Kurvor derivator och integraler GENOMGNG 3 1 2

Kurvor, derivator och integraler

GENOMGÅNG 3. 1 2

Växande och avtagande

Första och andra derivata Första Andra derivatans nollställen

Teckentabell Extremvärden 5 -3 3 -3 5 + 0 -3 - 0 +

Vi tar hjälp av DESMOS https: //www. desmos. com/calculator/xaj 5 c 5 qh 8 f

Exempeluppgift Vilka värden kan x anta?

Exempeluppgift Vilken är den maximala arean?

Exempeluppgift ?

Exempeluppgift Svar: Största arean får vi där x = 9 och den är 162

Exempeluppgift - kontroll

Maximal area Punkten P ligger på den räta linjen. Tillsammans med de positiva koordinataxlarna bestämmer punkten P en rektangel. När punkten P flyttas längs med linjen kommer rektangelns höjd och bredd att förändras. Bestäm rektangelns maximala area.

Maximal area Hur får vi fram denna?

Maximal area Rektangelns maximala area är 13, 5 ae.

Maximal area Lösning 2 Rektangelns maximala area är 13, 5 ae.

Maximal area - övning Punkten P ligger på den räta linjen. Tillsammans med de positiva koordinataxlarna bestämmer punkten P en rektangel. När punkten P flyttas längs med linjen kommer rektangelns höjd och bredd att förändras. Bestäm rektangelns maximala area. P

Maximal area - övning Punkten P ligger på den räta linjen. Tillsammans med de positiva koordinataxlarna bestämmer punkten P en rektangel. När punkten P flyttas längs med linjen kommer rektangelns höjd och bredd att förändras. Bestäm rektangelns maximala area. P Svar: Den maximala arean är 32 ae.

Maximal area - övning Punkten P ligger på den räta linjen. Tillsammans med de positiva koordinataxlarna bestämmer punkten P en rektangel. När punkten P flyttas längs med linjen kommer rektangelns höjd och bredd att förändras. Bestäm rektangelns maximala area. P Svar: Den maximala arean är 32 ae.

Maximal area - övning

Exempeluppgift Bestäm det största och det minsta värdet som antar i intervallet 1. Vi börjar med att derivera f(x) 2. Vi sätter f´(x) = 0 PQ-formeln ger oss

Exempeluppgift Bestäm det största och det minsta värdet som antar i intervallet 3. Vi sätter in våra x-värden i f(x) 4 × 25^3 - 390 × 25^2 + 12000 × 25 = 118750 4 × 40^3 - 390 × 40^2 + 12000 × 40 = 112000 Största värde: 118 750? ? Minsta värde: 112 000? ? Nej! Kan vi vara säkra på detta? Varför inte det?

Exempeluppgift Bestäm det största och det minsta värdet som antar i intervallet Största värde: 125 000 Minsta värde: 112 000 OBS! 4 4 × × 18^3 25^3 40^3 50^3 - 390 390 × × 18^2 25^2 40^2 50^2 + + 12000 × × 18 25 40 50 = = 112968 118750 112000 125000

Exempeluppgift Bestäm det största och det minsta värdet som antar i intervallet 4 4 × × 18^3 25^3 40^3 50^3 - 390 390 × × 18^2 25^2 40^2 50^2 + + 12000 × × 18 25 40 50 = = 112968 118750 112000 125000 Kommentar: För att vara säker på att vi har största respektive lägsta värde i det givna intervallet måste vi sätta in dels de båda x-värdena som derivatans nollställen ger, dels de båda x-värdena som ges av intervallet yttervärden.

Exempeluppgift Bestäm det största och det minsta värdet som antar i intervallet 4 4 × × 18^3 25^3 40^3 50^3 - 390 390 × × 18^2 25^2 40^2 50^2 + + 12000 × × 18 25 40 50 = = 112968 118750 112000 125000

GENOMGÅNG 3. 2 • Polynomfunktioner • Andraderivatan och grafen 31

Polynomfunktioner Rektangeln i figuren har sidorna 16 cm och 12 cm. A Denna uppgift skall leda fram till att vi tar reda på det värde på ger minsta möjliga värde på arean x so A. Uppgift 3212, sidan 149 (151)

Polynomfunktioner Rektangeln i figuren har sidorna 16 cm och 12 cm. A Bestäm arean (A) av den grå triangeln som en funktion a

Polynomfunktioner I A III II Bestäm arean (A) av den grå triangeln som en funktion a Jag inför beteckningar för de 3 vita trianglarna: I: III:

Polynomfunktioner I A II I: III: Arean (A) av den grå triangeln:

Polynomfunktioner I A II I: III: Definitionsmängden för arean (A) är: Variabeln x måste ligga mellan 0 och 8. Varför?

Polynomfunktioner I A III II För vilket värde på x blir den grå triangelarean den minsta möjliga? Börja med att derivera A! Svar: När x = 6 så har den grå arean minsta möjliga vä

Polynomfunktioner I A III II Kontrollerar med graf: Definitionsmängd Minsta area x-värde vid minsta area Största area? ? Uppgift 3212, sidan 149 (151)

Andraderivatan

Andraderivatan

Andraderivatan

Andraderivatan och grafen

Andraderivatan och grafen

Andraderivatan och grafen

Andraderivatan och grafen Länk till DESMOS http: //www. youtube. com/watch? v=Dl. RT 3 xmc Ex. I [C: a 10 minuter]

Andraderivatan och grafen http: //www. youtube. com/watch? v=J 2 NDt. Xc 3 -ME

Andraderivatan och grafen http: //www. youtube. com/watch? v=b. Od. PIKYs 1 W 4

GENOMGÅNG 3. 3 • Primitiva funktioner med villkor 53

Primitiva funktioner

Primitiva funktioner

Primitiva funktioner

Primitiva funktioner

Primitiva funktioner Den sökta funktionen:

Primitiva funktioner Vilken grad skall funktionen ha? Vad skall (-1) multipliceras med för att det skall bli 1?

Primitiva funktioner Den sökta funktionen:

GENOMGÅNG 3. 4 • • • Integraler Integralberäkning med primitiv funktion Tillämpningar och problemlösningar 66

Integraler ! 1 0 4 3 t f i g p p U ! S B O

Integraler

Integraler Integrand Övre integrationsgräns Integraltecken Undre integrationsgräns Integrationsvariabel

Integraler OBS! 0, 2

Integraler

Integraler

Integraler

Hur lutar grafen ? Hur lutar grafen i den punkt där x = 2?

Hur lutar grafen? Hur lutar grafen i den punkt där x = -1?

Hur lutar grafen? Hur stor är integralen mellan x = 1 och x = 2?

Integral/area Hur stor är arean mellan grafen och den positiva x-axeln? Hur stor är integralen mellan x = - 1 och x = 1? Hur stor är integralen från x = - 1 och x = 5? Hur stor är den sammanlagda arean mellan grafen och x-axeln från x = - 1 till och med x = 5?

Lutning/tangent Hur lutar grafen i den punkt där x = 2? Vilken ekvation har tangenten till grafen i den punkt där x = 2? Rita in den räta linje som tangerar grafen i den punkt där x = 2?

Np. Ma 3 c Muntligt delprov – Del A ht 2012

Np. Ma 3 c Muntligt delprov – Del A ht 2012

Np. Ma 3 c Muntligt delprov – Del A ht 2012

Np. Ma 3 c Muntligt delprov – Del A ht 2012