U D 7 4 ESO E AP SEMEJANZA

U. D. 7 * 4º ESO E. AP. SEMEJANZA @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP. 1

U. D. 7. 5 * 4º ESO E. AP. TRIGONOMETRÍA @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP. 2

Trigonometría • • TRIGONOMETRÍA La palabra trigonometría proviene del vocablo griego trígono –triángulo-, y metron –medida-, que se refiere a las medidas de los ángulos de un triangulo. • La trigonometría es la rama de las matemáticas que intenta establecer las relaciones entre los lados y los ángulos de un triangulo, para así poder resolverlos. • • Así entonces resolver un triangulo significa encontrar el valor de sus tres lados, y el de sus tres ángulos. Para esto nos valdremos del teorema de Pitágoras para encontrar el valor de un lado, si es que ya conocemos dos; y de las razones trigonométricas para conocer el valor de los ángulos internos, si conocemos como mínimo un lado. • Y así posteriormente podremos combinar las razones trigonométricas con el teorema de Pitágoras para poder resolver problemas de mayor dificultad. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP. 3

Razones trigonométricas • • TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS EN POSICIÓN DE THALES Sean los triángulos rectángulos ABC (de lados a, b y c) y A’B’C’ (de lados a’, b’ y c’). Al estar en posición de Thales ambos triángulos son semejantes y se cumple: • a b c • ---- = r B’ • a’ b’ c’ • Siendo r la razón de semejanza. a’ B • Eso es así con independencia de las Hipotenusa medidas de catetos o B de hipotenusas. c’ c a A=90º C A’ b’ @ Angel Prieto Benito A b Matemáticas 4º ESO E. AP. C=C’ 4

Razones trigonométricas • • Tenemos por semejanza de triángulos rectángulos: a b c ---- = r De donde podemos obtener las siguientes igualdades: a’ b’ c’ • c’ c • b’ b • c’ c • ---- = ---B’ • b’ b • a’ a a’ • B Hipotenusa c’ B c a A=90º A’ b’ @ Angel Prieto Benito A C b Matemáticas 4º ESO E. AP. Estas igualdades siempre se cumple y cuando los triángulos son rectángulos su valor sólo depende del ángulo agudo. Son las llamadas razones trigonométricas C=C’ 5

Razones trigonométricas • • El valor de las razones trigonométricas sólo depende del ángulo. Sen 30º = 0, 5 = b / a Cos 30º = 0, 866 = c / a Tag 30º = 0, 5774 = b / c a a a b α = 30º c @ Angel Prieto Benito b α = 45º c Matemáticas 4º ESO E. AP. b α = 60º c 6

Razones en un triángulo • RAZONES TRIGONOMÉTRICAS • El seno de un ángulo agudo, C, es la razón entre el cateto opuesto a dicho ángulo, c, y la hipotenusa, a. Se escribe sen C • • • El coseno de un ángulo agudo, C, es la razón entre el cateto adyacente a dicho ángulo, b, y la hipotenusa, a. Se escribe cos C La tangente de un ángulo agudo, C, es la razón entre el cateto opuesto a dicho ángulo, c, y el cateto adyacente, b. Se escribe tg C @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP. 7

Ejemplos • • Hallar las razones trigonométricas en el triángulo rectángulo cuyos lados miden: a=5, b=4, c=3 sen C=c/a=3/5 = 0, 6 cos C=b/a=4/5 = 0, 8 tag C=c/b=3/4 = 0, 75 B Hipotenusa B c A=90º A • • Hallar las razones trigonométricas en el triángulo rectángulo cuyos lados miden: a=13, b=12, c=5 sen C=c/a=5/13 = 0, 3846 cos C=b/a=12/13= 0, 9231 tag C=c/b=5/12 = 0, 4167 @ Angel Prieto Benito a C b C • IMPORTANTE • Como un cateto siempre es menor que la hipotenusa: • sen α ≤ 1 • cos α ≤ 1 Matemáticas 4º ESO E. AP. 8

Aplicaciones • En un triángulo rectángulo la hipotenusa mide 10 cm y uno de los ángulos agudos mide 30º. Hallar los catetos. • • Sea C = 30º sen C = c / a sen 30º = c / 10 Calculadora: sen 30º = 0, 5 = c / 10 c = 5 cm Sea C = 30º cos C = b / a cos 30º = b / 10 Calculadora: cos 30º = 0, 866 = b / 10 b = 8, 66 cm • En un triángulo rectángulo un cateto mide 8 cm y el ángulo agudo opuesto a dicho cateto mide 60º. Hallar el otro cateto y la hipotenusa. • • Sea C = 60º sen C = c / a Calculadora: sen 60º = 0, 866 Sea C = 60º cos C = b / a Calculadora: cos 60º = 0, 5 @ Angel Prieto Benito sen 60º = 8 / a 0, 866 = 8 / a a = 9, 24 cm cos 60º = b / 9, 24 0, 5 = b / 9, 24 b = 4, 62 cm Matemáticas 4º ESO E. AP. 9

Aplicaciones • En un triángulo rectángulo la hipotenusa mide 5 cm y uno de los ángulos agudos mide 45º. Hallar los catetos. • • Sea C = 45º sen C = c / a sen 45º = c / 5 Calculadora: sen 45º = 0, 7071 = c / 5 c = 3, 5355 cm Sea C = 45º cos C = b / a cos 45º = b / 10 Calculadora: cos 45º = 0, 7071 = b / 5 b = 3, 5355 cm • En un triángulo rectángulo un cateto mide 8 cm y el ángulo agudo opuesto a dicho cateto mide 60º. Hallar el otro cateto y la hipotenusa. • • Sea C = 60º tag C = c / b tag 60º = 8 / b Calculadora: tag 60º = 1, 7321 = 8 / b b = 4, 62 cm Sea C = 60º cos C = b / a cos 60º = 4, 62 / a Calculadora: cos 60º = 0, 5 = 4, 62 / a a = 9, 24 cm @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP. 10

Algunas razones muy utilizadas • RAZONES MUY UTILIZADAS • Conviene saberse de memoria las siguientes razones trigonométricas, al objeto de conseguir rapidez y exactitud: • • • Sen 30º = 1 / 2 = 0, 50 Cos 30º = √ 3 / 2 = 0, 866 Tg 30º = √ 3 / 3 • • • Sen 45º = √ 2 / 2 = 0, 707 Cos 45º = √ 2 / 2 = 0, 707 Tg 45º = 1 • • • Sen 60º = √ 3 / 2 = 0, 866 Cos 60º = 1 / 2 = 0, 50 Tg 60º = √ 3 @ Angel Prieto Benito √ 2 45º 30º √ 3/2 ½ Matemáticas 4º ESO E. AP. 60º ½ 11

EL RADIAN • • SISTEMA SEXAGESIMAL Cada una de las 360 partes iguales en queda dividida la circunferencia se llama grado sexagesimal. Cada grado se divide en 60 minutos y cada minuto a su vez se divide en 60 segundos. • • EL RADIAN En trigonometría se utiliza como unidad fundamental el Radian, que se define como aquel ángulo cuyos lados comprenden un arco cuya longitud es igual a la del radio. • Para deducir el valor de un radian partiremos de la fórmula para calcular el perímetro de una circunferencia. P = 2. π. r Sabemos que el giro completo de una circunferencia vale 360°: 2. π rad = 360º • • • @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP. A Radio =r Arco AB = r B 12

Equivalencias • • Tenemos que π radianes es igual a 180°. Y gracias a estos quebrados podremos obtener las siguientes equivalencias Rad. 0 π/6 π/4 π/3 π/2 2π/3 3π/4 5π/6 Grados 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° Rad. 7π/6 5π/4 4π/3 3π/2 5π/3 7π/4 Grados 210° 225° 240° 270° 300° 315° @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP. π 180° 11π/6 2π 330° 360° 13