Objetivo Da Disciplina Utilizar processos grficos para desenvolver

Objetivo Da Disciplina Utilizar processos gráficos para desenvolver o raciocínio e a visualização espaciais, bem como para resolver problemas de aplicação. Utilizar o desenho como linguagem técnica de comunicação, através de instrumentos e desenho à mão livre.

Síntese Do Conteúdo Ø Estudo do ponto, reta e plano. Ø Tipos de retas e planos. Ø Casos particulares de ponto, reta e plano. Ø Interseções. Ø Métodos descritivos (mudança de planos, rotação, rebatimento).

Material Básico ü 2 Esquadros, um de 45° e um de 30°/ 60°; ü 1 Compasso de desenho; ü 1 Régua graduada; ü 1 Lápis ou lapiseira, grafite F ou HB; ü 1 Lápis ou lapiseira, grafite B; ü 1 Apontador ou estilete; ü 1 Borracha macia; ü 1 Bloco de papel A 4, com margem e legenda; ü Fita adesiva para prender a folha de papel A 4; ü 1 Lixa de unha, para apontar o compasso.

Bibliografia 1. PRÍNCIPE JÚNIOR, A. R. Noções de Geometria Descritiva. São Paulo: Nobel, 1983, v. 1 e v. 2 2. RODRIGUES, A. J. Geometria Descritiva: operações fundamentais e poliedros. Rio de Janeiro: Ao Livro Técnico, 1964. 3. FRENCH, T. E. , VIERCK, C. J. Desenho Técnico e Tecnologia Gráfica. Porto Alegre: Globo, 1995. BIBLIOGRAFIA COMPLEMENTAR 4. BORGES, G. C. de M. Noções de Geometria Descritiva – Teoria e Exercícios. Porto Alegre: Sagra-dc Luzzatto, 2002. 5. CALFA, H. G. Noções de Geometria Descritiva. Rio de Janeiro: Bibliex Cooperativa, 1997. 6. MANFE, G. , POZZA, R, SCARATO, G. Desenho Técnico Mecânico: Curso Completo. São Paulo: Hemus, 2004, v. 1 7. LACOURT, H. Noções e Fundamentos de Geometria Descritiva. Rio de Janeiro: LTC, 1995. 8. MANDARINO, D. Geometria Descritiva. São Paulo: Editora Plêiade, 2003. 9. MONTENEGRO, G. Geometria Descritiva. São Paulo: Edgard Blücher, 1991. 10. RICCA, G. Geometria Descritiva. Lisboa: Calouste Gulbenkian, 2000.

GEOMETRIA DESCRITIVA É a ciência que tem por objetivo representar num plano (2 -D) as figuras do espaço (3 -D) de maneira tal que, nesse plano, se possam resolver todos os problemas relativos a essas figuras. A Geometria Descritiva foi criada no fim do século XVIII pelo matemático francês GASPAR MONGE (1746 -1818).

GEOMETRIA DESCRITIVA A compreensão da Geometria Descritiva só é possível se o estudante for adquirindo conhecimentos gradativamente. É impossível aprender a ler sem conhecer as cinco vogais. Da mesma forma, é impossível estudar Geometria Descritiva sem conhecer o alfabeto do ponto, da reta e do plano, objeto principal deste curso.

CLASSIFICAÇÃO DAS PROJEÇÕES A projeção de um objeto é a sua REPRESENTAÇÃO GRÁFICA num plano. Como os objetos têm três dimensões, a sua representação num plano bidimensional dá-se em conformidade com artifícios técnicos, para tanto, são considerados os elementos básicos da projeção. 1. Plano de projeção 2. Objeto 3. Projetante, ou raio projetante 4. Centro de projeção

CLASSIFICAÇÃO DAS PROJEÇÕES A PROJETANTE é a reta que passa pelos pontos do objeto e intercepta o plano de projeção. Pode ser oblíqua ou ortogonal ao plano de projeção, dependendo da direção adotada. CENTRO DE PROJEÇÃO é o ponto fixo de onde partem ou por onde passam as projetantes. CLASSIFICAÇÃO: os sistemas de projeções são classificados de acordo com a posição ocupada pelo CENTRO DE PROJEÇÃO. Esse centro pode ser finito ou infinito, determinando: o SISTEMA CÔNICO e o SISTEMA CILÍNDRICO, respectivamente.

CLASSIFICAÇÃO DAS PROJEÇÕES Um objeto pode ocupar qualquer posição no espaço em relação ao plano de projeção. Vejamos o que acontece com a projeção de um triângulo quando este muda de posição no espaço. No exemplo, vamos manter um dos lados do triângulo fixo no espaço e movimentar o terceiro vértice.

CLASSIFICAÇÃO DAS PROJEÇÕES VEJAMOS AGORA CADA POSIÇÃO SEPARADAMENTE OBJETO PERTENCE A UM PLANO PARALELO EM RELAÇÃO AO PLANO DE PROJEÇÃO. A projeção do objeto é exatamente igual ao objeto do espaço e dizemos que a projeção está em VERDADEIRA GRANDEZA (VG) OBJETO PERTENCE A UM PLANO OBLÍQUO EM RELAÇÃO AO PLANO DE PROJEÇÃO. Há uma acentuada mudança na projeção do objeto, ele não está em VG, pois a projeção não apresenta a real superfície do objeto. OBJETO PERTENCE A UM PLANO PERPENDICULAR EM RELAÇÃO AO PLANO DE PROJEÇÃO. Neste caso a projeção do triângulo reduz-se a um segmento de reta.

CLASSIFICAÇÃO DAS PROJEÇÕES SISTEMA CILÍNDRICO ORTOGONAL • Os elementos são: • PLANO DE PROJEÇÃO, • CENTRO DE PROJEÇÃO NO INFINITO, • RAIOS PROJETANTES PARALELOS, • DIREÇÃO DAS PROJETANTES, • OBJETO E SUA PROJEÇÃO.

CLASSIFICAÇÃO DAS PROJEÇÕES SISTEMA DE PROJEÇÃO CILÍNDRICO OU PARALELO ORTOGONAL (SPP) As projetantes partem do infinito e têm direção ortogonal em relação ao plano de projeção, isto é, formam com o plano um ângulo de 90º.

CLASSIFICAÇÃO DAS PROJEÇÕES SISTEMA DE PROJEÇÃO CILÍNDRICO OU PARALELO OBLIQUA (SPP) As projetantes partem do infinito e têm direção oblíqua em relação ao plano de projeção.

CLASSIFICAÇÃO DAS PROJEÇÕES SISTEMA DE PROJEÇÃO CÔNICO OU CENTRAL (SPC) As projetantes partem de um ponto determinado e geram uma figura semelhante à original.

PROJEÇÃO ORTOGONAL DE UM PONTO A projeção ortogonal de um ponto é o pé da perpendicular baixada do ponto ao plano. Na Figura, A é a projeção do ponto (A) sobre o plano . (A) projetante (A)A A ( ) Chama-se projetante de um ponto, a perpendicular baixada deste ponto ao plano de projeção. (A)A é a projetante do ponto (A). Denomina-se “cota” o comprimento da projetante. CONVENÇÃO: um ponto individualizado no espaço - ponto objetivo é representado por uma letra maiúscula do alfabeto latino entre parênteses e sua projeção pela mesma letra sem parênteses.

PROJEÇÃO ORTOGONAL DE UM PONTO Determinação do Ponto Para que um ponto fique bem determinado, podemos empregar dois métodos diferentes: • 1) Método dos Planos Cotados: utiliza-se apenas um plano de projeção e a cota (comprimentro da projetante) do ponto. Neste método, o plano de projeção é o plano horizontal tomado como plano de comparação - este é chamado PLANO COTADO, por que nele se inscreve a cota do ponto (positiva acima e negativa abaixo deste plano). B 3 A 2 Uma reta será representada pela sua projeção horizontal e pelas cotas de dois dos seus pontos. A reta (A)(B) da Figura seria representada pela projeção horizontal AB e as cotas dois pontos - o ponto (A) possui cota igual a duas (2) unidades e o ponto (B) igual a três (3) unidades.

PROJEÇÃO ORTOGONAL DE UM PONTO Determinação do Ponto • 2) Método das Projeções: ao contrário do método anterior, que utiliza somente um plano de projeção, neste método, para que um ponto fique bem determinado, uma só projeção não é suficiente. A’ (A) ( ’) A ( )

CLASSIFICAÇÃO DAS PROJEÇÕES SISTEMA DE PROJEÇÃO CÔNICO, PERSPECTIVO OU CENTRAL • Suponha um ponto (A) no espaço e um plano qualquer ( ). • No sistema de projeção cônico, perspectivo ou central, considera-se um observador fixo em (O) (também denominado de centro de projeção). • Se fizermos passar por (A) um raio visual partindo de (O) até encontrar o plano ( ), vemos que A será a projeção de (A) sobre o plano de projeção ( ), e a reta (O)(A)A será a projetante. (O) (A) ( ) A

CLASSIFICAÇÃO DAS PROJEÇÕES SISTEMA DE PROJEÇÃO CILÍNDRICO OU PARALELO • No sistema de projeção cilíndrico ou paralelo, considera-se o ponto (O) (centro de projeção) lançado ao infinito. Conservando-se o mesmo ponto (A) e o plano ( da Figura anterior, a projetante será paralela à uma direção (delta). (A) ( ) A A diferença entre estas projeções será melhor entendida quando estudarmos a reta. . .

CLASSIFICAÇÃO DAS PROJEÇÕES Reta (A)(B) projetada no plano ( ) quando o centro de projeção está a uma distância finita (SPC) ou não (SPP) do plano SISTEMA DE PROJEÇÃO CÔNICO OU CENTRAL (SPC) SISTEMA DE PROJEÇÃO CILÍNDRICO OU PARALELO (SPP) (O) (A) ( ) A (B) B A ( ) (A) B (B)

A projeção ortogonal de um objeto num único plano não é suficiente para a determinação da forma e da posição deste objeto no espaço. VEJA PORQUÊ Os objetos são diferentes, mas observe quando há uma sobreposição no espaço, as suas projeções coincidem!

As projeções no PLANO VERTICAL são diferentes das projeções no PLANO HORIZONTAL, isto faz com que os objetos fiquem melhor definidos

Gaspard Monge solucionou este problema com a criação de um sistema duplo de projeção que tem o seu nome: Projeções Mongeanas ou Sistema Mongeano de Projeção. Através da aplicação dos conceitos básicos de Projeções Mongeanas , qualquer objeto, seja qual for sua forma, posição ou dimensão, pode ser representado no plano bidimensional, pelas suas projeções cilíndricas ortogonais. O Sistema Mongeano de projeção utiliza uma dupla projeção cilíndrico-ortogonal, onde 2 planos , um horizontal e um vertical, se interceptam no espaço, sendo portanto, em função de suas posições, perpendiculares entre si. A intersecção desses planos determina uma linha chamada Linha de Terra (LT). Esses planos determinam no espaço 4 diedros numerados no sentido antihorário. Veremos mais detalhes adiante.

Podemos notar que na épura, as duas projeções de um ponto pertencem à uma mesma reta perpendicular à L. T. esta reta é denominada linha de chamada. A distância de um ponto ao Plano Horizontal (PH), é denominada COTA do ponto; que em projeção é representada em épura pela distância da sua projeção vertical até a linha de terra. A distância de um ponto ao Plano Vertical (PV), é denominada AFASTAMENTO do ponto; que em projeção é representada em épura pela distância da sua projeção horizontal até a linha de terra. A 1 PV A 2 AFASTAMENTO (A)A 2 (A) COTA (A)A 1 L A 0 T AFASTAMENTO (A)A 2 PH A 2

ESTUDO DO PONTO MÉTODO DA DUPLA PROJEÇÃO DE MONGE PARA DETERMINAÇÃO DO PONTO (A) “Consiste em determinar duas projeções ortogonais sobre dois planos perpendiculares, um horizontal representado por ( ) e outro vertical ( ’ ), que se interceptam segundo uma linha chamada LINHA DE TERRA”. CONVENÇÕES: • o ponto (O), centro de projeção, é sempre situado na frente do plano vertical e acima do plano horizontal, e a uma distância infinita dos mesmos. A’ (A) ( ’) A ( ) • a projeção de um ponto (A) no plano horizontal ( ) é designada pela letra maiúscula A, sem parênteses • a projeção do mesmo ponto (A) no plano vertical ( ‘ ) é designada por A’ Sobre cada plano, a projeção do ponto (A) é o pé da perpendicular baixada do ponto sobre o plano.

ESTUDO DO PONTO Os planos de projeção, perpendiculares entre si, formam (i) quatro regiões que são chamados DIEDROS e, (ii) quatro semi-planos chamados: HORIZONTAL ANTERIOR ( A) ( ’S) HORIZONTAL POSTERIOR ( P) VERTICAL SUPERIOR ( ’S) 1º diedro 2º diedro VERTICAL INFERIOR ( ’I) ( A) ( P) 3º diedro ( ’I) 4º diedro

ESTUDO DO PONTO ÉPURA • Para representar no plano 2 -D as figuras do espaço 3 -D, faz-se o rebatimento do plano vertical sobre o plano horizontal, no sentido anti-horário => NOSSA CONVENÇÃO! ( ( A) • Isso consiste em fazê-lo girar 90° em torno da linha de terra, de modo que ( ’S) venha a ficar em coincidência com ( P) e ( ’I) em coincidência com o ( A). • Após o rebatimento, têm-se a épura, onde a linha de terra é representada por uma linha horizontal ’. ’S) ( P) ( ( ( ’S) ’I) ( P) ( A) ’

ESTUDO DO PONTO COTA E AFASTAMENTO • Chama-se COTA de um ponto a distância deste ponto ao plano horizontal de projeção. • Chama-se de AFASTAMENTO de um ponto a distância deste ponto ao plano vertical de projeção. AFASTAMENTO A’ (A)A = COTA (A)A’ = AFASTAMENTO (A) ( ’) COTA A ( )

ESTUDO DO PONTO LINHA DE PROJEÇÃO • Chama-se LINHA DE PROJEÇÃO ou LINHA DE CHAMADA a toda linha perpendicular à linha de terra, que une as projeções de um ponto. • Na figura, a linha A’A que une as projeções do ponto (A) é uma linha de projeção. AFASTAMENTO A’ A’ (A) ( ’) COTA ’) LT ( ) ( A ( ) A

Em relação aos planos de projeção, quantas posições diferentes o objeto pode ocupar no espaço?

Embora o observador esteja no infinito na projeção cilíndrica ortogonal, o mesmo foi colocado na ilustração para que se possa perceber melhor a ordem em que cada elemento está. 1° DIEDRO PH - observador, objeto, plano de projeção. PV - observador, objeto, plano de projeção.

2° DIEDRO PH - observador, objeto, plano de projeção PV - observador, plano de projeção, objeto

3° DIEDRO PH - observador, plano de projeção, objeto PV - observador, plano de projeção, objeto

4° DIEDRO PH - observador, plano de projeção, objeto PV - observador, objeto, plano de projeção

RESUMO DIEDRO - é formado por dois planos de projeção ortogonais - um horizontal, um vertical. LINHA DE TERRA - reta determinada pela intersecção dos planos Horizontal e Vertical de projeção. REBATIMENTO – rotação do PH em 90 graus para obtenção da épura. ÉPURA - representação de figuras no plano bidimensional, pelas suas projeções. LINHAS DE CHAMADA - reta perpendicular à linha de terra, que liga as projeções horizontais e verticais de pontos. COTA – distância de um ponto ao PH. AFASTAMENTO – distância de um ponto ao PV. VERDADEIRA GRANDEZA - V. G. - diz-se que uma projeção está em V. G. quando o objeto está paralelo ao plano de projeção, projetando o mesmo com sua real superfície.

POSIÇÕES DO PONTO • Em relação aos planos de projeção, o ponto (A) pode ocupar nove (09) posições diferentes, a saber: 1ª POSIÇÃO: o ponto (A) está no 1º diedro A’ ( ’S) A’ (A) LT ( A) ( P) A’ 1 A 0 A A • Depois do rebatimento, o ( ’S) ficará em coincidência com o ( P). A projeção vertical A’ acompanhará o plano ( ’S) no seu deslocamento e cairá em A’ 1 de tal modo que A’ 1 A 0 = A’Ao. • Na épura as projeções são separadas pela linha de terra estando a projeção vertical A’ acima e a horizontal A abaixo da linha. Na épura não há a necessidade de representar o símbolo Ao. A projeção vertical rebatida A’ 1 é também apenas representada por A’.

POSIÇÕES DO PONTO 2ª POSIÇÃO: o ponto (B) está no 2º diedro B B’ ( ’S) (B) LT B’ ( A) ( P) B B’ 1 B 0 • Após o rebatimento, o B’ se projetará no plano ( P), sobre BBo (ou seu prolongamento), conforme a cota seja maior ou menor que o afastamento. • Na épura, ambas as projeções estão acima da linha de terra. • É indiferente B estar acima ou abaixo de B’ - o que caracteriza o ponto no 2 diedro é possuir ambas as projeções acima da linha de terra.

POSIÇÕES DO PONTO 3ª POSIÇÃO: o ponto (C) está no 3º diedro S)) ( ( ’S ’ C 0 C C ( ( AA) ) LT ( P) C ’ (C) ( C ’ ’I) • Após o rebatimento, ( ’S) coincidirá com ( P) e ( ’I) coincidirá com o plano ( A). A projeção vertical C’ irá cair em C’ 1 no prolongamento CC 0. • Na épura, a projeção horizontal C ficará posicionada acima da linha de terra e a vertical C’ abaixo desta linha (inverso da épura no 1 diedro)

POSIÇÕES DO PONTO 4ª POSIÇÃO: o ponto (D) está no 4º diedro ( ’S) LT D 0 D’ 1 D ( P) ( A) D’ D D’ ( ’I) (D) Depois do rebatimento, a projeção D’ cairá em D’ 1 sobre DD 0 (ou seu prolongamento). Ambas as projeções abaixo da linha de terra caracterizam a épura deste ponto no 4 diedro. Note que a épura de um ponto no 4 diedro é o inverso da épura no 2 diedro.

POSIÇÕES DO PONTO 5ª POSIÇÃO: o ponto (E) está no ( ’S) E’= (E)=E’ LT E’ 1 ( P) E ( A) E • Estando o ponto (E) no plano vertical superior ( ’S) , o seu afastamento será nulo. • A projeção vertical E’ coincide com o próprio ponto (E) e a projeção horizontal E estará sobre a linha de terra. Depois do rebatimento, a projeção E’ cairá em E 1’ sobre o plano ( P). • Na épura a projeção vertical E’ está acima da linha de terra e a horizontal E sobre esta linha.

POSIÇÕES DO PONTO 6ª POSIÇÃO: o ponto está (F) no ( ’I) ( ’S) F LT F F’ 1 ( P) ( ’I) ( A) F’= (‘F) (F)’=F’ • Estando o ponto (F) no plano vertical inferior (�’I) seu afastamento será nulo. • Sua projeção vertical F’ coincidirá com o próprio ponto (F) e sua projeção horizontal F estará sobre a linha de terra. Após o rebatimento, a projeção F’ cairá em F’ 1 sobre o plano �A. • Na épura, a projeção vertical está abaixo da linha de terra e a horizontal permanece sobre a linha.

POSIÇÕES DO PONTO 7ª POSIÇÃO: o ponto (G) está no ( A) ( ’S) G’ LT ( A) G’ ( P) (G)=G G= (G) • Estando o ponto no plano horizontal anterior ( A), sua cota será nula. Portanto sua projeção horizontal G coincidirá com o próprio ponto (G) = G. • A projeção vertical G’ estará sobre a linha de terra. Com o rebatimento, nada se altera. • Na épura, a projeção horizontal G estará abaixo da linha de terra e a vertical G’ sobre a linha de terra.

POSIÇÕES DO PONTO 8ª POSIÇÃO: o ponto (J) está no ( P) ( (J)=J J=(J) ’S) J’ ( A) LT J’ ( P) • Nesta posição a cota do ponto é nula. • Nada se altera com o rebatimento. • Na épura, a projeção horizontal J está acima da linha de terra e a vertical J’ sobre linha de terra.

POSIÇÕES DO PONTO 9º POSIÇÃO: o ponto (M) está na linha de terra ( ’S) M=M’ M’ M ( A) ( P) • Nesta posição o ponto não terá nem cota bem afastamento. • Nada se altera com o rebatimento já que a linha de terra é fixa. LT

CONVENÇÕES: • o ponto (O), centro de projeção, é sempre situado na frente do plano vertical e acima do plano horizontal, e a uma distância infinita dos mesmos. • a projeção de um ponto (A) no plano horizontal ( ) é designada pela letra maiúscula A, sem parênteses • a projeção do mesmo ponto (A) no plano vertical ( ‘ ) é designada por A’

A A’ Ponto (A) - semi plano vertical inferior

B B’ Ponto (B) - 3° diedro

C’ C Ponto (C) - 1° diedro

D’ D Ponto (D) - semi plano vertical superior ( ’S)

E E’ Ponto (E) - semi plano horizontal posterior ( P)

F F’ Ponto (F) - 4° diedro

G=G’ Ponto (G) - 2° diedro (caso especial - cota e afastamento iguais)

COORDENADAS A COTA e o AFASTAMENTO de um ponto constituem as suas coordenadas. Na prática, o ponto necessita de mais outra coordenada - a ABSCISSA - que não influi na sua posição, sendo tomada sobre a linha de terra a partir de um ponto zero (0) considerado origem e arbitrariamente marcado sobre aquela linha. Quando positiva, a coordenada é marcada para a direita da origem. Quando negativa, a coordenada é marcada para a esquerda da origem. TAMBÉM A COTA E O AFASTAMENTO PODEM SER POSITIVOS OU NEGATIVOS

COORDENADAS

COORDENADAS As coordenadas do ponto são pois: abscissa (x), afastamento (y) e cota (z ) Z = cota X = abscissa Y = afastamento

COORDENADAS

COORDENADAS ( ’S) A’ (A) Cota ( A) ( P) A’ 1 A 0 LT A A ( ’I) Afastamento A figura (A)A’A 0 A é um quadrilátero (quadrado ou retângulo). Em qualquer das hipóteses têm-se que (A)A = A’A 0. Como no rebatimento A’ coincide com A’ 1, isto resulta que A 0 A’ 1 também representa a cota e está na épura representado pelo segmento A 0 A’ acima da linha de terra.

COORDENADAS A COTA é POSITIVA quando acima do plano horizontal (p), portanto no 1° ou 2° diedro. A COTA é NEGATIVA quando abaixo deste plano, ou seja no 3° ou 4° diedro. A’ Cota A 0 A Afastamento LT O AFASTAMENTO (A)A’ é POSITIVO quando, observado na figura DE FRENTE, estiver à direita do plano vertical (p’), isto é, no 1° ou 4° diedro. O AFASTAMENTO é NEGATIVO quando, observado DE FRENTE, estiver à esquerda do plano vertical (p’), isto é, no 2° ou 3° diedro.

COORDENADAS ( ’S) A’ (A) ( A) ( P) A’ 1 A 0 Cota A 0 LT A ( ’I) A Afastamento NO ESPAÇO: cota positiva (+) cota negativa (-) afastamento positivo (+) afastamento negativo (-) 1° e 2° diedros 3° e 4° diedros 1° e 4° diedros 2° e 3° diedros EM EPURA: cota positiva (+) cota negativa (-) afastamento positivo (+) afastamento negativo (-) acima da LT abaixo da LT acima da LT

COORDENADAS EXEMPLO 1: • [1 ; 2; 1 ] equivale à [x, y, z]; a unidade é centímetro. • A abscissa (x) igual a 1, como é positiva é marcada à direita desta origem O 1 cm LT

COORDENADAS EXEMPLO 1: • [1 ; 2; 1 ] equivale à [x, y, z] • O afastamento (y), igual a 2 e sendo positivo, é marcado abaixo da linha de terra O Afastamento LT 2 cm

COORDENADAS EXEMPLO 1: • [1 ; 2; 1 ] equivale à [x, y, z] • A cota (z), igual a 1 e sendo positiva, é marcada acima da linha de terra A’ O 1 cm Cota LT 1 cm Afastamento 2 cm O ponto está portanto no 1 o diedro! A simples inspeção das coordenadas já nos indicava isto, pois cota e afastamento positivos significa ponto no 1 o. diedro

COORDENADAS Dadas as coordenadas de um ponto, como podemos reconhecer onde o mesmo está situado em relação aos diedros? É possível chegarmos à esta conclusão sem representarmos o ponto diretamente na épura?

COORDENADAS Raciocínio alternativo: • traçam-se dois eixos ortogonais XX’ e YY’, os quais representam: Semi eixo OX’: Semiplano horizontal anterior ( A) Semi eixo OX : Semiplano horizontal posterior ( P) Semi eixo OY : Semiplano vertical superior ( ’S) Semi eixo OY’: Semiplano vertical inferior ( ’I) Y X O Y’ As regiões determinadas por estes eixos são os diedros que já conhecemos! X’

COORDENADAS EXEMPLO 1: seja o ponto (A) de coordenadas [2; -1; 2], pergunta-se: qual a posição do mesmo em relação aos diedros? A abscissa, nesta perspectiva, não influi na posição do ponto. Y X * * O Y’ X’ O afastamento é negativo (-1). Como o afastamento negativo indica que o ponto encontra-se à esquerda do plano vertical ( ’), marcaremos um asterisco em cada diedro onde o ponto possa estar contido, à esquerda do eixo YY’ - que representa o plano vertical. * - neste exemplo, portanto, os asteriscos necessariamente devem estar posicionados no 2° e 3° diedros

COORDENADAS A cota é positiva (2). Y X ** * O Y’ * X’ Como a cota positiva indica que o ponto encontra-se acima do plano horizontal ( ), marcaremos um asterisco em cada diedro onde o ponto possa estar contido, acima do eixo XX’ - que representa o plano horizontal. * - neste exemplo, portanto, os asteriscos necessariamente devem estar posicionados no 1° e 2° diedros.

COORDENADAS Y X ** * O * Resultado: X’ A região contendo dois asteriscos será aquela ocupada pelo ponto. Portanto, o ponto (A) de coordenadas [2; 1; 2] situa-se no 2° diedro Y’

COORDENADAS EXEMPLO 2: a qual diedro pertence o ponto (B), de coordenadas [-1; 3; -2] ? Y X O Y’ * X’ * O afastamento é positivo (3) => asteriscos no 1° e 4° diedros.

COORDENADAS EXEMPLO 2: a qual diedro pertence o ponto (B), de coordenadas [-1; 3; -2] ? Y O X * Y’ * X’ ** A cota é negativa (-1) => asteriscos no 3° e 4° diedros.

COORDENADAS EXEMPLO 2: a qual diedro pertence o ponto (B) de coordenadas [-1; 3; -2] ? Y O X * Y’ * ** X’ PORTANTO, O PONTO B ESTÁ SITUADO NO 4° DIEDRO

COORDENADAS EXEMPLO 3: a qual diedro pertence o ponto (C) de coordenadas [1; 0; 2] ? Afastamento nulo => ponto situado no eixo YY’, isto é, no plano vertical. Coloca-se então um asterisco no semi-eixo OY e outra no semi-eixo OY’. Y X * * * O Y’ X’ A cota postiva (2) => ponto acima do plano horizontal, ou seja, no semi-eixo OY. O ponto C, portanto, está situado no semiplano vertical superior ( ’S) Em todos os casos estudados, se recorrermos à epura, teremos confirmadas as posições dos pontos pela situação de suas projeções em relação à linha de terra.

Planos Bissetores

Planos Bissetores

Planos Bissetores

Planos Bissetores

SIMETRIA DE PONTOS (A) (M) ( ) (B) • Dois pontos (A) e (B) são simétricos em relação à um plano ( ), quando este plano é o mediador do segmento formado pelos dois pontos. • Ou seja, a simetria entre pontos existe quando um plano, perpendicular ao segmento formado por estes dois pontos, contém o ponto médio do segmento. • Note, no desenho acima, que o segmento (A)(M) é igual ao segmento (M)(B).

SIMETRIA DE PONTOS Vamos considerar a simetria de um ponto em relação: 1) aos planos de projeção 2) à linha de terra

SIMETRIA DE PONTOS 1) PONTOS SIMÉTRICOS EM RELAÇÃO AOS PLANOS DE PROJEÇÃO ( A’ ’) A’ (A) LT ( ) A=B B’ B’ (B) A=B Diz-se que um ponto (B) é simétrico a um ponto (A) em relação ao plano horizontal de projeção ( ), quando possui: - a mesma abscissa, - o mesmo afastamento em grandeza e sentido; - a cota de mesma grandeza mas de sentido contrário. Note na figura que os afastamento dos pontos (A) e (B) são iguais e ambos positivos (mesmo sentido) e suas cotas iguais e de sentido contrário

SIMETRIA DE PONTOS 1) PONTOS SIMÉTRICOS EM RELAÇÃO AOS PLANOS DE PROJEÇÃO D C ’= D’ ( ’) (D) C’=D’ (C) LT ( ) D C C Diz-se que um ponto (D) é simétrico a um ponto (C) em relação ao plano vertical de projeção ( ’), quando possui: - a mesma abscissa, - a mesma cota em grandeza e sentido; - o afastamento da mesma grandeza porém de sentido contrário. Note na épura que as projeções verticais C’ e D’ coincidem e as projeções horizontais C e D são simétricas em relação à linha de terra.

SIMETRIA DE PONTOS 2) PONTOS SIMÉTRICOS EM RELAÇÃO AOS PLANOS BISSETORES Plano bissetor ímpar

SIMETRIA DE PONTOS 2) PONTOS SIMÉTRICOS EM RELAÇÃO AOS PLANOS BISSETORES Plano bissetor par

SIMETRIA DE PONTOS 3) PONTOS SIMÉTRICOS EM RELAÇÃO À LINHA DE TERRA

Exercícios

2) Representar em épura o ponto abaixo, à partir de suas coordenadas: (A) [-1; -2; -1] (B) [0; 1, 5; -2] (C) [1, 5; 1; 1, 5] (D) [ 0; 0; 2] (E) [-1; 2; 0] (F) [2; -1; 0] (G) [0; 0; 0] (H) [-3; 0; 0] (I) [0; -1, 5; 0] (J) [ 2; -1; 1]

3) Traçar a épura dos pontos (A) e (B), situados respectivamente no 1º e 2º bissetores, sabendo-se que: (A) [-2; 1, 5; ? ] e (B) [1; ? ; 2]. 4) São dados os pontos (A) [0; 1; 2] e (B) [3; -3; 1, 5]. Pedem-se as projeções de um ponto: 1º ) simétrico a (A) em relação ao plano (π) 2º ) simétrico a (B) em relação ao plano (π’) 5) Em relação aos pontos (A) [1; 1; 1, 5] e (B) [3; -1; 2], trace as projeções dos pontos : 1º ) simétrico a (A) em relação ao plano (βI) 2º ) simétrico a (B) em relação ao plano (βP) 6) Determinar as coordenadas de um ponto (B) simétrico a (A) [1; 0; -2] em relação a (π). 7) Determinar as coordenadas de um ponto (D) simétrico a (C) [0; 2; 3] em relação ao (βI). 8) Determinar as coordenadas de um ponto (F) simétrico a (E) [1; 2; 3] em relação a π’π. 9) O ponto (A) é simétrico de (B) em relação ao (βI); (B) é simétrico de (C) em relação a (π’) e (C) é simétrico de (D) [0; 3; 1, 5] em relação a (π). Determine as coordenadas de (A).

10) Representar em épura o ponto (A), situado no 1° bissetor, e o ponto (B), situado no 2° bissetor. Dados: (A) [ -10 ; 15 ; ? ] e (B) [ 10 ; ? ; 20 ]. 11) Representar em épura o ponto (C), simétrico do ponto (D) em relação ao plano (p), e o ponto (E), simétrico do ponto (F) em relação ao plano (p'). Dados: (D) [ 0 ; 10 ; 20 ] e (F) [ 15 ; -30 ; 15 ]. 12) Representar em épura o ponto (G), simétrico do ponto (H) em relação ao 1° bissetor, e o ponto (I), simétrico do ponto (J) em relação ao 2° bissetor. Dados: (H) [ 10 ; 15 ] e (J) [ 20 ; -10 ; 20 ]. 13) Representar em épura o ponto (K), simétrico do ponto (L) em relação à linha de terra, e o ponto (M), simétrico do ponto (N) em relação a essa mesma linha. Dados: (L) [ 0 ; -15 ; 25 ] e (N) [ 25 ; 20 ; 0 ].