TEMA 12 COMBINATORIA 4 ESO CURSO 16 17

TEMA 12 COMBINATORIA 4º ESO – CURSO 16 -17

Introducción. Factorial de un Nº 1! = 1 2! = 2· 1 3! = 3· 2· 1 4! = 4· 3· 2· 1 5! = 5· 4· 3· 2· 1 Cuidado 0! = 1 … n! = n·(n-1)·(n-2)·(n-3)·…· 2· 1 El número n·(n− 1)·(n− 2)·…· 3· 2· 1 se llama factorial de n, y se representa por n!, donde n es un número natural.

Introducción. Factorial de un Nº Ahora toca practicar… OPERACIONES CON FACTORIALES 3! + 2! = 8 4! – 2! = 22 3! · 0! = 6 5! = 20 3! 8! = 280 3! · 4!

Introducción. Números combinatorios Dados números naturales m y n tales que m ≥ n, se define el número combinatorio , que se lee m sobre n, como: Veamos un ejemplo:

Introducción. Números combinatorios Ahora toca practicar… NÚMEROS COMBINATORIOS 7 3 = 35 9 4 = 126 6 4 = 15

Aplicaciones. Triángulo de Pascal El triángulo de números combinatorios de Tartaglia o de Pascal (debido a que fue este matemático quien lo popularizó) es un triángulo de números enteros, infinito y simétrico.

Aplicaciones. Binomio de Newton Sabemos que: (a + b)2 = a 2 + 2 ab + b 2 Pero… ¿Cómo calcularías: (a + b)3 ? La fórmula que nos permite hallar las potencias de un binomio se conoce como binomio de Newton. Los coeficientes son los números combinatorios que corresponden a la fila “n” del triángulo de Pascal.

Principios fundamentales de conteo 3 aviones ADICIÓN A 2 trenes 5 buses MULTIPLICACIÓN A B C Número de maneras de llegar desde A hasta B B avión O tren O bus No suceden simultáneamente 3 + 2 + 5 = 10 Número de maneras de llegar desde A hasta C AB y BC Sí suceden simultáneamente 3 x 2 = 6

Diagrama del árbol. Principio de Multiplicación ¿Qué me pongo? Me levanto por la mañana y al abrir mi armario me doy cuenta que tengo: q 2 pantalones: q 4 camisas: q 2 pares de zapatos: ¿De cuantas formas me podría vestir hoy?

Diagrama del árbol. Principio de Multiplicación 16 formas de vestirme = 2 pantalones x 4 camisas x 2 zapatos q Esta herramienta para representar todos los posibles resultados se llama Diagrama de árbol. q Principio de multiplicación: si hay n 1 opciones para elegir un objeto, n 2 opciones para elegir un segundo objeto, así hasta nm. El nº total de maneras de elegir los m objetos es: N = n 1 ·n 2 ·…·nm

Esquema m = número de elementos n = de cuánto en cuánto se toman = =

Esquema COMBINACIONE -NO influye el orden en que colocas los MISMOS elementos S VARIACIONES Sin repetición o con repetición - SÍ influye el orden en que colocas los MISMOS elementos PERMUTACIONE - SÍ influye el orden en que colocas los MISMOS S elementos Sin repetición - Intervienen todos los elementos m = n o con repetición - En el caso de que se repitan los elementos, siempre se repiten las mismas veces NOTA: Hay casos en los que m = n y es una Combinación o una Variación

Con una baraja española que consta de 40 cartas, ¿de cuántas maneras diferentes podemos repartir 4 cartas? q ¿Influye el orden de colocación? NO q ¿Intervienen todos los elementos? NO q ¿Se pueden repetir los elementos? NO COMBINACIÓN = = ¿Cuántos elementos tengo? m = 40 ¿De cuánto en cuánto los voy a tomar? n = 4 40! 40· 39· 38· 37 C 40, 4= 4! (40 -4)! = = 91390 4! 36! 4· 3· 2· 1

Con las cifras 1, 2, 3, 4, 5, 6 ¿Cuántos números distintos de 4 cifras puedo formar sin repetir? q ¿Influye el orden de colocación? SI q ¿Intervienen todos los elementos? NO q ¿Se pueden repetir los elementos? NO 1 2 3 4 4 3 2 1 VARIACIÓN SIN REPETICIÓN ¿Cuántos elementos tengo? m = 6 ¿De cuánto en cuánto los voy a tomar? n = 4 6 ! 2! V 6, 4 = = 360

¿Cuántas quinielas de fútbol distintas se pueden rellenar? q ¿Influye el orden de colocación? SI q ¿Intervienen todos los elementos? NO q ¿Se pueden repetir los elementos? SI Las variaciones con repetición, únicamente difieren de las anteriores en que ahora sí se pueden repetir elementos. VARIACIÓN CON REPETICIÓN ¿Cuántos elementos tengo? m = 3 ¿De cuánto en cuánto los voy a tomar? n = 15 Se trata de variar 3 elementos que se repiten (1, X, 2) tomados de 15 en 15: VR 3, 15 = 315 = 14. 348. 907

Con la palabra AMOR ¿Cuántas palabras con o sin sentido pueden formarse? q ¿Influye el orden de colocación? SI q ¿Intervienen todos los elementos? SI q ¿Se pueden repetir los elementos? NO AMOR AMRO AOMR AORM ARMO AROM MAOR MARO MOAR MORA MRAO MROA OAMR OARM OMAR OMRA ORAM ORMA RAMO RAOM RMAO RMOA ROMA ROAM ¿Cuántas saldrían con la palabra LOVE? PERMUTACIÓN SIN REPETICIÓN ¿Cuántos elementos tengo? m = 4 ¿De cuánto en cuánto los voy a tomar? n = 4 P 4 = 4!= 4· 3· 2· 1 = 24

¿Cuántas palabras, con o sin sentido, puedo formar con las letras de la palabra ARMELAR? q ¿Influye el orden de colocación? SI q ¿Intervienen todos los elementos? SI q ¿Se pueden repetir los elementos? SI Las permutaciones con repetición de n elementos son en las que un primer elemento se repite n 1 veces, un segundo elemento n 2 veces, y así hasta el último, que se repite nk veces, con n 1+n 2+…+nk = n. PERMUTACIÓN CON REPETICIÓN ¿De cuánto en cuánto los voy a tomar? n = 7 ¿Qué elementos se repiten a, b, c…. ? a=2 Son 7 letras, repitiéndose la “A” y la “R”, por tanto:

FIN 4º ESO – CURSO 16 -17