’ con w senza cambiare il comportamento di N’.

Reti posto-transizione (6) Complementazione di una rete 2 3 K=5. . K=5 2 1 . . 2 1 3. . . 3 K=5 1 .

Rappresentazione in algebra lineare (1) Sia N = (S, T, F, K, M, W) una rete P/T. Per una transizione t T, sia il vettore t : S Z definito come: t (s) = W(t, s) se e solo se s t. . t t (s) = -W(s, t) se e solo se s . t t t (s) = W(t, s) - W(s, t) se e solo se s . t t (s) = 0 altrimenti . t. Sia la matrice N: S T Z definita come N(s, t) = t (s). Ogni marcatura può essere rappresentata da un vettore.

Rappresentazione in algebra lineare (2) t 1 t 2 s 1 1 -1 s 2 -1 1 s 3 1 s 4 3 s 5 t 3 t 5 marcatura 1 5 -2 1 3 -1 1 s 6 s 7 t 4 -1 -1 2 1 contatore s 3 K=w s 1 . . . K=1 t 1 K=1 produttore K=1 t 5 buffer t 2 s 7 3 . . . s 4 K=5 2 . . t 3 s 5 t 4 K=2 consumatore s 6 K=2

Rappresentazione in algebra lineare (3) La rappresentazione è non ambigua solo per reti pure. In questo caso possono essere derivate le componenti. Se si chiede anche N sia senza contatti il comportamento di N è pienamente determinato dalla matrice N e dal vettore MN. Corollario. Sia N una rete P/T e M, M’: SN N {w} due marcature di N. Allora per ogni transizione t TN 1. Se t è M-abilitato allora M [t> M’ M + t = M’ 2. 3. Se N è pura, allora anche : 2. t è M-abilitata 0 M + t KN 3. N è senza contatti M [MN> : (0 M + t KN ).

Rappresentazione in algebra lineare (4) Per reti con capacità infinita vale la seguente proprietà di monotonicità. Lemma. Sia N una rete P/T con s SN : KN (s) = w. Siano M 1, M 2: SN N {w} due marcature di N. Si ha 1. M 1 [t> M M 1+ M 2 [t> M + M 2 2. 2. M [M 1> M + M 2 [M 1 + M 2>

Grafo di copertura (1) Idea: rappresentare le (infinite) marcature raggiungibili mediante un grafo finito. I nodi del grafo rappresentano o “coprono” le marcature raggiungibili. Assumiamo senza perdere generalità KN (s) = w per ogni s SN. Ogni nodo E del grafo di copertura deve essere pensato come una marcatura della rete; alcuni nodi lo saranno, altri ricopriranno marcature raggiungibili. Vediamo come nascono sequenze infinite di marcature raggiungibili. Supponiamo M, M’ raggiungibili e M’ [M>. Supponiamo che per ogni posto s sia M(s) M’(s) e M M’ (scriviamo M < M’) e che KN (s) = w in tutti i posti dove M’(s) > M(s). Allora ogni transizione abilitata in M è anche abilitata in M’ e ripetendo la catena di transizioni che ha portato da M a M’ otteniamo una nuova marcatura M” con M’ < M”.

Grafo di copertura (2) Iterando si ha una sequenza di marcature distinte Mi, i = 1, 2, …, con la proprietà che Mi(s)=M(s) se M’(s)=M(s), mentre Mi+1(s)>Mi(s) se M’(s)>M(s). La sequenza sarà rappresentata nel grafo da un nodo di copertura H con H(s)=M(s) se M’(s)=M(s) e H(s) = w se il numero di token su s è crescente.

Grafo di copertura (3) Sia N una rete P/T con capacità infinite e sia G = G 0, G 1 , … la sequenza di grafi che soddisfa le richieste seguenti: 1. G 0 = ({MN}, ) 2. Sia Gi = (H, P). Sia E H e sia t TN tale che (a) t è E-abilitata (b) nessun arco da E è t-iscritto, ossia E’ tale che (E, t, E’) P. Allora definiamo la marcatura E~, per ogni s SN, con E~(s) = w se esiste un nodo E’ in H tale che E’ E+t e E’(s) < E(s) + t(s) ed esiste un cammino da E’ a E in Gi, E~(s) = E(s) + t (s) altrimenti, e sia Gi+1 = (H {E~}, P {(E, t, E~ )}). 3. Se non è possibile costruire Gi+1 seguendo 2 allora si ha Gi+1 = Gi.

Grafo di copertura (4) G è detta sequenza di copertura e G = ( Hi, Pi) è il grafo di copertura generato da G. Si noti che nella costruzione la marcatura può essere già contenuta in H, essendo un nodo di Gi. In questo caso in Gi+1 è aggiunto un nuovo arco (E, t, E~, ), ma non un nuovo nodo.

Grafo di copertura (5) Esempio. Si abbia la rete s 1 a . s 2 c d s 3 b La rete ha due grafi di copertura (gli indici sugli archi denotano l’ordine di generazione) b 100 001 7 d 8 a a 1 010 bb c 2 c 3 01 w c 5 d 4 0 ww 001 d 6 6 001 1 d 2 a 010 4 c 3 c 0 ww d 5

Grafo di copertura (6) Ogni marcatura raggiungibile è coperta da un nodo del grafo di copertura. Lemma. Sia G un grafo di copertura di una rete P/T N. Per ogni sequenza MN [t 1> M 1 … Mn-1 [tn> Mn esiste un cammino E 0 t 1 E 1 … En-1 tn. En in G tale che MN = E 0 e per ogni i = 1, …, n Mi Ei. Sia N una rete P/T e E: SN N {w}. Sia E un nodo di G. 1. Sia (E) = {s SN|E(s)=w} 2. Per i N una marcatura M di N e’ una i-marcatura se e solo se s (E) M(s) i e s (E) M(s) = E(s) 3. Sia ME [MN> un insieme minimale tale che per ogni i N esiste una i-marcatura M di E in ME. Allora ME e’ chiamato insieme di copertura di E.

Grafo di copertura (7) Lemma Sia G un grafo di copertura di una rete P/T N. Per ogni E di G esiste un insieme di copertura ME. Teorema Ogni grafo di copertura di una rete P/T e’ finito.

Grafo di copertura (8) s 2 a s 1 a c . b s 1 s 3 b 1 w 0 a . 0 w 1 c b s 3 c a 100 b 001 Le due reti hanno lo stesso grafo di copertura. Non mostra che in N 1 c puo’ essere eseguita un numero qualsiasi di volte (indipendentemente da a).

Prova di proprietà con i grafi di copertura (1) Teorema Sia N una rete P/T, M: SN N {w} una marcatura arbitraria e G un grafo di copertura. Una marcatura M’ [MN> con M M’ esiste se e solo se 1. per ogni s SN, M(s) = w => MN(s)=w 2. esiste un nodo E in G tale che M E.

Prova di proprietà con i grafi di copertura (2) Sia N una rete P/T, S SN e G un grafo di copertura di N. S è simultaneamente illimitato se i N Mi [MN> tale che per i S Mi (s) i. Teorema. Sia N una rete P/T, S SN e G un grafo di copertura di N. S è simultaneamente illimitato se e solo se esiste un nodo E tale che s S E(s) = w. Sia N una rete P/T, sia M: SN N {w} una marcatura di N e sia t TN. La transizione t è M-morta se e solo se M’ [M> t non è M’-abilitata.

Prova di proprietà con i grafi di copertura (3) Teorema. Sia N una rete P/T, t TN e G un grafo di copertura di N. La transizione t è MN-morta se non ci sono archi (E, t, E’) in G. Prova. Se (E, t, E~) è un arco di G allora per il lemma esiste una marcatura M ME che abilita t. Viceversa se t non fosse MN-morta Esisterebbero M 1 , M 2 [M> con M 1 [t> M 2. Cosí per il lemma esisterebbe in G un nodo con M E, t E-abilitato e (E, t, E~) contro l’ipotesi.

Prova di proprietà con i grafi di copertura (4) Teorema. Sia N una rete P/T tale per ogni s SN KN (s) = w, sia M: SN N {w} una marcatura e sia t TN M-morta. Allora per ogni M’ < M t è M’-morta. Prova. Assumiamo che t non sia M’-morta. Allora esiste una marcatura M~’ [M’> tale che t è M~’-abilitata. Partendo da M e sparando le stesse transizioni sparate per andare da M’ a M~’ si ottiene una marcatura M~ tale che t è M~-abilitata. Teorema. Sia N una rete P/T, t TN e G un grafo di copertura di N. L’insieme [MN> di marcature raggiungibiliè finito se e solo se nessun nodo di G ha una w componente.

Proprietà di “Liveness” (1) In rappresentazioni di sistemi mediante reti, gli elementi attivi (processori, agenti, . . . ) sono rappresentati come transizioni, gli elementi passivi (buffer, memorie, . . . ) come posti e gli elementi assegnabili come token. Situazioni di blocco sono viste come transizioni che non possono piu’ essere eseguite. Queste reti non sono “vive”. Sia N una rete P/T, sia t TN 1. t è viva se e solo se per ogni M [MN> esiste M’ [M> tale che t e’ M’-abilitata. 2. N e’ viva se e solo se per ogni t TN, t è viva.

Proprietà di “Liveness” (2) Non è vero che aggiungendo token alla marcatura iniziale di una rete viva si ottiene ancora una rete viva. Questa rete e’ viva. .

Proprietà di “Liveness” . . .

Proprietà di “Liveness” . . .

Proprietà di “Liveness” . . .

Proprieta’ di “Liveness” . . .

Proprietà di “Liveness” Non è vero che aggiungendo token alla marcatura iniziale di una rete viva si ottiene ancora una rete viva. Questa rete non è viva. . .

Proprietà di “Liveness” . .

Invarianti di rete(1) S-invarianti sono insiemi di posti della rete che non cambiano numero complessivo di token durante lo sparo delle transizioni. Idea: Assumiamo reti con peso degli archi 1. Sia N una rete P/T. Vogliamo caratterizzare insiemi di posti S SN che non cambiano conteggio di token quando sparano le transizioni. Se s S per ogni t s. che può essere abilitata ci deve essere s’ t. che è elemento di S. Intuitivamente un token fluisce lungo gliarchi (s, t) e (t, s’) da s a s’. Analogamente, per ogni transizione t . s che può essere abilitata c’è un posto s’ . t tale che un token fluisce lungo (s’, t) e (t, s) da s’ a s. L’insieme S è caratterizzato da un insieme di archi F tale che: 1. quando un arco appartenente a F inizia o termina in un posto s, tutti gli archi da s ed a s appartengono a F 2. 2. Per ciascun arco di F che termina in qualche transizione t c’è esattamente un arco che appartiene a F partendo da t.

Invarianti di rete (2) Esempio s 2 t 1 t 2 s 3 s 1 s 5 t 4 t 3 s 4 {s 1, s 3, s 4} è un insieme di posti conteggio di token invariante. Gli archi corrispondenti sono in grassetto. Un altro insieme di posti conteggio di token invariante è {s 1, s 2, s 4, s 5}.

Invarianti di rete (3) Per esprimere che il conteggio dei token non cambia su S SN quando spara una transizione t TN poniamo S s . t SW(s, t) = S s t. SW(t, s) che è equivalente a Ss . t S t(s) = -S s t. S t(s) ossia Ss . t S t(s) +S s t. S t(s)=0 che è equivalente a Ss (. t t. ) S t(s) = o e anche Ss S t(s) = o. Sostituendo S con il suo vettore caratteristico c. S abbiamo Ss S t(s). c. S (s) = o che equivale a t. c. S = o. Se il conteggio non cambia su S SN in seguito a transizioni arbitrarie la condizione ti. c S = o deve essere soddisfatta per tutte le transizioni t i TN. Quindi deve valere N’. c. S = o, dove N’ è la trasposta di N. Viceversa ogni soluzione di N’. x = o consistente di componenti da {0, 1} è il vettore caratteristico di un insieme di posti conteggio costante dei token. N

Invarianti di rete (4) Esempio. Gli invarianti dell’esempio precedente sono t 1 s 1 -1 s 2 1 s 3 1 t 2 t 3 t 4 t 5 -1 1 s 4 s 5 1 i 2 i 3 i 4 -1 1 1 2 1 1 -1 1 2 1 1 1 i 1 e i 2 sono vettori caratteristici che denotano gli insiemi {s 1, s 3, s 4} e {s 1, s 2, s 4, s 5}. Gli altri invarianti indicano conteggi pesati sulla rete che restano invarianti. Un token su s 1 conta quanto uno su s 2 e uno su s 3 assieme, un token su s 4 conta quanto due token distribuiti su s 3 e s 5.

Invarianti di rete (5) Lemma. Siano i 1 e i 2 S-invarianti di una rete N e sia z z. Allora anche i 1 + i 2 e z. i 1 sono invarianti di N. Teorema. Sia N una rete P/T. Allora per ciascun S-invariante i di N e ogni marcatura raggiungibile M [MN> si ha M. i = MN. i. Prova. Siano M 1 , M 2 [MN> e sia t TN tale che M 1 [t> M 2. Allora M 2 = M 1 + t e t. i = 0 poichè i è un invariante. Perciò M 2. i = (M 1 + t). i = M 1. i + t. i = M 1. i. L’inverso vale solo se ogni transizione può sparare almeno una volta, in particolare per reti vive.

Invarianti di rete (6) Lemma. Sia N una rete P/T viva e sia i: SN z un vettore di posti tale che per ogni M [MN> si ha M. i = MN. i. Allora i è un S-invariante. Prova. Dobbiamo mostrare che per ogni t TN t. i = 0. Sia M [MN> e t sia M-abilitata. Allora M. i = M’. i = (M + t). i = M. i + t. i. Quindi t. i = 0. Corollario. Sia N una rete P/T viva e sia i: SN z un vettore di posti. Allora i è un S-invariante se e solo se per ogni M [MN> si ha M. i = MN. i.

Invarianti di rete (7) Una rete P/T è coperta da S-invarianti se e solo se per ogni posto S MN esiste un S-invariante i di N con i(s) > 0. Una rete è limitata se e solo se MN è finita ed esiste n N tale che per ogni M [MN> e ogni s SN M(s) n. Teorema. Sia N una rete P/T e MN sia finita. Se N è coperta è da -invarianti allora è limitata. Ossservazione. L’inverso non vale. Esistono reti vive, senza contatti, con capacita’ dei posti 1 e non coperte da S-invarianti. S

Invarianti di rete (8) Esempio s 5 k k s 4 s 2 t 5 t 2 t 1 t 4 s 0 t 3 s 3 t 0 s 1 In s 0 ci sono i processi inattivi, in s 1 i processi pronti a leggere, in s 2 i processi che leggono, in s 3 i processi pronti a scrivere, in s 4 iprocesssi che scrivono, il posto s 5 è di sicronizzazione. Nello stato inziale tutti gli n processi sono passivi e quindi s 0 contiene n token, il posto s 5 contiene k token quanti sono i processi che possono leggere concorrentemente.

Invarianti di rete (9) t 0 s 0 -1 s 1 1 s 2 t 1 t 2 t 3 t 4 1 -1 1 1 -1 i 2 MN n 1 s 4 . i 1 -1 s 3 s 5 t 5 1 -1 -k k 1 k

Invarianti di rete (10) Usando i 1 abbiamo che per ciascuna marcatura M [MN> abbiamo M(s 0) + M(s 1) + M(s 2) + M(s 3) + M(s 4) = MN(s 0) + MN(s 1) + MN(s 2) + MN(s 3) + MN(s 4) = n Che significa che il numero di processi rimane costante e ogni processo è in uno degli stati s 0, …, s 4. Usando i 2 abbiamo per ciascuna marcatura M [MN> M(s 2) + k. M(s 4) + M(s 5) = MN (s 2) + k. MN (s 4) + M(s 5)= k Che significa che s 4 contiene al più un token nella marcatura M, ossia al piu`un processo può scrivere e quando in s 4 c’è un token i posti s 2 e s 5 sono vuoti, cosí mentre un processo scrive nel buffer nessun. processo può leggere. Nel posto s 2 ci sono al più k token, ossia al più k processi possono leggere concorrentemente.