MATEMTICA Congruencia de Tringulos Fuente Preuniversitario Cpech r

MATEMÁTICA Congruencia de Triángulos Fuente: Preuniversitario Cpech

r Aprendizajes esperados • Comprender el concepto de congruencia en figuras planas y relacionarlo con transformaciones isométricas. • problemas y demostración de propiedades.

Pregunta oficial PSU 36. En la figura, MNPQ es un trapecio isósceles, S pertenece a y. R pertenece a. Si O es la intersección de las diagonales, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) siempre verdadera(s)? I) MRQ NSP II) OSP NSP III) MOQ NOP A) Solo II B) Solo I y II C) Solo I y III D) Solo II y III E) I, II y III Fuente : DEMRE - U. DE CHILE, Modelo Proceso de admisión 2015.

1. Congruencia 2. Criterios de congruencia 3. Aplicaciones

1. Congruencia Definición Dos figuras son congruentes cuando tienen la misma forma, el mismo tamaño y la misma área, es decir, si al colocarlas una sobre la otra son coincidentes en toda su extensión. Ejemplos: El símbolo de congruencia es

1. Congruencia Relación entre congruencia y transformaciones isométricas Las transformaciones isométricas aplicadas a figuras en el plano, no varían sus dimensiones, ni el área de las mismas. La figura inicial y final son congruentes. Ejemplo: Si el punto A (– 2, 3) es vértice del cuadrado de la figura ¿cuáles serán sus nuevas coordenadas luego de aplicar una traslación T(6, – 4)? 3 y 2 1 x -3 -2 -1 -1 1 2 3 4

2. Criterios de congruencia Triángulos congruentes Para determinar si dos triángulos son congruentes, podemos utilizar los siguientes criterios: Ejemplo: C 8 6 A 10 B F 8 6 D 10 E Los triángulos ABC y DEF son congruentes y se denota: Δ ABC Δ DEF

2. Criterios de congruencia Triángulos congruentes Ejemplo: C 3 a A 5 F B 3 a D 5 E Los triángulos ABC y DEF son congruentes y se denota: Δ ABC Δ DEF

2. Criterios de congruencia Triángulos congruentes 3° Ángulo, lado, ángulo (A. L. A. ): Dos triángulos son congruentes si tienen dos ángulos respectivamente congruentes y el lado comprendido entre ellos congruente. Ejemplo: C 12 F b a A B 12 b a D E Los triángulos ABC y DEF son congruentes y se denota: Δ ABC Δ DEF

2. Criterios de congruencia Triángulos congruentes 4° Lado, lado, ángulo (L. L. A. ): Dos triángulos son congruentes si tienen dos lados congruentes y el ángulo opuesto al lado mayor, congruente. Ejemplo: C F 15 a A 10 B 15 a D 10 E Los triángulos ABC y DEF son congruentes y se denota: Δ ABC Δ DEF

3. Aplicaciones Existen propiedades de triángulos que se pueden demostrar a través de la congruencia entre triángulos. Ejemplo: Demostrar que en un triángulo isósceles, los ángulos basales son congruentes. Es decir, CAB CBA. En el triángulo ABC isósceles de base AB, se realizan los siguientes pasos: C 1° Trazar la altura 2° 3° también es bisectriz. 4° ACD BCD y b b es lado común 5° Entonces, aplicando criterio LAL, se tiene que ADC BDC, y esto implica que CAD CBD. 6° Luego, CAB CBA. a A a D B

3. Aplicaciones Ejemplo PSU En la figura, PRQ TSU, donde los vértices correspondientes son P y T; R y S; Q y U. Si el ángulo QPR mide 40° y el ángulo TSU mide 80°, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? I) El ángulo TUS mide 60°. II) El STU es escaleno. III) PQ < TU A) Solo I B) Solo I y II C) Solo I y III D) Solo II y III E) I, II y III S P R T Q U Fuente : DEMRE - U. DE CHILE, Proceso de admisión 2014.

3. Aplicaciones 1° Si los vértices correspondientes son P y T; R y S; Q y U, entonces: S P a 40° 80° b b 80° R 60° g g 60° a 40° T U Q 2° Si el ángulo QPR mide 40° entonces: a = 40° 3° y si el ángulo TSU mide 80°, entonces: b = 80° y g = 60° Luego: I) El ángulo TUS mide 60°. II) El STU es escaleno. III) PQ < TU x g = 60° Si los ángulos interiores son de distinta medida, entonces sus lados también lo son. PQ TU

3. Aplicaciones Ejemplo PSU En la figura, PRQ TSU, donde los vértices correspondientes son P y T; R y S; Q y U. Si el ángulo QPR mide 40° y el ángulo TSU mide 80°, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? I) El ángulo TUS mide 60°. II) El STU es escaleno. III) PQ < TU S P A) Solo I B) Solo I y II C) Solo I y III D) Solo II y III E) I, II y III R T Q U Fuente : DEMRE - U. DE CHILE, Proceso de admisión 2014. ALTERNATIVA CORRECTA B

Pregunta oficial PSU 36. En la figura, MNPQ es un trapecio isósceles, S pertenece a y. R pertenece a. Si O es la intersección de las diagonales, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) siempre verdadera(s)? I) MRQ NSP II) OSP NSP III) MOQ NOP A) Solo II B) Solo I y II C) Solo I y III D) Solo II y III E) I, II y III Fuente : DEMRE - U. DE CHILE, Modelo Proceso de admisión 2015. ALTERNATIVA CORRECTA C

Tabla de corrección Nº Clave Unidad temática Habilidad 1 D Geometría de Proporción Comprensión 2 C Geometría de Proporción ASE 3 C Geometría de Proporción ASE 4 E Geometría de Proporción ASE 5 E Geometría de Proporción ASE 6 E Geometría de Proporción ASE 7 E Geometría de Proporción ASE 8 B Geometría de Proporción ASE 9 A Geometría de Proporción Aplicación 10 B Geometría de Proporción ASE 11 E Geometría de Proporción ASE 12 D Geometría de Proporción ASE

Tabla de corrección Nº Clave Unidad temática Habilidad 13 C Geometría de Proporción ASE 14 A Geometría de Proporción Aplicación 15 C Geometría de Proporción Aplicación 16 E Geometría de Proporción ASE 17 C Geometría de Proporción ASE 18 B Geometría de Proporción ASE 19 A Geometría de Proporción ASE 20 B Geometría de Proporción ASE 21 C Geometría de Proporción ASE 22 E Geometría de Proporción ASE 23 A Geometría de Proporción ASE 24 B Geometría de Proporción ASE 25 D Geometría de Proporción ASE

Síntesis de la clase Congruencia Dos figuras son congruentes si tienen la misma forma, el mismo tamaño e igual área. Criterios de congruencia 1° Lado, lado (L. L. L. ) 3° Ángulo, lado, ángulo (A. L. A. ) 2° Lado, ángulo, lado (L. A. L. ) 4° Lado, lado, ángulo (L. L. A. )

Prepara tu próxima clase En la próxima sesión, estudiaremos Semejanza de triángulos

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