Semejanza de tringulos Cmo podemos calcular la altura

Semejanza de triángulos

¿Cómo podemos calcular la altura del árbol?

¿Son suficientes los datos que tenemos? La altura de Sara es 1, 5 metros

El problema se puede resolver usando Semejanza de Triángulos Comencemos por entender qué es la Semejanza de Triángulos

Definición: • Dos triángulos son semejantes si sus tres ángulos son correspondientemente congruentes. A M N B P m A = 70 m B = 65 m C = 45 C ABC MNP m M = 70 m N = 65 m P = 45

Entendiendo el concepto Cuando dos triángulos son semejantes, tienen exactamente la misma forma, pero diferente tamaño.

NOTA IMPORTANTE: Es importante utilizar adecuadamente la notación de semejanza para dos triángulos. Al decir que ABC MNP, implícitamente se está diciendo que el ángulo A es congruente con el ángulo M. Asimismo, el ángulo B lo es con N, y el ángulo C es congruente con el ángulo P.

¿Pero ahora cómo nos puede ayudar la semejanza de triángulos a resolver nuestro problema inicial? Se pueden sacar muchas conclusiones cuando se tienen dos triángulos semejantes. Veamos:

En dos triángulos semejantes se cumple que sus lados homólogos son proporcionales. Los lados homólogos son los opuestos a ángulos congruentes. A la razón de uno de los lados con su lado homólogo se le llama razón de semejanza k. En este caso k = 1/2

Lo interesante es que esta proporción se mantiene también para las alturas y las medianas, siempre correspondientes a los lados homólogos de los triángulos semejantes. La razón de los perímetros de ambos triángulos también es igual a la razón de semejanza k. Finalmente, la razón de las áreas de los triángulos semejantes, es igual a la razón de semejanza elevada al cuadrado; es decir a k 2.

Para identificar si dos triángulos son semejantes se utilizan 3 postulados o criterios de semejanza. Veamos:

Criterios de semejanza • Primer criterio: • AA • Dos triángulos son semejantes si dos ángulos de uno de ellos son congruentes a dos ángulos del otro. C A B A’ C’ B’

Criterios de semejanza • Segundo criterio: • LLL • Dos triángulos son semejantes si los lados de uno de ellos son proporcionales a los lados homólogos del otro. C A B A’ C’ B’

Criterios de semejanza • Tercer criterio: • LAL • Dos triángulos son semejantes si dos lados de uno de ellos son proporcionales a dos lados del otro y los ángulos comprendidos entre dichos lados son congruentes. C A B A’ C’ B’

¿Podemos ahora resolver el problema? La altura de Sara es 1, 5 metros

FIN