Le Derivate Applicazioni Applicazioni della derivata Definizione 1

Le Derivate Applicazioni

Applicazioni della derivata • Definizione 1 sia f: (a, b) R una funzione numerica. f è crescente (decrescente) in (a, b) se, per ogni coppia x, y in (a, b) x y f(x) f(y) (x y f(x) f(y)) ESEMPIO 1 La funzione f(x) = x+1 è crescente in tutto R perché, se x y allora x+1 y+1 ESEMPIO 2 La funzione f(x) = -x+1 è decrescente in R perché, se x y allora x+1 y+1

Funzioni crescenti in un punto Definizione 2 sia f(a, b) R una funzione numerica e x 0 un punto di (a, b). f è crescente (decrescente) in x 0 se esiste un intorno I di x 0 per cui f è crescente in I

Derivate e funzioni crescenti • Teorema 1 sia f una funzione continua in [a, b] e derivabile in (a, b). Allora, per ogni x in (a, b) • f è crescente in x f’(x)>0 • f è decrescente in x f’(x)<0

Dimostrazione f(x) y f(x 0+h) f(x 0) O f(x) crescente in x 0 a x 0+h b x

Dimostrazione f(x) y f(x 0+h) f(x 0) O a x 0+h f(x) è crescente in x 0 b x

Applicazioni del teorema La funzione è sempre crescente e il suo grafico è

Applicazioni del teorema La funzione è crescente se x>1 altrimenti è decrescente. Il grafico è

Applicazioni del teorema Sempre crescente tranne per x=0. Il grafico è il seguente Il punto di coordinate (0, -1) si dice punto di flesso della funzione