LE FUNZIONI CONTINUE CAPITOLO 4 LE FUNZIONI CONTINUE

LE FUNZIONI CONTINUE CAPITOLO 4. LE FUNZIONI CONTINUE E IL CALCOLO DEI LIMITI Copyright © 2009 Zanichelli editore Bergamini, Trifone, Barozzi – Lineamenti di analisi

LE FUNZIONI CONTINUE 2 /13 1. STESSO LIMITE, VALORI DIVERSI Le due funzioni hanno lo stesso limite per x che tende a x 0 = 1. Il valore del limite è l = 2. Nel primo caso il valore del limite coincide con quello della funzione in x 0 : Nel secondo caso il valore di f non coincide con quello del limite. La prima funzione è continua in x = 1, la seconda è discontinua. Copyright © 2009 Zanichelli editore Bergamini, Trifone, Barozzi – Lineamenti di analisi f(x 0) = l.

LE FUNZIONI CONTINUE 3 /13 2. LA DEFINIZIONE DI FUNZIONE CONTINUA DEFINIZIONE Funzione continua in un punto Siano f(x) una funzione definita in un intervallo [a; b] e x 0 un punto interno all’intervallo. La funzione f(x) si dice continua nel punto x 0 quando esiste il limite di f(x) per e tale limite è uguale al valore f(x 0) della funzione calcolata in x 0 : ESEMPIO y = 1 – x 4 è continua in x 0 = 2, non è continua in x 0 = 1. Copyright © 2009 Zanichelli editore . Se una funzione è continua in un punto, allora il valore del limite in quel punto è semplicemente il valore della funzione. Bergamini, Trifone, Barozzi – Lineamenti di analisi

LE FUNZIONI CONTINUE 4 /13 2. LA DEFINIZIONE DI FUNZIONE CONTINUA DEFINIZIONE f(x) è continua a destra in x 0, se f(x 0) coincide con il limite destro di f(x) per x che tende a x 0 : Funzione continua in un intervallo Una funzione definita in [a; b] si dice continua nell’intervallo [a; b] se è continua in ogni punto dell’intervallo. . DEFINIZIONE f(x) è continua a sinistra in x 0, se f(x 0) coincide con il limite sinistro di f(x) per x che tende a x 0 : Una funzione può essere definita continua anche negli estremi dell’intervallo di definizione [a; b]. Copyright © 2009 Zanichelli editore ESEMPIO . La funzione non è continua in x 0 = 1, non è continua nell’intervallo [0; 1], ma è continua nell’intervallo [1; 2]. Bergamini, Trifone, Barozzi – Lineamenti di analisi

LE FUNZIONI CONTINUE 5 /13 3. LA CONTINUITÀ DELLE FUNZIONI COMPOSTE Data una funzione composta y = g(f(x)) , si può dimostrare che, allora anche y = g(f(x)) è continua in x 0. se f è continua in x 0, e g in f(x 0), ESEMPIO y = sen 4 x è composta da z = f(x) = 4 x, continua in R, y = g(z) = sen z, continua in R. Anche g(f(x)) = sen 4 x è continua in R. Ad esempio, Copyright © 2009 Zanichelli editore . Bergamini, Trifone, Barozzi – Lineamenti di analisi

LE FUNZIONI CONTINUE 6 /13 4. I TEOREMI SULLE FUNZIONI CONTINUE DEFINIZIONE Teorema di Weierstrass Se f è una funzione continua in un intervallo limitato e chiuso [a; b], allora essa assume, in tale intervallo, il massimo assoluto e il minimo assoluto. Funzione continua in ]2; 5[, [1; 3] nell’intervallo illimitato aperto. tutto tranne x = 2. [1; [. Controesempi Non possiede minimo un Possiede un massimo ma assoluto, non un massimo. né un minimo assoluto. minimo. Copyright © 2009 Zanichelli editore Bergamini, Trifone, Barozzi – Lineamenti di analisi

LE FUNZIONI CONTINUE 4. I TEOREMI SULLE FUNZIONI CONTINUE DEFINIZIONE Teorema dei valori intermedi Se f è una funzione continua in un intervallo limitato e chiuso [a; b], allora essa assume, almeno una volta, tutti i valori compresi tra il massimo e il minimo. Copyright © 2009 Zanichelli editore Bergamini, Trifone, Barozzi – Lineamenti di analisi 7 /13

LE FUNZIONI CONTINUE 8 /13 4. I TEOREMI SULLE FUNZIONI CONTINUE DEFINIZIONE Teorema di esistenza degli zeri Se f è una funzione continua in un intervallo limitato e chiuso [a; b], e negli estremi di tale intervallo assume valori di segno opposto, allora esiste almeno un punto c, interno all’intervallo, in cui f si annulla. Controesempi discontinua Funzione continua in tutto [ nell’estremo – 4; 3] tranne sinistro x = – 1. x = 1. Non possiede uno zero. Copyright © 2009 Zanichelli editore Bergamini, Trifone, Barozzi – Lineamenti di analisi

LE FUNZIONI CONTINUE 9 /13 5. ESERCIZI: LA DEFINIZIONE DI FUNZIONE CONTINUA Rappresenta le seguenti funzioni e trova eventuali punti in cui non sono continue. Copyright © 2009 Zanichelli editore Bergamini, Trifone, Barozzi – Lineamenti di analisi

LE FUNZIONI CONTINUE 10 /13 6. ESERCIZI: I TEOREMI SULLE FUNZIONI CONTINUE Copyright © 2009 Zanichelli editore Bergamini, Trifone, Barozzi – Lineamenti di analisi

LE FUNZIONI CONTINUE 11 /13 6. ESERCIZI: I TEOREMI SULLE FUNZIONI CONTINUE Copyright © 2009 Zanichelli editore Bergamini, Trifone, Barozzi – Lineamenti di analisi

LE FUNZIONI CONTINUE 12 /13 6. ESERCIZI: I TEOREMI SULLE FUNZIONI CONTINUE Stabilisci se, per le seguenti funzioni, vale il teorema di Weierstrass, nell’intervallo indicato a fianco. Copyright © 2009 Zanichelli editore Bergamini, Trifone, Barozzi – Lineamenti di analisi

LE FUNZIONI CONTINUE 13 /13 6. ESERCIZI: I TEOREMI SULLE FUNZIONI CONTINUE Stabilisci se valgono le ipotesi del teorema di esistenza degli zeri per le seguenti funzioni, negli intervalli indicati. Copyright © 2009 Zanichelli editore Bergamini, Trifone, Barozzi – Lineamenti di analisi