Funzioni e derivate Il concetto di derivata Il

Funzioni e derivate Il concetto di derivata Il rapporto incrementale Si dice rapporto incrementale della funzione y = f(x) relativo al punto x 0 e all’incremento h il rapporto fra l’incremento Δy della funzione f e l’incremento Δx della variabile indipendente: Dal punto di vista geometrico, il rapporto incrementale è il coefficiente angolare della retta AB; esso ci dà quindicazioni sulla pendenza media del grafico della funzione f nel passaggio da x 0+h. 1

Funzioni e derivate Il concetto di derivata ESEMPIO Calcoliamo il rapporto incrementale della funzione di equazione relativo al punto zero e all’incremento h. Per esempio, per nell’intervallo si ha che , quindi la pendenza media del diagramma f(x) è 2

Funzioni e derivate Il concetto di derivata Data una funzione f(x) definita in un intervallo I, si chiama derivata di f(x) nel punto x 0 interno ad I, e la indichiamo con f’(x 0), il limite per h 0, se esiste ed è finito, del rapporto incrementale f relativo a x 0 : Di una funzione per la quale esiste la derivata in un punto x 0 diciamo che è derivabile in x 0. 3

Funzioni e derivate Il concetto di derivata La derivata di una funzione y = f(x) nel punto x 0 si indica con: Dal punto di vista geometrico essa rappresenta il coefficiente angolare della tangente al grafico f(x) nel punto x 0. 4

Funzioni e derivate Il concetto di derivata ESEMPIO Calcoliamo, se esiste, la derivata della funzione Troviamo dapprima il rapporto incrementale relativo a Calcoliamo ora il limite per La funzione nel punto e all’incremento . : di tale rapporto: è quindi derivabile nel punto – 1 e la sua derivata vale – 4. 5

Funzioni e derivate Il concetto di derivata La derivata sinistra e la derivata destra Chiamiamo derivata sinistra della funzione Chiamiamo derivata destra della funzione nel punto Se tali limiti esistono finiti diciamo che la funzione Se poi derivabile in , e la indichiamo con , il limite: è derivabile dalla sinistra e dalla destra e le due derivate sono uguali, allora è . 6

Funzioni e derivate Il concetto di derivata ESEMPIO y Calcoliamo la derivata della funzione In un intorno sinistro di 1 la funzione vale destro vale • in ; in un intorno . La funzione non è quindi derivabile in 1. Calcoliamo la derivata sinistra: 1 x (-1 è il coefficiente angolare della tangente che coincide con la retta di equazione • Calcoliamo la derivata destra: (1 è il coefficiente angolare della tangente che coincide con la retta di equazione La funzione è derivabile dalla sinistra e la sua derivata vale – 1; è derivabile dalla destra e la sua derivata vale 1. 7

Funzioni e derivate Il concetto di derivata La funzione derivata Se una funzione è derivabile in tutti i punti dell’intervallo sinistra in b , diciamo che è derivabile in ed è derivabile dalla destra in a e dalla . In ogni punto di tale intervallo la derivata assume, in generale, un valore diverso che è funzione del punto x 0 scelto. A tale funzione diamo il nome di funzione derivata. ESEMPIO Calcoliamo la derivata della funzione ovunque definita in in ogni punto del suo dominio. La funzione è ; calcoliamo quindi il limite del rapporto incrementale nel punto : Calcoliamo la derivata: Poiché il limite trovato ha valore finito per ogni dominio e la sua derivata è , la funzione è derivabile in ogni punto del suo . 8

Funzioni e derivate Il concetto di derivata Continuità e derivabilità y Teorema. Se una funzione f(x) è derivabile in un punto x 0, allora essa è continua in x 0 x In modo del tutto analogo: • se una funzione è derivabile dalla sinistra in • se una funzione è derivabile dalla destra in , allora è continua dalla sinistra. , allora è continua dalla destra. Non è vero invece che una funzione continua in un punto è anche derivabile in . 9

Funzioni e derivate Il calcolo delle derivate La derivata delle funzioni elementari § La funzione costante § La funzione è derivabile per ogni ed è § La funzione è derivabile per ogni e è derivabile in e la sua derivata è zero: reale ed è 10

Funzioni e derivate Il calcolo delle derivate ESEMPI 1. 2. 3. 4. 11

Funzioni e derivate § La funzione è derivabile Il calcolo delle derivate e la sua derivata, se è espresso in radianti, è Analogamente, la derivata di y = cosx è y’ = −sinx § La funzione è derivabile ed è in particolare: § La funzione è derivabile se ed è in particolare: 12

Funzioni e derivate Il calcolo delle derivate La tabella delle derivate delle funzioni fondamentali 13

Funzioni e derivate Il calcolo delle derivate LE REGOLE DI DERIVAZIONE La derivata della somma Teorema. La derivata della somma di due funzioni derivabili è uguale alla somma delle derivate. In simboli: ESEMPI 1. 2. 14

Funzioni e derivate Il calcolo delle derivate La derivata del prodotto Teorema. La derivata del prodotto di due funzioni derivabili è uguale alla derivata della prima funzione per la seconda non derivata, aumentata del prodotto della prima funzione non derivata per la derivata della seconda: In particolare: se k è un numero reale, allora ESEMPI 1. 2. 15

Funzioni e derivate Teorema. Se è una funzione derivabile, la funzione Il calcolo delle derivate è derivabile per ogni tale che sia ed è: La derivata del quoziente Dai due teoremi precedenti possiamo dedurre l’algoritmo per derivare un quoziente. Teorema. Se e sono funzioni entrambe derivabili, per tutti i punti in cui si ha che: 16

Funzioni e derivate Il calcolo delle derivate ESEMPI g’ 1. g 2 f’ g f g’ 2. g 2 17

Funzioni e derivate La derivata di funzioni composte Teorema (di derivazione delle funzioni composte). Sia sia una funzione derivabile nel punto una funzione derivabile in un punto . Allora la funzione è derivabili in e ed è: ESEMPIO Deriviamo la funzione e derivata dell’argomento del logaritmo derivata della funzione logaritmo 18

Funzioni e derivate La derivata di funzioni composte In particolare, dalla regola di derivazione della funzione composta, abbiamo: ESEMPIO Calcoliamo la derivata della funzione: Applicando la regola precedente, otteniamo: 19

Funzioni e derivate La derivata della funzione inversa Teorema (di derivazione della funzione inversa). Se in un punto con derivata non nulla, allora anche è invertibile in un intervallo è derivabile nel punto e derivabile ed è: ESEMPIO La funzione è invertibile in Calcoliamo il valore di al quale corrisponde Calcoliamo la derivata della funzione ; calcoliamo la derivata della funzione inversa nel punto . : e valutiamola in : Applicando il teorema: 20

Funzioni e derivate La derivata della funzione inversa Dal teorema precedente possiamo dedurre le derivate delle funzioni inverse di quelle goniometriche. 21

Funzioni e derivate La derivata della funzione inversa ESEMPIO� Calcoliamo la derivata della funzione Si tratta della funzione composta . con Applichiamo la regola di derivazione: derivata dell’argomento dell’arctan derivata della funzione arctan 22

Funzioni e derivate Le rette tangenti e le rette normali Se una funzione è derivabile in un punto x 0 : • il coefficiente angolare della retta tangente è f’(x 0) • il coefficiente angolare della retta normale è se f’(x 0) ≠ 0 La retta tangente ha quindi equazione: La retta normale ha equazione: 23

Funzioni e derivate Le rette tangenti e le rette normali ESEMPIO Se f(x) = x 4 – x + 2 f(1) = 2 e x 0 = 1 , allora: f’(x) = 4 x 3 – 1 f’(1) = 3 Quindi la retta tangente in P(1, 2) ha equazione: La retta normale ha coefficiente angolare ed ha equazione: 24

Funzioni e derivate Le rette tangenti e le rette normali Le rette tangenti nei punti di non derivabilità Se una funzione f(x) non è derivabile in x 0 , si possono presentare i seguenti casi: In questi punti la curva ha due rette tangenti diverse: • una tangente sinistra e una destra con coefficienti angolari finiti ma diversi; • una tangente con coefficiente angolari finito e l’altra verticale. Questi si dicono punti angolosi. 25

Funzioni e derivate Cuspide verso il basso Le rette tangenti e le rette normali Cuspide verso l’alto In questi punti la tangente è sempre verticale; punti di questo tipo si chiamano cuspidi. 26

Funzioni e derivate Le rette tangenti e le rette normali In questi punti la tangente esiste, è una sola, ed è verticale. Punti di questo tipo rappresentano flessi a tangente verticale. 27

Funzioni e derivate Derivate di ordine superiore La derivata n-esima di una funzione f(x) si ottiene calcolando n derivate, ciascuna relativa alla derivata di ordine n-1. In simboli: f’ f’’’ f(4) f(5) …. . . f(n) ESEMPIO Calcoliamo le prime tre derivate della funzione y = x 2 + 3 x – ln x 28

Funzioni e derivate Il differenziale di una funzione Sia f(x) una funzione derivabile in un intervallo [a, b] e sia x un punto di tale intervallo. Si dice differenziale della funzione y = f(x) nel punto x, e si indica con il simbolo df(x), il prodotto della derivata della funzione, calcolata in x, per l’incremento Δx : Dal punto di vista geometrico, il differenziale della funzione rappresenta l’incremento della variabile dipendente calcolato sulla retta tangente anziché sulla funzione. 29

Funzioni e derivate Il differenziale di una funzione ESEMPIO Calcoliamo il differenziale della funzione in x = 9 relativamente all’incremento Δx = 0, 15. quindi In x = 9 e per Δx = 0, 15 y 3 t P Δy ≈ 0, 025 Poiché sappiamo che Δy ≈ dy , abbiamo che: 0 9 9, 15 x 30

Funzioni e derivate Il differenziale di una funzione Il differenziale e la derivata Calcoliamo il differenziale della funzione f(x) = x : df(x) = 1 · Δx dx = Δx Possiamo allora riscrivere il differenziale di una funzione f qualsiasi nella forma: df(x) = f’(x)dx da cui ricaviamo Quindi: la derivata di una funzione f(x) è il rapporto tra il differenziale della funzione f e il differenziale della variabile indipendente x. 31