LA RETTA Concetto primitivo La retta o linea

LA RETTA

Concetto primitivo • La retta o linea retta è uno dei tre enti geometrici fondamentali della geometria euclidea. Viene definita da Euclide nei suoi Elementi come un concetto primitivo. Un filo di cotone o di spago ben teso tra due punti è un modello materiale che ci può aiutare a capire cosa sia la retta, un ente geometrico immateriale senza spessore e con una sola dimensione. La retta è inoltre illimitata in entrambe le direzioni, cioè è infinita. Viene generalmente contrassegnata con una lettera minuscola dell'alfabeto latino.

Definizioni • Una retta può giacere (cioè essere contenuta) nel piano o nello spazio tridimensionale. • Due rette nel piano possono essere: • incidenti se si intersecano in uno e un solo punto; • parallele se non si intersecano in uno e solo punto. • Due rette nello spazio possono essere: • complanari se esiste un piano che le contiene entrambe. In questo caso, sono incidenti se si intersecano e parallele altrimenti; • sghembe se non sono contenute in un piano comune.

Proprietà • La retta è in relazione con gli altri enti geometrici fondamentali, quali il punto, il piano e gli angoli, nel modo seguente: • Per un punto si possono tracciare un infinito numero di rette. • Per due punti passa una sola retta. • Due rette incidenti in un punto generano angoli opposti uguali. • Nello spazio, per una retta passano infiniti piani. • Le prime 3 proprietà sono valide sia nel piano che nello spazio.

Retta nel piano cartesiano • Una retta nel piano cartesiano è descritta da un'equazione lineare ax + by + c = 0 • dove i coefficienti a, b , c sono dei numeri reali fissati, con a e b non contemporaneamente nulli. • E’ possibile descrivere la stessa retta in forma esplicita, rispettivamente in una delle due forme seguenti: y = mx + q oppure x = my + q dove m si chiama coefficiente angolare e quantifica la pendenza della retta.

FORMA ESPLICITA • La retta può anche essere descritta in forma esplicita come • dove m si chiama coefficiente angolare e rappresenta la pendenza della retta. Nel caso specifico dell'equazione y = mx + q, il coefficiente m è la tangente (trigonometrica) dell'angolo che la retta forma con l'asse delle ascisse; il coefficiente q si chiama intercetta (od ordinata )all'origine e rappresenta l’ordinata del punto di passaggio della retta per l'asse delle ordinate, ovvero l'entità della traslazione della retta dall'origine. Se esso non è presente in una equazione, ovvero è nullo, vuol dire che la retta passa per l'origine. In tal caso la forma esplicita si riduce a: • • y = mx + q oppure x = my + q y = mx. Lo stesso discorso si applica, invertendo ascisse ed ordinate, all'equazione x = my + q. Si tenga presente che, a differenza della forma implicita, ciascuna delle due forme esplicite non descrive tutte le rette possibili: ad esempio le rette parallele all'asse y, come la retta x = 3, non sono descrivibili nella forma y = mx + q, in quanto non si possono ottenere per alcun valore del coefficiente angolare m; per lo stesso motivo le rette parallele all'asse x, come la retta y = − 1, non sono descrivibili nella forma x = my + q.

FORMA PARAMETRICA • Una retta r in un piano risulta individuata quando sono descritti un suo punto P(x 0 , y 0) e la direzione, individuata da un vettore v(l, m). Con queste informazioni si possono immediatamente scrivere le equazioni parametriche della retta: • dove k è un parametro reale. La retta è quindi descritta come l'insieme di punti ottenuti al variare di k nell'insieme dei numeri reali. Il punto (x 0, y 0) è ottenuto per il valore k = 0.

Retta passante per 2 punti • La retta passante per due punti distinti P = (x 1 , y 1) e Q = (x 2, y 2) del piano è descritta in forma cartesiana implicita dalla seguente equazione: che può essere riscritta nel modo seguente: Se , la retta non è verticale e può essere descritta in forma esplicita: • Analogamente, se la retta non è orizzontale e può essere descritta eplicitando la variabile x. Se la retta non è né verticale né orizzontale, può anche essere descritta dall'equazine seguente:

Distanza punto-retta • In matematica, e più precisamente in geometria analitica, la distanza di un punto P da una retta r è definita come la minima distanza fra P ed un punto Q di r. Se il punto e la retta sono contenuti nel piano cartesiano, la retta è descritta da un'equazione ax + by + c = 0, e la sua distanza dal punto P(x 0, y 0) è data dalla formula –

Perpendicolarità • La perpendicolarità è un concetto geometrico che indica la presenza di angolo retto tra due entità geometriche. Queste possono essere ad esempio due rette in un piano, oppure una retta ed un piano o due piani incidenti nello spazio.

Perpendicolarità nel piano cartesiano • Una retta nel piano cartesiano può essere descritta in vari modi, e per ciascuno di questi esistono delle condizioni per determinare se due rette sono perpendicolari. Ad esempio, due rette descritte nella forma y = mx + q y = m'x + q’ sono perpendicolari se e solo se: m * m’ = -1

Parallelismo tra due rette • Due rette r ed s sono parallele quando hanno almeno due proiezioni complanari parallele. Ovvero proiettando tali rette su due piani distinti α e β, le proiezioni di r ed s risulteranno parallele sia su α che su β. Due rette(non parallele all'asse delle y) sono fra loro parallele se hanno lo stesso coefficiente angolare

Coefficiente angolare • • In geometria analitica il coefficiente angolare di una retta nel piano cartesiano è il valore del parametro m nell'equazione della retta. Il parametro q rappresenta invece l'intercetta con l'asse delle ordinate, ovvero la retta interseca l'asse y nel punto (0, q). Il coefficiente angolare rappresenta inoltre la tangente dell'angolo α che la retta forma con l'asse delle x, ovvero. Considerando la retta come funzione nella variabile x (f(x) = mx + q), il coefficiente angolare esprime la derivata della retta (che è costante, poiché la funzione è un polinomio di primo grado). Il coefficiente angolare di una retta passante per l'origine del sistema di assi coordinati è dato semplicemente dal rapporto tra l'ordinata e l'ascissa di uno qualsiasi dei suoi punti. Per una retta generica, invece, date le coordinate cartesiane di due punti e ad essa appartenenti, si può calcolare il coefficiente angolare mediante la relazione