Geometria Espacial Axiomas n Axiomas ou postulados P

Geometria Espacial

Axiomas n Axiomas, ou postulados (P), são proposições aceitas como verdadeiras sem demonstração e que servem de base para o desenvolvimento de uma teoria.

n A reta é infinita, ou seja, contém infinitos pontos. n

n Por um ponto podem ser traçadas infinitas retas.

n Por dois pontos distintos passa uma única reta.

n Por três pontos não-colineares passa um único plano.

n Por uma reta pode ser traçada uma infinidade de planos.

Posições relativas de duas retas

Posições relativas de duas retas

Posições relativas de duas retas

Temos que considerar dois casos particulares: n retas perpendiculares: n retas ortogonais:

Postulado de Euclides ou das retas paralelas n Dados uma reta r e um ponto P r, existe uma única reta s, traçada por P, tal que r // s: n

Determinação de um plano n uma reta e um ponto não-pertencente a essa reta:

Determinação de um plano n duas retas distintas concorrentes:

Determinação de um plano n duas retas paralelas distintas:

Posições relativas de reta e plano n reta contida no plano

Posições relativas de reta e plano n reta concorrente ou incidente ao plano

Posições relativas de reta e plano n reta paralela ao plano

Perpendicularismo entre reta e plano

Posições relativas de dois planos n planos coincidentes ou iguais

Posições relativas de dois planos n planos concorrentes ou secantes

Posições relativas de dois planos n planos paralelo

Poliedros convexos e côncavos n Chamamos de poliedro o sólido limitado por quatro ou mais polígonos planos, pertencentes a planos diferentes e que têm dois a dois somente uma aresta em comum

Poliedros convexos e côncavos n n n n Os poliedros convexos possuem nomes especiais de acordo com o número de faces, como por exemplo: tetraedro: quatro faces pentaedro: cinco faces hexaedro: seis faces heptaedro: sete faces octaedro: oito faces icosaedro: vinte faces

Relação de Euler n Em todo poliedro convexo é válida a relação seguinte: n V - A + F = 2 V=8 A=12 F=6 8 - 12 + 6 = 2

Relação de Euler n V = 12 A = 18 F = 8 n 12 - 18 + 8 = 2

Poliedros platônicos n Diz-se que um poliedro é platônico se, e somente se: n a) for convexo; n b) em todo vértice concorrer o mesmo número de arestas; n c) toda face tiver o mesmo número de arestas; n d) for válida a relação de Euler.

Poliedros platônicos

Poliedros platônicos

Prismas

Prismas n bases: as regiões poligonais R e S n altura: a distância h entre os planos n arestas das bases: os lados ( dos polígonos) n arestas laterais: os segmentos n faces laterais: os paralelogramos AA'BB', BB'C'C, CC'D'D, DD'E'E, EE'A'A

Prismas n Classificação n reto: quando as arestas laterais são perpendiculares aos planos das bases;

Prismas n Classificação n oblíquo: quando as arestas laterais são oblíquas aos planos das bases.

Prismas n Chamamos de prisma regular todo prisma reto cujas bases são polígonos regulares:

Prismas

Prismas n volume de um prisma n V = AB. h

Paralelepípedo retângulo

Diagonais da base e do paralelepípedo

Sendo AL a área lateral de um paralelepípedo retângulo, temos: n AL= ac + bc + ac + bc = 2 ac + 2 bc = AL = 2(ac + bc)

área total é a soma das áreas de cada par de faces opostas: n AT= 2( ab + ac + bc)

volume de um paralelepípedo n volume de um paralelepípedo retângulo de dimensões a, b e c é dado por: n V = abc

Cubo

Diagonais da base e do cubo

Área lateral n AL=4 a 2

Área total AT=6 a²

Volume n V= a. a. a = a³ n

Cilindro

Classificação do Cilindro n circular oblíquo: quando as geratrizes são oblíquas às bases; n circular reto: quando as geratrizes são perpendiculares às bases

cilindro de revolução n O cilindro circular reto é também chamado de cilindro de revolução

Secção transversal

Secção meridiana

Áreas

Volume n Vcilindro = Ab. h

Pirâmides

Relações entre os elementos de uma pirâmide regular

Relações entre os elementos de uma pirâmide regular n A face lateral da pirâmide é um triângulo isósceles.

Relações entre os elementos de uma pirâmide regular n Os triângulos VOB e VOM são retângulos.

Áreas n AT = AL +Ab n

Volume

Cone circular

Cone circular n altura: distância h do vértice V ao plano n geratriz (g): segmento com uma extremidade no ponto V e outra num ponto da circunferência n raio da base: raio R do círculo n eixo de rotação: reta determinada pelo centro do círculo e pelo vértice do cone n

Cone reto n g² = h²+ R²

Secção meridiana

Áreas

Teorema de Pappus - Guldin n quando uma superfície gira em torno de um eixo e, gera um volume tal que: d = distância do centro de gravidade (CG) da superfície ao eixo e S=área da superfície

Volume

Secção paralela à base de uma pirâmide

Tronco da pirâmide

Áreas & Volume n AT =AL+AB+Ab

Tronco do cone

Áreas

Volume

Esfera

Fuso esférico

Cunha esférica

Calota esférica

Zona esférica