GEOMETRIA ESPACIAL Relao de Euler Prof Juliana Schivani

GEOMETRIA ESPACIAL Relação de Euler Profª Juliana Schivani

GEOMETRIA ESPACIAL DIEDROS TRIEDROS POLIEDROS PRISMAS PIR MIDES Geometria espacial – Relação de Euler CORPOS REDONDOS CILINDROS CONE ESFERA Profª Juliana Schivani

DIEDROS Espaço entre dois semiplanos de mesma origem r e não contidos num mesmo plano. Notação: di (r) αβ αrβ Geometria espacial – Relação de Euler Profª Juliana Schivani

TRIEDROS Espaço formado por três semirretas ou arestas partindo do mesmo vértice V. Notação: V(a, b, c) Geometria espacial – Relação de Euler Profª Juliana Schivani

POLIEDROS MUITOS FACES Trata-se de um sólido limitado por 4 ou mais faces poligonais pertencentes a planos diferentes e contém dois a dois uma aresta em comum. Geometria espacial – Relação de Euler Profª Juliana Schivani

POLIEDROS Alguns contra-exemplos de poliedros: Geometria espacial – Relação de Euler Profª Juliana Schivani

POLIEDROS Alguns exemplos de poliedros: Geometria espacial – Relação de Euler Profª Juliana Schivani

Elementos de um poliedro Geometria espacial – Relação de Euler Profª Juliana Schivani

CONVEXO CÔNCAVO POLIEDRO REGULAR Geometria espacial – Relação de Euler IRREGULAR Profª Juliana Schivani

FACES – ARESTAS + VÉRTICES = 2 Geometria espacial – Relação de Euler Profª Juliana Schivani

RELAÇÃO DE EULER Para todo poliedro convexo : FACES + VÉRTICES = ARESTAS + 2 1+4=3+2 3 + 10 = 11 + 2 ABSURDOS!!! Geometria espacial – Relação de Euler Profª Juliana Schivani

CONDIÇÃO DE EXISTÊNCIA DA RELAÇÃO DE EULER F – quantidade de faces V – quantidade de vértices A – quantidade de arestas Fn – quantidade de polígonos com n lados Vn – quantidade de vértices donde partem n arestas Geometria espacial – Relação de Euler Profª Juliana Schivani

CONDIÇÃO DE EXISTÊNCIA DA RELAÇÃO DE EULER F – quantidade de faces V – quantidade de vértices A – quantidade de arestas Fn – quantidade de polígonos com n lados Vn – quantidade de vértices donde partem n arestas Geometria espacial – Relação de Euler Profª Juliana Schivani

CONDIÇÃO DE EXISTÊNCIA DA RELAÇÃO DE EULER F=7 F 3 = 1 F 4 = 5 F 5 = 1 Geometria espacial – Relação de Euler Profª Juliana Schivani

CONDIÇÃO DE EXISTÊNCIA DA RELAÇÃO DE EULER F = 7 F 3 = 1 F 4 = 5 F 5 = 1 V = 9 V 3 = 8 V 4 = 1 A=? Geometria espacial – Relação de Euler Profª Juliana Schivani

CONDIÇÃO DE EXISTÊNCIA DA RELAÇÃO DE EULER 2 A = 3 F 3 + 4 F 4 + 5 F 5 +. . . 2 A = 3 V 3 + 4 V 4 + 5 V 5 +. . . F = 7 F 3 = 1 F 4 = 5 F 5 = 1 V = 9 V 3 = 8 V 4 = 1 A=? 1 triângulo com 3 arestas 5 quadriláteros com 4 arestas cada = (3 x 1) + (4 x 5) + (5 x 1) = 28 Logo, 28/2 = 14 arestas 1 pentágono com 5 arestas 8 vértices saindo 3 arestas em cada 1 vértice saindo 4 arestas em cada Geometria espacial – Relação de Euler = (3 x 8) + (4 x 1) = 28 Logo, 28/2 = 14 arestas Profª Juliana Schivani

CONDIÇÃO DE EXISTÊNCIA DA RELAÇÃO DE EULER 2 A = 3 F 3 + 4 F 4 + 5 F 5 +. . . 2 A = 3 F 3 + 3 F 4 + 3 F 5 +. . . + F 4 + 2 F 5 +. . . 2 A = 3(F 3 + F 4 + F 5)+. . . + F 4 + 2 F 5 +. . . 2 A = 3 F +. . . + F 4 + 2 F 5 +. . . 2 A ≥ 3 F F = 7 F 3 = 1 F 4 = 5 F 5 = 1 V = 9 V 3 = 8 V 4 = 1 A=? 2 A = 3 V 3 + 4 V 4 + 5 V 5 +. . . 2 A ≥ 3 V 1 triângulo com 3 arestas 5 quadriláteros com 4 arestas cada = (3 x 1) + (4 x 5) + (5 x 1) = 28 Logo, 28/2 = 14 arestas 1 pentágono com 5 arestas 8 vértices saindo 3 arestas em cada 1 vértice saindo 4 arestas em cada Geometria espacial – Relação de Euler = (3 x 8) + (4 x 1) = 28 Logo, 28/2 = 14 arestas Profª Juliana Schivani

CONDIÇÃO DE EXISTÊNCIA DA RELAÇÃO DE EULER 2 A = 3 F 3 + 4 F 4 + 5 F 5 +. . . 2 A = 3 F 3 + 3 F 4 + 3 F 5 +. . . + F 4 + 2 F 5 +. . . 2 A = 3(F 3 + F 4 + F 5 +. . . ) + F 4 + 2 F 5 +. . . 2 A = 3 F + F 4 + 2 F 5 +. . . 2 A ≥ 3 F 2 A = 3 V 3 + 4 V 4 + 5 V 5 +. . . 2 A ≥ 3 V V+F–A=2 3 V + 3 F – 3 A = 6 ≤ 3 V + 2 A – 3 A 6 ≤ 3 V – A ≤ 2 A – A 6 + A ≤ 3 V ≤ 2 A 6 + A ≤ 3 F ≤ 2 A Geometria espacial – Relação de Euler Profª Juliana Schivani

Teorema Existe um poliedro convexo com V vértices, A arestas e F faces se, e somente se: Geometria espacial – Relação de Euler Profª Juliana Schivani

Um poliedro convexo de onze faces tem seis faces triangulares e cinco faces quadrangulares. Encontre o número de arestas e vértices desse poliedro. Geometria espacial – Relação de Euler Profª Juliana Schivani

Referências DOLCE, Osvaldo; POMPEO, José Nicolau. Fundamentos da Matemática Elementar. Vol. 10. 5ª ed. Atual.

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