GEOMETRIA Nazwa geometria pochodzi z jzyka greckiego od

GEOMETRIA Nazwa geometria pochodzi z języka greckiego, od geo=ziemia i metro=mierzę. Oznacza ona jeden z działów matematyki powstały w starożytności. Pierwotnie geometria stanowiła praktyczną wiedzę o wykonywaniu pomiarów przedmiotów materialnych. Początki geometrii jako nauki formułującej twierdzenia i dowodzącej ich datuje się na VI w p. n. e. Syntezy starożytnej wiedzy matematycznej, w tym także geometrii, dokonał Euklides. Inni uczeni, tacy jak: Kartezjusz, Fermat, Hilbert, Riemann, również w szczególny sposób przyczynili się do rozwoju tej dziedziny matematyki.

TEORIE AKSJOMATYCZNE

Teorie, w których wszystkie twierdzenia wyprowadza się z aksjomatów (własności) tej teorii. Budowę rozpoczyna się od wyboru tzw. pojęć pierwotnych, tzn. pojęć, których się w niej nie definiuje. (np. punkt, prosta, zbiór) Następnie formułuje się zdania opisujące własności tych pojęć i uznaje je bez dowodu za twierdzenia teorii. W celu zapewnienia poprawności układ aksjomatów musi spełniać określone warunki. Powinien być: *niezależny (aksjomaty nie wynikają z siebie nawzajem), *niesprzeczny (z przyjętych aksjomatów nie mogą wynikać tezy ze sobą sprzeczne), *zupełny (przyjęte aksjomaty powinny umożliwiać prowadzenie wszystkich tez budowanej teorii). Za pomocą logicznego wnioskowania (zwanego dowodem) z aksjomatów wyprowadza się wszystkie dalsze twierdzenia teorii.

Pierwszą teorią aksjomatyczną była geometria euklidesowa. Ograniczone zdolności naszego dotyku i wzroku dają możliwość poznania tylko niewielkiej przestrzeni i to w przybliżeniu. Własność wycinka przestrzeni, w której żyje człowiek, Euklides opisał w swoim epokowym dziele złożonym z trzynastu ksiąg. „Elementy”to praca zawierająca podstawy całej antycznej matematyki. Matematyk zsumował w niej osiągnięcia swoich poprzedników i własne przemyślenia. Pierwsza księga poświęcona została planimetrii, znalazły się w niej podstawowe dowody własności trójkątów, prostokątów i trapezów. W tej księdze zapisał też twierdzenie Pitagorasa i twierdzenie do niego odwrotne. Księga II zawiera elementy algebry geometrycznej. Księga III - wiedzę na temat własności koła, stycznych i cięciw. IV, V, VI są poświęcone geometrii, a VI, VII i XIX teorii liczb całkowitych i wymiernych, zaś X klasyfikacją niewymierności kwadratowych. Pozostałe księgi dotyczą geometrii przestrzennej. Euklides ( matematyk grecki, zajmujący się; astronomią, optyką, muzyką logiką, geometrią. )

W podanym przez siebie systemie Euklides wyróżnił pięć pewników płaszczyzny: 1) Dowolne dwa punkty można połączyć odcinkiem. 2) Dowolny odcinek można przedłużyć nieograniczenie (uzyskując prostą). 3) Dla danego odcinka można zaznaczyć okrąg o środku w jednym z jego końcowych punktów i promieniu równym jego długości. 4) Wszystkie kąty proste są przystające. Słynny jest piąty postulat mówiący, że dwie proste, które przecinają trzecią w taki sposób, że suma kątów wewnętrznych po jednej stronie jest mniejsza od dwóch kątów prostych, przetną się z tej właśnie strony.

Początki geometrii nieeuklidesowych Od II w n. e. aż do XIX wielu wybitnych matematyków usiłowało bez powodzenia udowodnić piąty postulat. Spowodował on powstanie wielu niejasności – sam Euklides unikał używania go w swym dziele tak długo, jak to było możliwe. Przez blisko 22 stulecia sądzono, że inny niż wszystkie postulat równoległości musi wynikać z pozostałych. Z tego powodu szukano dowodów potwierdzających tę tezę. W XIX wieku okazało się, że jest on niezależny od pozostałych, a zastąpienie go innymi daje inne spójne geometrie. Dotychczas znaną geometrię nazwano euklidesową, a nowe – nieeuklidesowymi.

Geometrie nieeuklidesowe

Geometria hiperboliczna (tzw. geometria siodła) Zaprzeczenie postulatu dokonane przez Łopaczewskiego doprowadziło do stworzenia geometrii hiperbolicznej. Trójkąt oraz dwie proste przedstawione na powierzchni o geometrii hiperbolicznej Założenia są takie: przez dowolny punkt leżący poza prostą można poprowadzić co najmniej dwie proste nie przecinające tej prostej. CIEKAWOSTKA: Tak naprawdę to pierwszy wpadł na to dużo wcześniej Carl Friedrich Gauss lecz nie przedstawiał tej teorii, żeby nie siać zamętu w współczesnym świecie. Nikołaj Iwanowicz Łobaczewski (rosyjski matematyk)

Geometria eliptyczna (tzw. geometria sferyczna) Oczywistym jest że wraz z powstaniem geometrii hiperbolicznej jest powstanie geometrii sferycznej jako przeciwnej. Przestrzeń w niej jest przedstawiona jako sfera. Pierwsze co przychodzi na myśl to Ziemia bo jak wiadomo Ziemia jest kulą. Jak widać suma kątów w trójkącie w takim układzie jest większa od 180 stopni natomiast dwie proste równoległe przecinają się.

Geometria Riemanna Jest to geometria przestrzeni którą zaproponował Bernhard Riemann podczas obrony swojej pracy habilitacyjnej, zakłada ona że tak naprawdę wszystkie powyższe geometrie istnieją jednocześnie. Uogólnienia geometrii dokonane przez Riemanna znalazły niezwykle ważne zastosowania w fizyce współczesnej. Bernhard Riemann (niemiecki matematyk)

Odkrycie i uznanie geometrii nieeuklidesowej miało skutki wykraczające daleko poza geometrię. Przede wszystkim pojawienie się innej geometrii, sprzecznej z euklidesową i okoliczność, że nie sposób rozstrzygnąć eksperymentalnie, która z nich jest „prawdziwym” opisem otaczającej nas przestrzeni – musiało wpłynąć na zmianę poglądu, że matematyka jest nauką opisującą świat.

Podsumowanie wszystkich poznanych geometrii Euklidesa Łobaczewskiego Riemanna Dwie różne proste przecinają się w co najwyżej jednym (pojedyncza eliptyczna) punkcie Dla danej prostej L i punktu P poza L istnieje jedna i tylko jedna prosta co najmniej dwie proste nie istnieje żadna prosta przechodząca przez P i równoległa do L Prosta jest nie jest dzielona przez punkt na dwie części Proste równoległe są równoległe nigdy nie są równoległe nie istnieją Jeśli prosta przecina jedną z dwóch równoległych, to musi może, ale nie musi - przecinać drugą Czworokąt Saccheriego ma proste ostre rozwarte kąty Dwie różne prostopadłe do tej samej prostej są równoległe przecinają się Suma kątów w trójkącie jest równa mniejsza niż większa niż 180° Powierzchnia trójkąta jest niezależna od proporcjonalna do niedoboru do 180° proporcjonalna do nadmiaru ponad 180° sumy kątów tego trójkąta Dwa trójkąty z równymi odpowiadającymi sobie kątami są podobne przystające

Prezentacje wykonały: Anna Banasik, Martyna Pluta Źródła informacji Książki: