Introduzione al concetto di funzione Le funzioni definizioni
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Introduzione al concetto di funzione Le funzioni: definizioni e classificazioni Le funzioni: definizioni e classificazione Considerato un insieme A di elementi x e un insieme B di elementi y , una funzione da A in B è ogni relazione f che ad ogni elemento x di A associa uno e un solo elemento y di B. Se x è l’elemento associato a x nella f si dice che y è l’immagine di x : y = f (x) Viceversa, x è la controimmagine di y. x : variabile indipendente y : variabile dipendente Dominio della funzione: A (viene indicato con D) Codominio della funzione: insieme delle immagini (viene indicato con C ) 1
Introduzione al concetto di funzione Le funzioni: definizioni e classificazioni Funzioni suriettive, iniettive, biiettive Una funzione si dice: a. suriettiva se il codominio coincide con B, cioè non ci sono elementi y in B che non hanno controimmagini in A. La funzione in fig. a è suriettiva se consideriamo come insieme B quello degli y che sono maggiori o uguali a -2: ogni retta parallela all’asse x la incontra in almeno un punto. b. iniettiva se a elementi distinti di A corrispondono elementi distinti di B. La funzione in fig. b è iniettiva: ogni retta parallela all’asse x la incontra al massimo in un punto; c. biiettiva se è sia suriettiva che iniettiva. La funzione in fig. c è biiettiva; ogni retta parallela all’asse x la incontra in uno e un solo punto. Delle funzioni biiettive si dice che sono delle corrispondenze biunivoche tra gli elementi dell’insieme elemento di e quelli dell’insieme , vale a dire che ad ogni viene associato un solo elemento di e viceversa. 2
Introduzione al concetto di funzione Le funzioni: definizioni e classificazioni La funzione inversa Una funzione cioè è invertibile se la relazione che si ottiene scambiando gli insiemi e e , è ancora una funzione; la funzione inversa si indica con il simbolo , ed è: Le funzioni suriettive e quelle iniettive non sono di norma invertibili, quelle biiettive lo sono sempre. Per trovare l’equazione dell’inversa di una funzione invertibile basta scambiare le variabili risolvere l’equazione ottenuta rispetto alla bisettrice e e . Il grafico della funzione inversa si ottiene per simmetria . 3
Introduzione al concetto di funzione Le funzioni: definizioni e classificazioni ESEMPIO Troviamo l’inversa della funzione • La funzione è invertibile perché è biettiva; infatti, a valori diversi di x corrispondono valori diversi di y. 6 ed è se e solo se • Troviamo l’equazione dell’inversa scambiando i ruoli di • Il grafico della funzione e 6 è quello in colore blu; quello dell’inversa (in rosso) è il suo simmetrico rispetto alla bisettrice del primo e del terzo quadrante. 4
Le funzioni: definizioni e classificazioni Introduzione al concetto di funzione La funzione composta Date due funzioni e , si dice funzione composta di che si ottiene applicando la Per indicare che è il prodotto di e agli elementi ottenuti dalla e la funzione . scriviamo: ed è ESEMPIO Date le funzioni: a. e , calcoliamo: b. quindi 5
Introduzione al concetto di funzione Le funzioni: definizioni e classificazioni Le funzioni reali di variabile reale La classificazione Possiamo classificare le funzioni in base alla forma dell’espressione analitica che le definisce in: • Funzioni algebriche: funzioni la cui espressione algebrica contiene solo operazione di addizione, sottrazione, moltiplicazione e divisione, elevamenti a potenza ed estrazioni di radice nella variabile • . In tutti gli altri casi si dice che la funzione è trascendente. 6
Introduzione al concetto di funzione Le funzioni: definizioni e classificazioni Funzioni Trascendenti Algebriche Razionali Intere Irrazionali Fratte 7
Introduzione al concetto di funzione Le funzioni: definizioni e classificazioni Le funzioni definite per casi Una funzione si dice definita per casi se è definita da espressioni diverse a seconda del valore assunto da . ESEMPIO 8
Introduzione al concetto di funzione Le funzioni: definizioni e classificazioni Tra le funzioni definite per casi possiamo annoverare anche quelle che contengono moduli. ESEMPIO 1 -1 9
Introduzione al concetto di funzione Le funzioni: definizioni e classificazioni Funzioni crescenti e decrescenti Consideriamo una funzione due punti di definita in un insieme e nell’intervallo ; siano e . Diciamo che: a. è crescente in b. è decrescente in se quando anche allora 10
Introduzione al concetto di funzione Le funzioni: definizioni e classificazioni Funzioni pari e dispari Sia una funzione di dominio ; diciamo che: • è pari se per ogni • è dispari se per ogni ESEMPIO • La funzione è una funzione pari: Grafico simmetrico rispetto all’asse y 11
Introduzione al concetto di funzione • La funzione Le funzioni: definizioni e classificazioni è una funzione dispari: Grafico simmetrico rispetto all’origine • La funzione è una funzione né pari, né dispari: Grafico non simmetrico rispetto all’asse y e all’origine 12
Introduzione al concetto di funzione Le funzioni: definizioni e classificazioni Funzioni periodiche Una funzione Con si dice periodica di periodo , con , se si verifica che: numero intero qualsiasi. 13
Introduzione al concetto di funzione • La funzione e la funzione • La funzione è periodica di periodo • La funzione Esempio: La funzione Le funzioni: definizioni e classificazioni sono periodiche di periodo e la funzione . sono periodiche di periodo , essendo è periodica di periodo , essendo . . , è periodica di periodo 14
Introduzione al concetto di funzione Il dominio naturale di una funzione , detto anche insieme di definizione o campo di esistenza, è sempre un sottoinsieme, proprio o improprio, dell’insieme dei numeri reali che dipende dalle operazioni che compaiono nell’espressione di . . Per esempio: • La funzione ha dominio l’insieme esclusi i punti che annullano il denominatore: 15
Introduzione al concetto di funzione Il dominio naturale di una funzione ESEMPIO Determiniamo il dominio della funzione La funzione esiste per i valori di che soddisfano il seguente sistema: per l’esistenza del radicale (indice pari) per l’esistenza della frazione per l’esistenza del logaritmo Risolvendo otteniamo: La cui soluzione è Quindi: 16
Introduzione al concetto di funzione Il segno di una funzione Una volta determinato il dominio, si possono ricavare altre informazioni sul grafico della funzione . § Intersezioni con gli assi cartesiani • I punti di intersezione con l’asse si determinano risolvendo il sistema: Le soluzioni dell’equazione , se esistono, vengono detti zeri della funzione. • Una funzione può avere al massimo un punto di intersezione con l’asse che, se esiste, si determina risolvendo il sistema: Cioè valutando § Studio del segno Studiare il segno di una funzione significa individuare gli intervalli del dominio in cui la funzione assume valori positivi e quelli in cui assume valori negativi. Cioè equivale a risolvere la disequazione . 17
Introduzione al concetto di funzione Le successioni Un caso particolare di funzioni: le successioni Una successione è una funzione definita nell’insieme dei numeri naturali. ESEMPIO La successione costituita dai cubi dei numeri naturali è una funzione che associa ad ogni numero naturale il suo cubo. . 18
Introduzione al concetto di funzione Le successioni La rappresentazione di una successione Una successione può essere rappresentata Tramite il termine generale funzione di . espresso in Tramite regola ricorsiva così definita: : valore del primo termine della successione : regola che esprime funzione di in 19
Introduzione al concetto di funzione Le successioni ESEMPIO La successione 0, 2, 4, 6, 8, 10, … può essere rappresentata tramite termine generale tramite regola ricorsiva 20
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