Geometria Espacial de posio Introduo A j conhecida

Geometria Espacial de posição

Introdução § A já conhecida Geometria Plana trata de figuras cujos pontos estão todos num mesmo plano, ou seja, estuda figuras de uma ou duas dimensões; § A Geometria Espacial trata de figuras cujos pontos podem não estar todos num mesmo plano. Reta: figura plana de uma dimensão Triângulo: figura plana de duas dimensões Cubo: figura espacial de três dimensões

§ A Geometria Espacial Métrica estuda volumes e superfícies de sólidos e a Geometria Espacial de Posição estuda as posições relativas de figuras geométricas no espaço. § A Geometria Espacial de Posição requer os seguintes elementos: – Postulado: proposição que se aceita verdadeira sem demonstração; – Teorema: proposição que se aceita como verdade por meio de demonstração.

Conceitos primitivos § São conceitos primitivos (e, portanto, aceitos sem definição) na Geometria Espacial os conceitos de ponto, reta e plano. Habitualmente, usamos a seguinte notação: Ø pontos: letras maiúsculas do nosso alfabeto A Ø retas: letras minúsculas do nosso alfabeto r Ø planos: letras minúsculas do alfabeto grego Observação: Espaço é o conjunto de todos os pontos.

Postulados Axiomas, ou postulados (P), são proposições aceitas como verdadeiras sem demonstração e que servem de base para o desenvolvimento de uma teoria. § Postulado da Existência: Ø Existem ponto, reta e plano. Ø Numa reta, bem como fora dela, existem infinitos pontos. Ø Num plano, bem como fora dele, existem infinitos pontos. Existe ponto Existe reta, e nela, bem A dela, existem como fora Existe plano, e nele, bem infinitos pontos. como fora dele, existem infinitos pontos. Ponto A Reta s

§ Postulado da Determinação: Ø Dois pontos distintos determinam uma única reta. A r B ØTrês pontos não colineares determinam um único plano. C A B

§ Postulado da Inclusão: Ø Uma reta que possui dois pontos distintos em um plano está contida nesse plano. A B r § Postulado da divisão: Ø Um ponto de uma reta divide-a em duas regiões denominadas semiretas. O ponto é a origem das semi-retas, e elas são chamadas opostas. Ø Uma reta de um plano divide-o em duas regiões denominadas semiplanos. A reta é a origem dos semiplanos, e eles são chamados opostos. Ø Um plano divide o espaço em duas regiões denominadas semi-espaços. O plano é a origem dos semi-espaços, e eles são chamados opostos.

B O r A B O A O r r r

§ Postulado da Intersecção: Ø Se dois planos distintos têm um ponto em comum, então têm uma única reta em comum passando por esse ponto. § Postulado das Paralelas: Ø Dado um ponto P e uma reta r, existe e é única, a reta que passa por P e é paralela à r. P s r

Posições relativas de duas retas § Retas concorrentes: quando têm um único ponto em comum. P r s § Retas paralelas distintas: quando forem coplanares e não tiverem ponto em comum. r s

Retas paralelas coincidentes: quando tiverem todos os pontos em comum. r=s Retas reversas: quando não forem coplanares.

ngulo entre retas reversas § Define-se ângulo entre duas retas reversas (r e s) como sendo o ângulo de uma reta r’ paralela a r e concorrente com s. r r´ s

§ Retas perpendiculares: quando forem concorrentes e formarem ângulo reto. r P s § Retas ortogonais: quando formarem ângulo reto (inclusive reversas). r' r P P s

Retas ortogonais § São retas reversas que formam ângulo de 90º ou retas perpendiculares. a e b são perpendiculares c e g são paralelas f e h são ortogonais e e d são ortogonais

Determinação de Plano § Três pontos não colineares determinam um plano. C A B § Uma reta e um ponto fora dela determinam um plano. P r

§ Duas retas paralelas distintas determinam um plano. r s § Duas retas concorrentes determinam um plano. r P s

Quadrilátero reverso § É o quadrilátero cujos vértices não são coplanares, ou seja, não há plano que os contenha.

Posições relativas de reta e plano § Uma reta está contida em um plano quando ela tem dois pontos distintos pertencentes ao plano. B A r § Uma reta e um plano são concorrentes ou secantes quando têm um único ponto em comum. r P

§ Uma reta é paralela a um plano quando eles não têm ponto em comum. r

Conceitos sobre paralelismo entre reta e plano § Se uma reta é paralela a um plano, então ela é paralela ou reversa a qualquer reta do plano. r s t

Conceitos sobre paralelismo entre reta e plano Se uma reta não está contida num plano e é paralela a uma reta do plano, então ela é paralela ao plano. r s

Posições relativas de dois planos § Dois planos são concorrentes ou secantes se têm uma única reta em comum. i b § Dois planos são paralelos coincidentes se têm todos os pontos em comum. =b

§ Dois planos são paralelos distintos quando não têm ponto em comum. b

Conceitos sobre paralelismo entre planos § Se dois planos são paralelos distintos, qualquer reta de um deles é paralela ao outro. s b

Conceitos sobre paralelismo entre planos § Se dois planos são paralelos distintos, toda reta concorrente com um deles é concorrente com o outro. P b Q

Conceitos sobre paralelismo entre planos § Se um plano contém duas retas concorrentes, que são paralelas a um plano, então esses planos também são paralelos. r P b s

Perpendicularismo § Reta e plano Ø Uma reta é perpendicular a um plano quando ela é concorrente com o plano e é perpendicular a todos as retas de , que passam pelo seu traço no plano. a b e P c d

Perpendicularismo Ø Se uma reta é perpendicular a duas retas concorrentes de um plano, então ela é perpendicular ao plano. r s P t

§ Planos perpendiculares Ø Dois planos são perpendiculares se um deles contém uma reta perpendicular ao outro. r i t b

Teorema das três perpendiculares Sejam r, s e t três retas e um plano tais que r , r t, s , t e s t. Assim, qualquer reta a concorrente com r e s, passando por S, será perpendicular a s. r s t O S a

Projeção ortogonal § A projeção de um ponto sobre um plano é o ponto, sobre o plano, que traça com o ponto projetado uma reta perpendicular ao plano. P r P’

§ A projeção ortogonal de uma reta r sobre um plano pode ser uma reta r’ ou um ponto. s P Q Q s' s' P’ Q’ s P’ P Q’ s

§ A projeção ortogonal de um segmento de reta PQ sobre um plano pode ser um segmento P’Q’ ou um ponto. P P Q P’ = Q’ P’ Q ’ Q’ Q § A projeção ortogonal de um triângulo ABC sobre um plano pode ser um segmento de reta ou um triângulo A’B’C’.

Projeção de uma figura § A projeção ortogonal de uma figura sobre um plano é o conjunto das projeções ortogonais dos pontos da figura sobre esse plano. B A D A’ D’ C B’ C’

Distâncias § Dados dois pontos A e B, a distância entre eles é a medida do segmento AB, indicada por AB. Caso os pontos A e B coincidam, dizemos que a distância entre eles é zero. A B A=B § Dados um ponto P e uma reta r, a distância entre eles é a distância entre P e a sua projeção ortogonal P’ sobre r. Caso P pertença à reta r, dizemos que a distância é zero. P r P’

§ Dados um ponto P e um plano , a distância entre eles é a distância entre P e sua projeção ortogonal P’ sobre . Caso P pertença ao plano , dizemos que a distância entre eles é zero. P d s P’ t § Quando uma reta e um plano têm um ponto em comum, distância entre eles é igual a zero. Quando uma reta é paralela a um plano, distância entre eles é a distância de um ponto qualquer da reta ao plano. P r d s P’ t

§ Quando dois planos têm ponto em comum, a distância entre eles é igual a zero. Quando dois planos são paralelos distintos, a distância (d) entre eles é igual a distância de um ponto qualquer de um deles ao outro. P b P’

§ Quando duas retas têm um ponto em comum, a distância (d) entre elas é igual a zero. Quando duas retas são paralelas distintas, a distância (d) entre elas é igual a distância entre um ponto qualquer de uma delas e a outra. P r d s P’

§ A distância (d) entre duas retas reversas é a medida do segmento que tem uma extremidade em cada reta e é perpendicular a ambas (segmento perpendicular comum às duas retas). s P r d b P’