Introduzione al concetto di funzione Le funzioni definizioni

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Introduzione al concetto di funzione Le funzioni: definizioni e classificazioni Le funzioni: definizioni e

Introduzione al concetto di funzione Le funzioni: definizioni e classificazioni Le funzioni: definizioni e classificazione Considerato un insieme A di elementi x e un insieme B di elementi y , una funzione da A in B è ogni relazione f che ad ogni elemento x di A associa uno e un solo elemento y di B. Se x è l’elemento associato a x nella f si dice che y è l’immagine di x : y = f (x) Viceversa, x è la controimmagine di y. x : variabile indipendente y : variabile dipendente Dominio della funzione: A (viene indicato con D) Codominio della funzione: insieme delle immagini (viene indicato con C ) 1

Introduzione al concetto di funzione Le funzioni: definizioni e classificazioni Funzioni suriettive, iniettive, biiettive

Introduzione al concetto di funzione Le funzioni: definizioni e classificazioni Funzioni suriettive, iniettive, biiettive Una funzione si dice: a. suriettiva se il codominio coincide con B, cioè non ci sono elementi y in B che non hanno controimmagini in A. La funzione in fig. a è suriettiva se consideriamo come insieme B quello degli y che sono maggiori o uguali a -2: ogni retta parallela all’asse x la incontra in almeno un punto. b. iniettiva se a elementi distinti di A corrispondono elementi distinti di B. La funzione in fig. b è iniettiva: ogni retta parallela all’asse x la incontra al massimo in un punto; c. biiettiva se è sia suriettiva che iniettiva. La funzione in fig. c è biiettiva; ogni retta parallela all’asse x la incontra in uno e un solo punto. Delle funzioni biiettive si dice che sono delle corrispondenze biunivoche tra gli elementi dell’insieme elemento di e quelli dell’insieme , vale a dire che ad ogni viene associato un solo elemento di e viceversa. 2

Introduzione al concetto di funzione Le funzioni: definizioni e classificazioni La funzione inversa Una

Introduzione al concetto di funzione Le funzioni: definizioni e classificazioni La funzione inversa Una funzione cioè è invertibile se la relazione che si ottiene scambiando gli insiemi e e , è ancora una funzione; la funzione inversa si indica con il simbolo , ed è: Le funzioni suriettive e quelle iniettive non sono di norma invertibili, quelle biiettive lo sono sempre. Per trovare l’equazione dell’inversa di una funzione invertibile basta scambiare le variabili risolvere l’equazione ottenuta rispetto alla bisettrice e e . Il grafico della funzione inversa si ottiene per simmetria . 3

Introduzione al concetto di funzione Le funzioni: definizioni e classificazioni ESEMPIO Troviamo l’inversa della

Introduzione al concetto di funzione Le funzioni: definizioni e classificazioni ESEMPIO Troviamo l’inversa della funzione • La funzione è invertibile perché è biettiva; infatti, a valori diversi di x corrispondono valori diversi di y. 6 ed è se e solo se • Troviamo l’equazione dell’inversa scambiando i ruoli di • Il grafico della funzione e 6 è quello in colore blu; quello dell’inversa (in rosso) è il suo simmetrico rispetto alla bisettrice del primo e del terzo quadrante. 4

Le funzioni: definizioni e classificazioni Introduzione al concetto di funzione La funzione composta Date

Le funzioni: definizioni e classificazioni Introduzione al concetto di funzione La funzione composta Date due funzioni e , si dice funzione composta di che si ottiene applicando la Per indicare che è il prodotto di e agli elementi ottenuti dalla e la funzione . scriviamo: ed è ESEMPIO Date le funzioni: a. e , calcoliamo: b. quindi 5

Introduzione al concetto di funzione Le funzioni: definizioni e classificazioni Le funzioni reali di

Introduzione al concetto di funzione Le funzioni: definizioni e classificazioni Le funzioni reali di variabile reale La classificazione Possiamo classificare le funzioni in base alla forma dell’espressione analitica che le definisce in: • Funzioni algebriche: funzioni la cui espressione algebrica contiene solo operazione di addizione, sottrazione, moltiplicazione e divisione, elevamenti a potenza ed estrazioni di radice nella variabile • . In tutti gli altri casi si dice che la funzione è trascendente. 6

Introduzione al concetto di funzione Le funzioni: definizioni e classificazioni Funzioni Trascendenti Algebriche Razionali

Introduzione al concetto di funzione Le funzioni: definizioni e classificazioni Funzioni Trascendenti Algebriche Razionali Intere Irrazionali Fratte 7

Introduzione al concetto di funzione Le funzioni: definizioni e classificazioni Le funzioni definite per

Introduzione al concetto di funzione Le funzioni: definizioni e classificazioni Le funzioni definite per casi Una funzione si dice definita per casi se è definita da espressioni diverse a seconda del valore assunto da . ESEMPIO 8

Introduzione al concetto di funzione Le funzioni: definizioni e classificazioni Tra le funzioni definite

Introduzione al concetto di funzione Le funzioni: definizioni e classificazioni Tra le funzioni definite per casi possiamo annoverare anche quelle che contengono moduli. ESEMPIO 1 -1 9

Introduzione al concetto di funzione Le funzioni: definizioni e classificazioni Funzioni crescenti e decrescenti

Introduzione al concetto di funzione Le funzioni: definizioni e classificazioni Funzioni crescenti e decrescenti Consideriamo una funzione due punti di definita in un insieme e nell’intervallo ; siano e . Diciamo che: a. è crescente in b. è decrescente in se quando anche allora 10

Introduzione al concetto di funzione Le funzioni: definizioni e classificazioni Funzioni pari e dispari

Introduzione al concetto di funzione Le funzioni: definizioni e classificazioni Funzioni pari e dispari Sia una funzione di dominio ; diciamo che: • è pari se per ogni • è dispari se per ogni ESEMPIO • La funzione è una funzione pari: Grafico simmetrico rispetto all’asse y 11

Introduzione al concetto di funzione • La funzione Le funzioni: definizioni e classificazioni è

Introduzione al concetto di funzione • La funzione Le funzioni: definizioni e classificazioni è una funzione dispari: Grafico simmetrico rispetto all’origine • La funzione è una funzione né pari, né dispari: Grafico non simmetrico rispetto all’asse y e all’origine 12

Introduzione al concetto di funzione Le funzioni: definizioni e classificazioni Funzioni periodiche Una funzione

Introduzione al concetto di funzione Le funzioni: definizioni e classificazioni Funzioni periodiche Una funzione Con si dice periodica di periodo , con , se si verifica che: numero intero qualsiasi. 13

Introduzione al concetto di funzione • La funzione e la funzione • La funzione

Introduzione al concetto di funzione • La funzione e la funzione • La funzione è periodica di periodo • La funzione Esempio: La funzione Le funzioni: definizioni e classificazioni sono periodiche di periodo e la funzione . sono periodiche di periodo , essendo è periodica di periodo , essendo . . , è periodica di periodo 14

Introduzione al concetto di funzione Il dominio naturale di una funzione , detto anche

Introduzione al concetto di funzione Il dominio naturale di una funzione , detto anche insieme di definizione o campo di esistenza, è sempre un sottoinsieme, proprio o improprio, dell’insieme dei numeri reali che dipende dalle operazioni che compaiono nell’espressione di . . Per esempio: • La funzione ha dominio l’insieme esclusi i punti che annullano il denominatore: 15

Introduzione al concetto di funzione Il dominio naturale di una funzione ESEMPIO Determiniamo il

Introduzione al concetto di funzione Il dominio naturale di una funzione ESEMPIO Determiniamo il dominio della funzione La funzione esiste per i valori di che soddisfano il seguente sistema: per l’esistenza del radicale (indice pari) per l’esistenza della frazione per l’esistenza del logaritmo Risolvendo otteniamo: La cui soluzione è Quindi: 16

Introduzione al concetto di funzione Il segno di una funzione Una volta determinato il

Introduzione al concetto di funzione Il segno di una funzione Una volta determinato il dominio, si possono ricavare altre informazioni sul grafico della funzione . § Intersezioni con gli assi cartesiani • I punti di intersezione con l’asse si determinano risolvendo il sistema: Le soluzioni dell’equazione , se esistono, vengono detti zeri della funzione. • Una funzione può avere al massimo un punto di intersezione con l’asse che, se esiste, si determina risolvendo il sistema: Cioè valutando § Studio del segno Studiare il segno di una funzione significa individuare gli intervalli del dominio in cui la funzione assume valori positivi e quelli in cui assume valori negativi. Cioè equivale a risolvere la disequazione . 17

Introduzione al concetto di funzione Le successioni Un caso particolare di funzioni: le successioni

Introduzione al concetto di funzione Le successioni Un caso particolare di funzioni: le successioni Una successione è una funzione definita nell’insieme dei numeri naturali. ESEMPIO La successione costituita dai cubi dei numeri naturali è una funzione che associa ad ogni numero naturale il suo cubo. . 18

Introduzione al concetto di funzione Le successioni La rappresentazione di una successione Una successione

Introduzione al concetto di funzione Le successioni La rappresentazione di una successione Una successione può essere rappresentata Tramite il termine generale funzione di . espresso in Tramite regola ricorsiva così definita: : valore del primo termine della successione : regola che esprime funzione di in 19

Introduzione al concetto di funzione Le successioni ESEMPIO La successione 0, 2, 4, 6,

Introduzione al concetto di funzione Le successioni ESEMPIO La successione 0, 2, 4, 6, 8, 10, … può essere rappresentata tramite termine generale tramite regola ricorsiva 20