GEOMETRA EUCLIDEANA Sesin 3 AXIOMAS Y TEOREMAS BSICOS

GEOMETRÍA EUCLIDEANA Sesión 3 AXIOMAS Y TEOREMAS BÁSICOS Dra. Nieves Vílchez G.

Axiomas y Teoremas Básicos Axiomas sobre puntos, rectas y planos Axiomas de separación del plano Axiomas de separación del espacio Teoremas Definiciones a partir de axiomas y teoremas. Definición de sistema de coordenadas

Axiomas 1. Postulado de la recta: Dados puntos cualesquiera, hay exactamente una recta que los contiene A B 2. Postulado sobre plano y espacio: a) Todo plano contiene al menos tres puntos que no están alineados. b) El espacio contiene al menos cuatro puntos que no están en un plano

Más…. Axiomas 3. Postulado : Si dos puntos están en un plano entonces la recta esta en el mismo plano. A B

Mas. . Axiomas 4. Postulado del Plano : o 2 an Pl Si dos planos diferentes se cortan, su intersección es una recta. re cta 5. Postulado : Plano 1 tres puntos cualesquiera están al menos en un plano, y tres puntos cualesquiera no colineales están exactamente en un plano.

Axioma de separación del plano 6. Postulado : Se da una recta y un plano que la contiene. Los puntos que no están en la recta forman dos conjuntos tales que: a) Cada uno de los conjuntos ex convexo y b )Si P esta en uno de los conjuntos y Q en el otro, entonces el segmento PQ corta a la recta. B A P Q convexo

Axioma de separación del espacio 7. Postulado : Los puntos del espacio que no están en un plano dado forman conjuntos tales que: • a) cada uno de los conjuntos es convexo • b) si R esta en uno de los conjuntos y S esta en el otro, entonces el segmento RS intersecta al plano. P R Q H 1 V U S H 2 T

Teoremas Basados en los axiomas anteriores podemos probar varios teoremas. Mostremos un caso y dejamos otros para que el lector los resuelva. Como consecuencia del Postulado del Plano: TEOREMA: Dado una recta y un punto fuera de ella, hay exactamente un plano que contiene a ambos. . R P S E l

DEMOSTRACIÓN Sean R y S puntos distintos de la recta l, existen debido al Postulado 1. Consideramos entonces los puntos R, S y P que son no colineales, pues P es punto P fuera de la recta l. Luego, R, S y P por Postulado del plano, están contenidos en un único plano, que era lo que se quería probar en este primer teorema. R S E . P l

Otros teoremas…. Probar los siguientes Teoremas: 1. Si una recta intersecta a un plano que no la contiene , entonces la intersección contiene un solo punto. 2. Dadas dos rectas que se intersectan, hay exactamente un plano que las contiene.

Definiciones a partir de los axiomas Conjunto Convexo: Un conjunto A se dice convexo , si para cada dos puntos P y Q del conjunto, todo el segmento PQ está en A. Dada una recta y un plano que la contiene, los dos conjuntos determinados por el Postulado de separación del plano, se llaman semiplanos o lados de l. Y l se llama la arista o el borde de cada uno de ellos. EJERCICIO: Atendiendo al Postulado de separación del espacio define semiespacio.

Sistema de Coordenadas Postulado de la distancia: A todo par de puntos distintos , le corresponde un único numero AB, llamado la distancia entre A y B. Un Sistema de Coordenadas sobre una recta es una correspondencia 1 -1 entre los números reales y los puntos de la recta, de manera que la distancia entre dos puntos cualquiera el valor absoluto de la diferencia de las coordenadas. A -2 a B -1 0 1 b BA = AB = |a-b |= |b-a| 2

Ejemplos de Sistema de Coordenadas En el siguiente ejemplo consigue la coordenada de B y de A. Y la distancia AB. B A -4 a -2 0 2 b 4 Solución: A= - 3 y B= 3 BA = AB = |-3 -3 |= |3 - (-3)|= |-6|= 6 Reflexiona sobre ejemplos de la vida real que ilustran sistemas de coordenadas. Ejemplo: El termómetro o el dial radial.