GEOMETRIA EUCLIDEA PROF VINCENZO LO PRESTI CONCETTI GEOMETRICI

GEOMETRIA EUCLIDEA PROF. VINCENZO LO PRESTI

CONCETTI GEOMETRICI FONDAMENTALI

GEOMETRIA Letteralmente geometria significa misura (metron) della terra (geo). Lo scopo principale della geometria è quello di studiare e descrivere le forme che l’uomo riscontra nella natura. I. I. S. "F. lli TESTA" Liceo Scientifico Nicosia(EN) Prof. Vincenzo Lo Presti

GEOMETRIA Nelle civiltà primitive la geometria aveva un carattere empirico e veniva utilizzata per scopi esclusivamente di ordine pratico: • Ricostruire i confini dei campi cancellati dalle inondazioni dei fiumi; • Conoscere la capacità di un vaso; • Misurare il volume delle costruzioni. I. I. S. "F. lli TESTA" Liceo Scientifico Nicosia(EN) Prof. Vincenzo Lo Presti

STORIA DELLA GEOMETRIA Presso la civiltà Assiro-Babilonese la geometria cominciò ad assumere un significato astratto indipendentemente dalla sua funzione pratica. Nella cultura della civiltà greca la geometria nel corso dei secoli venne sottoposta ad un processo di astrazione per opera di matematici e filosofi greci come Talete, Pitagora, Eudosso. I. I. S. "F. lli TESTA" Liceo Scientifico Nicosia(EN) Prof. Vincenzo Lo Presti

GEOMETRIA EUCLIDEA Il processo di astrazione della geometria venne profondamente influenzato da Euclide (III secolo a. c. ) che con la sua opera gli “Elementi”, articolata in ben 13 libri, espose in maniera sistematica e generalizzata tutte le conoscenze di geometria. Nasce quindi la geometria euclidea che per diversi secoli è rimasta il più grande esempio di teoria matematica e di costruzione strutturata delle mente umana. I. I. S. "F. lli TESTA" Liceo Scientifico Nicosia(EN) Prof. Vincenzo Lo Presti

STRUTTURA DELLA GEOMETRIA EUCLIDEA TEOREMA DI PITAGORA In un triangolo rettangolo il quadrato costruito sull’ipotenusa è equivalente alla somma dei quadrati costruiti sui cateti TRIANGOLO: un poligono di tre lati POLIGONO: figura geometrica formata da una poligonale e dalla parte finita di piano da essa delimitata POLIGONALE: spezzata chiusa non intrecciata I. I. S. "F. lli TESTA" Liceo Scientifico Nicosia(EN) Prof. Vincenzo Lo Presti

GEOMETRIA EUCLIDEA SPEZZATA: due o più segmenti consecutivi SEGMENTO: l’insieme dei punti di una retta compresi tra due punti qualsiasi della retta stessa I. I. S. "F. lli TESTA" Liceo Scientifico Nicosia(EN) Prof. Vincenzo Lo Presti

STRUTTURA DELLA GEOMETRIA EUCLIDEA CONCETTI PRIMITIVI POSTULATI (Regole fondamentali) (elementi di base) Da cui si deducono mediante definizioni NUOVI ENTI I. I. S. "F. lli TESTA" Liceo Scientifico Nicosia(EN) mediante dimostrazioni NUOVE PROPRIETA’ Prof. Vincenzo Lo Presti

ENTI PRIMITIVI DELLA GEOMETRIA EUCLIDEA Gli enti primitivi sono quei concetti immediati che si suppongono accettati da tutti. Gli enti primitivi della geometria euclidea sono: PUNTO RETTA PIANO I. I. S. "F. lli TESTA" Liceo Scientifico Nicosia(EN) Prof. Vincenzo Lo Presti

ENTI PRIMITIVI DELLA GEOMETRIA EUCLIDEA Per convenzione punti, rette e piani vengono indicati utilizzando la seguente simbologia: PUNTI: con le lettere maiuscole dell’alfabeto A B P C I. I. S. "F. lli TESTA" Liceo Scientifico Nicosia(EN) Prof. Vincenzo Lo Presti

ENTI PRIMITIVI DELLA GEOMETRIA EUCLIDEA Per convenzione punti, rette e piani vengono indicati utilizzando la seguente simbologia: RETTE: con le lettere minuscole dell’alfabeto r a s I. I. S. "F. lli TESTA" Liceo Scientifico Nicosia(EN) Prof. Vincenzo Lo Presti

ENTI PRIMITIVI DELLA GEOMETRIA EUCLIDEA Per convenzione punti, rette e piani vengono indicati utilizzando la seguente simbologia: PIANI: con le lettere minuscole dell’alfabeto greco I. I. S. "F. lli TESTA" Liceo Scientifico Nicosia(EN) Prof. Vincenzo Lo Presti

POSTULATI I postulati sono delle affermazioni che si devono accettare a priori, cioè proprietà che si suppongono vere e che pertanto non si dimostrano. (Regole del gioco) I. I. S. "F. lli TESTA" Liceo Scientifico Nicosia(EN) Prof. Vincenzo Lo Presti

POSTULATI DI APPARTENENZA Primo Postulato – Per due punti distinti passa una sola retta A B Secondo postulato – Su di una retta ci sono almeno due punti A B Terzo postulato – Data una retta e un piano che la contiene esiste un punto del piano che non appartiene alla retta I. I. S. "F. lli TESTA" Liceo Scientifico Nicosia(EN) Prof. Vincenzo Lo Presti

POSTULATI DI APPARTENENZA DEL PIANO Postulato – Per tre punti non allineati passa un solo piano. I. I. S. "F. lli TESTA" Liceo Scientifico Nicosia(EN) Prof. Vincenzo Lo Presti

POSTULATI DI APPARTENENZA DEL PIANO Postulato – Se due punti di una retta appartengono a un piano allora la retta giace interamente sul piano r B P A I. I. S. "F. lli TESTA" Liceo Scientifico Nicosia(EN) Prof. Vincenzo Lo Presti

POSTULATI DI ORDINAMENTO Postulato – La retta gode delle seguenti proprietà: § la retta è un insieme ordinato di punti (si può fissare sulla retta un verso di percorrenza tra i due possibili) § non esiste un primo e un ultimo punto (la retta e illimitata) § fra due suoi punti esiste sempre almeno un altro punto (la retta e densa) Q A P I. I. S. "F. lli TESTA" Liceo Scientifico Nicosia(EN) B R Prof. Vincenzo Lo Presti

PRIME DEFINIZIONI FIGURA GEOMETRICA: Si chiama figura geometrica un qualsiasi insieme di punti. SPAZIO: Si chiama spazio l’insieme di tutti i punti. I. I. S. "F. lli TESTA" Liceo Scientifico Nicosia(EN) Prof. Vincenzo Lo Presti

DEFINIZIONI Semiretta Data una retta orientata su cui viene fissato un punto P, si chiama semiretta l’insieme formato da P e da tutti i punti che lo seguono o che lo precedono. Origine P I. I. S. "F. lli TESTA" Liceo Scientifico Nicosia(EN) Prof. Vincenzo Lo Presti

DEFINIZIONI Segmento Data una retta orientata e due suoi punti A e B, si chiama segmento l’insieme dei punti A e B e di quelli che sono compresi tra essi. Estremo A I. I. S. "F. lli TESTA" Liceo Scientifico Nicosia(EN) B Estremo Prof. Vincenzo Lo Presti

DEFINIZIONI Segmenti consecutivi Due segmenti si dicono consecutivi se hanno un estremo in comune. B A C I. I. S. "F. lli TESTA" Liceo Scientifico Nicosia(EN) Prof. Vincenzo Lo Presti

DEFINIZIONI Segmenti adiacenti Due segmenti si dicono adiacenti se oltre ad essere consecutivi appartengono alla stessa retta A I. I. S. "F. lli TESTA" Liceo Scientifico Nicosia(EN) B C Prof. Vincenzo Lo Presti

DEFINIZIONI Si chiama poligonale un insieme di segmenti consecutivi Lati C E B D Vertici A I. I. S. "F. lli TESTA" Liceo Scientifico Nicosia(EN) Prof. Vincenzo Lo Presti

POSTULATO DI PARTIZIONE DEL PIANO Postulato- Data una retta r su un piano , presi due punti qualsiasi A e B del piano, se A e B appartengono alla stessa regione il segmento AB non interseca la retta r, se A e B appartengono a regioni diverse il segmento AB interseca la retta r. A’ B’ B r A (Per passare da una parte all’altra si deve per forza attraversare la retta che non può essere aggirata) I. I. S. "F. lli TESTA" Liceo Scientifico Nicosia(EN) Prof. Vincenzo Lo Presti

DEFINIZIONI Semipiano Data una retta r su di un piano , si chiama semipiano di origine r ciascuna delle due parti in cui il piano viene diviso dalla retta r. Origine o frontiera r I. I. S. "F. lli TESTA" Liceo Scientifico Nicosia(EN) Prof. Vincenzo Lo Presti

DEFINIZIONI Angolo Date due semirette con l’origine in comune si chiama angolo ciascuna delle due parti in cui viene diviso il piano. Angolo Lati Angolo Vertice I. I. S. "F. lli TESTA" Liceo Scientifico Nicosia(EN) Prof. Vincenzo Lo Presti

DEFINIZIONI Modi per indicare un angolo b A ab V AVB B I. I. S. "F. lli TESTA" Liceo Scientifico Nicosia(EN) a Prof. Vincenzo Lo Presti

DEFINIZIONI Angoli consecutivi: Quando hanno il vertice e un lato in comune c b V a I. I. S. "F. lli TESTA" Liceo Scientifico Nicosia(EN) Prof. Vincenzo Lo Presti

DEFINIZIONI Angoli adiacenti Quando sono consecutivi e i lati non comuni appartengono alla stessa retta b c V a I. I. S. "F. lli TESTA" Liceo Scientifico Nicosia(EN) Prof. Vincenzo Lo Presti

DEFINIZIONI Angolo piatto Quando i lati sono semirette opposte. b V a I. I. S. "F. lli TESTA" Liceo Scientifico Nicosia(EN) Prof. Vincenzo Lo Presti

DEFINIZIONI Angolo giro Quando i lati sono semirette sovrapposte cioè coincidenti e l’angolo coincide con l’intero piano. V b I. I. S. "F. lli TESTA" Liceo Scientifico Nicosia(EN) a Prof. Vincenzo Lo Presti

DEFINIZIONI Angolo nullo Quando i lati sono semirette sovrapposte cioè coincidenti e l’angolo comprende soltanto i punti delle semirette. V I. I. S. "F. lli TESTA" Liceo Scientifico Nicosia(EN) =0 b a Prof. Vincenzo Lo Presti

FIGURE GEOMETRICHE CONCAVE E CONVESSE Una figura geometrica può essere: • Convessa – quando il segmento che unisce due punti qualsiasi della figura appartiene per intero alla stessa figura convessa • Concava – quando esistono almeno due punti tali che il segmento che li unisce non appartiene per intero alla figura concava I. I. S. "F. lli TESTA" Liceo Scientifico Nicosia(EN) Prof. Vincenzo Lo Presti

DEFINIZIONI Figure congruenti Due figure geometriche si dicono congruenti quando possono essere sovrapposte mediante un movimento rigido. F 2 F 1 I. I. S. "F. lli TESTA" Liceo Scientifico Nicosia(EN) Prof. Vincenzo Lo Presti

DEFINIZIONI Figure congruenti Due figure geometriche si dicono congruenti quando possono essere sovrapposte mediante un movimento rigido. F 1 V I. I. S. "F. lli TESTA" Liceo Scientifico Nicosia(EN) Prof. Vincenzo Lo Presti

DEFINIZIONI Figure congruenti Due figure geometriche si dicono congruenti quando possono essere sovrapposte mediante un movimento rigido. F 1 V I. I. S. "F. lli TESTA" Liceo Scientifico Nicosia(EN) Prof. Vincenzo Lo Presti

DEFINIZIONI Figure congruenti Due figure geometriche si dicono congruenti quando possono essere sovrapposte mediante un movimento rigido. F 1 V I. I. S. "F. lli TESTA" Liceo Scientifico Nicosia(EN) Prof. Vincenzo Lo Presti

DEFINIZIONI Figure congruenti Due figure geometriche si dicono congruenti quando possono essere sovrapposte mediante un movimento rigido. F 1 V I. I. S. "F. lli TESTA" Liceo Scientifico Nicosia(EN) Prof. Vincenzo Lo Presti

DEFINIZIONI Figure congruenti Due figure geometriche si dicono congruenti quando possono essere sovrapposte mediante un movimento rigido. F 1 V I. I. S. "F. lli TESTA" Liceo Scientifico Nicosia(EN) Prof. Vincenzo Lo Presti

DEFINIZIONI Figure congruenti Due figure geometriche si dicono congruenti quando possono essere sovrapposte mediante un movimento rigido. F 1 V I. I. S. "F. lli TESTA" Liceo Scientifico Nicosia(EN) Prof. Vincenzo Lo Presti

DEFINIZIONI Figure congruenti Due figure geometriche si dicono congruenti quando possono essere sovrapposte mediante un movimento rigido. F 1 V I. I. S. "F. lli TESTA" Liceo Scientifico Nicosia(EN) Prof. Vincenzo Lo Presti

DEFINIZIONI Figure congruenti Due figure geometriche si dicono congruenti quando possono essere sovrapposte mediante un movimento rigido. F 1 V I. I. S. "F. lli TESTA" Liceo Scientifico Nicosia(EN) Prof. Vincenzo Lo Presti

DEFINIZIONI Figure congruenti Due figure geometriche si dicono congruenti quando possono essere sovrapposte mediante un movimento rigido. F 1 V I. I. S. "F. lli TESTA" Liceo Scientifico Nicosia(EN) Prof. Vincenzo Lo Presti

DEFINIZIONI Figure congruenti Due figure geometriche si dicono congruenti quando possono essere sovrapposte mediante un movimento rigido. F 1 F 2 V I. I. S. "F. lli TESTA" Liceo Scientifico Nicosia(EN) Prof. Vincenzo Lo Presti

POSTULATO SULLA CONGRUENZA La relazione di congruenza tra figure geometriche è una relazione di equivalenza perchè gode delle proprietà: -Riflessiva – Ogni figura è congruente a se stessa; -Simmetrica – Se F 1 F 2 risulta anche F 2 F 1 -Transitiva – Se F 1 F 2 e F 2 F 3 risulta anche F 1 F 3 I. I. S. "F. lli TESTA" Liceo Scientifico Nicosia(EN) Prof. Vincenzo Lo Presti

POSTULATO DEL TRASPORTO DEI SEGMENTI Dato un segmento AB e una semiretta di origine O esiste ed è unico il punto P sulla semiretta in modo che OP AB B A O P OP AB I. I. S. "F. lli TESTA" Liceo Scientifico Nicosia(EN) Prof. Vincenzo Lo Presti

POSTULATO DEL TRASPORTO DEGLI ANGOLI Dato un angolo ab e un fascio orientato di semirette con origine nella semiretta c, esiste ed è unica la semiretta d tale che cd ab b d c a cd ab O I. I. S. "F. lli TESTA" Liceo Scientifico Nicosia(EN) Prof. Vincenzo Lo Presti

DEFINIZIONI Lunghezza di un segmento Si chiama lunghezza di un segmento la caratteristica comune che hanno un insieme di segmenti congruenti fra loro I. I. S. "F. lli TESTA" Liceo Scientifico Nicosia(EN) Prof. Vincenzo Lo Presti

DEFINIZIONI Ampiezza di un angolo Si chiama ampiezza di un angolo la caratteristica comune che hanno un insieme di angoli congruenti fra loro I. I. S. "F. lli TESTA" Liceo Scientifico Nicosia(EN) Prof. Vincenzo Lo Presti

CONFRONTO TRA SEGMENTI Il confronto tra due segmenti viene eseguito sovrapponendoli l’uno sull’altro in modo da far coincidere un estremo. A C A B D AB<CD A B C AB>CD D B C D AB CD I. I. S. "F. lli TESTA" Liceo Scientifico Nicosia(EN) Prof. Vincenzo Lo Presti

SOMMA DI SEGMENTI Dati due segmenti la loro somma è il segmento che si ottiene disponendoli uno adiacente all’altro A D C B B C A D AB+CD=AD I. I. S. "F. lli TESTA" Liceo Scientifico Nicosia(EN) Prof. Vincenzo Lo Presti

DIFFERENZA DI SEGMENTI Dati due segmenti AB e CD con AB>CD la differenza AB-CD è il segmento DB che si ottiene sovrapponendo i due segmenti facendo coincidere gli estremi A e C. B A C D B AB-CD=DB D I. I. S. "F. lli TESTA" Liceo Scientifico Nicosia(EN) Prof. Vincenzo Lo Presti

MULTIPLO DI UN SEGMENTO Dato un segmento AB e un numero naturale n>1 si chiama multiplo di AB secondo il numero n la somma di n segmenti congruenti con AB. A A B B C n=3 D E I. I. S. "F. lli TESTA" Liceo Scientifico Nicosia(EN) F n. AB = AF Prof. Vincenzo Lo Presti

SOTTOMULTIPLO DI UN SEGMENTO Il seguente postulato (Eudosso-Archimede) ci assicura la divisibilità di un segmento in un numero qualsiasi di segmenti congruenti. Dato un segmento AB e un numero naturale n>1 esiste ed è unico il sottomultiplo di AB rispetto al numero n n=3 A D C B AC = AB/3 A n=5 C D E I. I. S. "F. lli TESTA" Liceo Scientifico Nicosia(EN) F B AC = AB/5 Prof. Vincenzo Lo Presti

PUNTO MEDIO DI UN SEGMENTO Dato un segmento AB esiste ed è unico il punto che divide il segmento in due parti congruenti. Questo punto prende il nome di punto medio. AM MB A Punto medio del segmento AB M I. I. S. "F. lli TESTA" Liceo Scientifico Nicosia(EN) B Prof. Vincenzo Lo Presti

CONFRONTO TRA ANGOLI f d b h e g a c Q P S R d b h b b b f a a c O O ab<cd I. I. S. "F. lli TESTA" Liceo Scientifico Nicosia(EN) a a e ab>ef O a a g ab=gh Prof. Vincenzo Lo Presti

SOMMA TRA ANGOLI b a d b c P d a O c Q I. I. S. "F. lli TESTA" Liceo Scientifico Nicosia(EN) ad= ab+cd Prof. Vincenzo Lo Presti

DIFFERENZA TRA ANGOLI b b a d P d aa c O c Q I. I. S. "F. lli TESTA" Liceo Scientifico Nicosia(EN) db= ab-cd Prof. Vincenzo Lo Presti

MULTIPLO DI UN ANGOLO Dato un angolo ab e un numero naturale n>1 si chiama multiplo di ab secondo il numero n la somma di n angoli congruenti con ab. n=3 ad= 3 ab b c d b a P O I. I. S. "F. lli TESTA" Liceo Scientifico Nicosia(EN) a Prof. Vincenzo Lo Presti

SOTTOMULTIPLO DI UN ANGOLO Il seguente postulato (Eudosso-Archiemde) ci assicura la divisibilità di un angolo in un numero qualsiasi di angoli congruenti. Dato un angolo ab e un numero naturale n>1 esiste ed è unico il sottomultiplo dell’angolo ab rispetto al numero n b n=3 n=5 b c P ac= ab/3 c P a I. I. S. "F. lli TESTA" Liceo Scientifico Nicosia(EN) ac= ab/5 a Prof. Vincenzo Lo Presti

BISETTRICE DI UN ANGOLO Dato un angolo ab esiste ed è unica la semiretta che divide l’angolo in due parti congruenti. Questa semiretta prende il nome di bisettrice. ac cb b c O Bisettrice dell’angolo ab a I. I. S. "F. lli TESTA" Liceo Scientifico Nicosia(EN) Prof. Vincenzo Lo Presti

DEFINIZIONI SUGLI ANGOLI Si chiama angolo retto ciascuno dei due angoli in cui la bisettrice divide l’angolo piatto. c → bisettrice b O Angolo retto a I. I. S. "F. lli TESTA" Liceo Scientifico Nicosia(EN) Prof. Vincenzo Lo Presti

DEFINIZIONI SUGLI ANGOLI Due angoli si dicono supplementari quando la loro somma è un angolo piatto d d b c c P b O Q a I. I. S. "F. lli TESTA" Liceo Scientifico Nicosia(EN) a Se ab+cd = π gli angoli ab e cd si dicono supplementari Prof. Vincenzo Lo Presti

DEFINIZIONI SUGLI ANGOLI Due angoli si dicono complementari quando la loro somma è un angolo retto d d b c c P b O Q a I. I. S. "F. lli TESTA" Liceo Scientifico Nicosia(EN) a Se ab+cd = π/2 gli angoli ab e cd si dicono complementari Prof. Vincenzo Lo Presti

DEFINIZIONI SUGLI ANGOLI Due angoli si dicono esplementari quando la loro somma è un angolo giro b c Se ab+cd = 2π gli angoli ab e cd si dicono esplementari O I. I. S. "F. lli TESTA" Liceo Scientifico Nicosia(EN) a d Prof. Vincenzo Lo Presti

DEFINIZIONI SUGLI ANGOLI Un angolo si dice acuto se è minore dell’angolo retto Un angolo convesso si dice ottuso se è maggiore dell’angolo retto b π/2 Q π/2 b a Se ab< π/2 ab è acuto I. I. S. "F. lli TESTA" Liceo Scientifico Nicosia(EN) a Q Se ab>π/2 ab è ottuso Prof. Vincenzo Lo Presti