FUNZIONI Il concetto di funzione Prime definizioni Cos

FUNZIONI Il concetto di funzione Prime definizioni

Cos’è una funzione (1) FUNZIONE è una particolare corrispondenza tra gli elementi di due insiemi che ad ogni elemento del primo insieme fa corrispondere uno ed un solo elemento del secondo insieme. Oppure ….

Cos’è una funzione (2) Si può anche dire che: FUNZIONE è un procedimento che, in corrispondenza ad oggetti in entrata(input), produce oggetti in uscita (output) NB: ad ogni oggetto in entrata deve corrispondere un solo oggetto in uscita

Quali corrispondenze sono anche funzioni? Seconda condizione: Non ci possono essere elementi del primo insieme che sono associati a due o più elementi del secondo insieme

Corrispondenze e funzioni: seconda condizione NO! Da ogni elemento del primo insieme deve partire una sola freccia

Quali corrispondenze sono anche funzioni? Prima condizione: Non ci possono essere elementi del primo insieme che non sono associati ad alcun elemento del secondo insieme

Corrispondenze e funzioni: prima condizione NO! Da ogni elemento del primo insieme deve partire una freccia

Corrispondenze Una corrispondenza fra due insiemi è un’indicazione che dice come associare fra loro gli elementi di due diversi insiemi Esempio: vedi punto 3) di

Cos’è un insieme Un insieme è una raccolta di oggetti (chiamati : elementi dell’insieme) che hanno una caratteristica comune. Un insieme si può rappresentare attraverso i diagrammi di Eulero – Venn

Rappresentare un insieme In questo tipo di rappresentazione, gli elementi di un insieme sono rappresentati da puntini racchiusi entro un ovale

Corrispondenze e funzioni Usiamo l’aggettivo “particolare” perché non tutte le corrispondenze tra due insiemi sono funzioni. Esempio: 1) 2) 3) A = insieme di tutte le parole del vocabolario italiano B = insieme di tutti i siti presenti sulla rete Colleghiamo ad ogni elemento del primo insieme (parola) i siti che compaiono digitando quella parola come parola chiave in un motore di ricerca

Corrispondenze e funzioni A B Questa corrispondenza non è una funzione: ad ogni “parola chiave” corrispondono molti siti e non uno solo: non è rispettato il secondo vincolo

Il primo insieme, o insieme di partenza, è chiamato dominio o insieme di definizione della funzione

Il secondo insieme, o insieme di arrivo , è chiamato: codominio della funzione

Immagine di una funzione L’ insieme immagine di una funzione è il sottoinsieme dell’insieme di arrivo (codominio) formato dalle immagini degli elementi del dominio cioè:

Insieme immagine I Il sottoinsieme del codominio che contiene gli elementi collegati a qualche elemento del dominio è quello evidenziato in rosa (insieme immagine)

Rappresentare funzioni Le funzioni possono essere rappresentate in vari modi, ad esempio con: ü Diagrammi di Eulero – Venn e frecce ü Tabelle ü Grafici

Rappresentare funzioni diagrammi di Eulero –Venn e frecce In questo tipo di rappresentazione: n n Gli insiemi di partenza/oggetti in entrata e di arrivo / oggetti in uscita sono rappresentati attraverso diagrammi di E-V La corrispondenza/procedimento è rappresentata/o dal complesso delle frecce che partono da ogni elemento del primo insieme ed arrivano su di un elemento dell’altro

Rappresentare funzioni Tabelle In questo tipo di rappresentazione: n n Capitali europee Gli elementi degli insiemi di partenza/oggetti in entrata e di arrivo / oggetti in uscita Roma sono elencati nelle colonne di una tabella Parigi La corrispondenza/procedi- mento è rappresentata/o da Londra ciò che lega gli elementi delle due colonne Temperature max il 01/10/08 22 15 13

Rappresentare funzioni grafici (1) n n Ci sono molti tipi di grafici Nel caso di grafici di funzioni matematiche nel piano cartesiano …

Rappresentare funzioni grafici (2) n n n Gli elementi degli insiemi di partenza/oggetti in entrata sono tutti i numeri reali, rappresentati su di una retta orizzontale (asse delle x o asse delle ascisse) Gli elementi degli insiemi di arrivo/oggetti in uscita sono tutti i numeri reali, rappresentati su di una retta orizzontale (asse delle y o asse delle ordinate) La corrispondenza/procedimento è rappresentata/o da una linea nel piano cartesiano, che assume forme diverse in relazione alla formula matematica che definisce la funzione

Classificare le funzioni FUNZIONI empiriche matematiche trascendenti algebriche intere irrazionali fratte

Funzioni empiriche Sono tutte le funzioni che non posso rappresentare con una formula matematica Ad esempio …

Funzioni matematiche Sono tutte quelle funzioni che posso rappresentare con una formula matematica Per indicare una funzione matematica si può scrivere: § f: A B § f: x y § y = f(x) che si legge: “y uguale a effe di x” che si legge: “f è una funzione dall’insieme A all’insieme B che si legge: “f fa corrispondere all’elemento x l’elemento y”

Funzioni trascendenti Sono tutte le funzioni che non sono algebriche Alcuni esempi: y = ex y = cos x y = log x

Funzioni algebriche Sono tutte le funzioni che, nella formula che le esprime, contengono solo operazioni di: • addizione/ sottrazione • moltiplicazione/ divisione • elevamento a potenza/ estrazione di radice e le loro combinazioni. Ad esempio : y = 2 x 4 - 3

Funzioni irrazionali Sono tutte le funzioni in cui la variabile indipendente compare sotto il segno di radice

Funzioni razionali Sono tutte le funzioni in cui compaiono le operazioni di addizione/ sottrazione, moltiplicazione/divisione, elevamento a potenza ma non l’estrazione di radice

Funzioni intere Sono tutte le funzioni espresse mediante polinomi Esempio: y = 3 x 4 -7 x 2 -x+12

Funzioni fratte Sono le funzioni espresse mediante il quoziente di due polinomi cioè Le funzioni in cui x compare al denominatore

Funzioni reali di variabile reale L’oggetto di studio del corso sono le funzioni reali (cioè: le funzioni assumono valori che fanno parte dell’insieme dei numeri reali, oppure: il codominio è l’insieme dei numeri reali) a variabili reali (cioè: gli elementi di partenza sono numeri reali, Oppure: il dominio è l’insieme dei numeri reali.

Funzioni: iniettive, suriettive biunivoche Per stabilire se una corrispondenza è una funzione, si osserva il dominio. Per stabilire se una funzione è: v Iniettiva v Suriettiva v Biunivoca Si osserva il codominio

Funzione iniettiva Ogni elemento del codominio è immagine di, al massimo, un elemento del dominio (agli elementi del codominio arriva una freccia oppure nessuna) Non è iniettiva

Funzione suriettiva Ogni elemento del codominio è immagine di almeno un elemento del dominio (ad ogni elemento del codominio arrivano una o più frecce) Non è suriettiva E’ suriettiva

Funzione biunivoca È una funzione sia iniettiva che suriettiva: ogni elemento del codominio è immagine di uno ed un solo elemento del dominio (ad ogni elemento del codominio arriva una freccia sola)