1 Luoghi geometrici di punti a cura di

1 Luoghi geometrici di punti a cura di Elisabetta Boselli – elisabetta. boselli@rcm. inet. it

2 Alcune definizioni DEF: un luogo geometrico (piano) è l’insieme di tutti e soli i punti (di un piano) che godono di una stessa proprietà caratteristica. Esempi di luoghi geometrici: Circonferenza: insieme di tutti e soli i punti del piano aventi la stessa distanza r da un punto fisso detto centro della circonfe-renza C r Cerchio: insieme di tutti e soli i punti del pia-no che hanno da un punto fisso (il centro della cerchio) distanza uguale o minore di una distanza r assegnata C r

Un’importante osservazione DEF: un luogo geometrico L è l’insieme di tutti e soli i punti di un piano che godono di una stessa proprietà caratteristica P. TUTTI = ogni punto che gode della proprietà P appartiene al luogo L equivale a dire: Se un punto gode della proprietà P, allora appartiene al luogo L SOLI = solo i punti che godono della proprietà P appartengono al luogo L equivale a dire: Se un punto non gode della proprietà P, allora non appartiene al luogo L ovvero (affermazione contronomianle): Se un punto appartiene al luogo L, allora gode della proprietà P 3

quindi… … se vogliamo dimostrare che una data figura geometrica F è un luogo geometrico di punti che godono di una certa proprietà P, la dimostrazione si comporrà di due parti: 1 a parte - ogni punto che gode della proprietà P appartiene al luogo, ovvero alla figura F e questo equivale a dover dimostrare che: 1 - Se un punto gode della proprietà P, allora appartiene alla figura F 2 a parte - solo i punti che godono della proprietà P appartengono al luogo considerato, ovvero alla figura F e questo equivale a dover dimostrare che : 2 - Se un punto appartiene alla figura F, allora gode della proprietà P (N. B. si tratta dell’ inversa della 1) 4

L’asse di un segmento come luogo geometrico di punti r DEF: Si dice asse di un segmento la retta perpendi A M B -colare ad esso che lo interseca nel suo punto medio. TEOREMA: L’asse di un segmento è il luogo geometrico dei punti che hanno la medesima distanza dagli estremi del segmento stesso Ovvero: Dato un segmento AB, il suo asse è costituito da tutti e soli i punti P per i quali vale che PA PB Dovremo allora dimostrare che: 1 - Se un punto P ha la stessa distanza da A e da B, allora appartiene all’asse del segmento AB e, viceversa: 2 - Se un punto P appartiene all’asse del segmento AB, allora ha la stessa distanza da A e da B. 5

6 Dimostrazione 1 a parte 1 - Se un punto P ha la stessa distanza da A e da B, allora appartiene all’asse del segmento AB Hp: r è asse di AB (ovv: r AB, r AB M, AM MB ) PA PB r P Th: P r Consideriamo il punto P ed il triangolo ABP è isoscele, poiché PA PB per ipotesi. A M B La mediana PM condotta da P ad AB divide ABP in due triangoli congruenti (da dimostrare applicando il 3° criterio di congruenza): ^ BMP, ^ e quindi i due angoli sono retti, in particolare vale che AMP visto che sommati danno un angolo piatto. La mediana PM è allora perpendicolare ad AB e coincide quindi con l’asse del segmento AB.

7 Dimostrazione 2 a parte 2 - Se un punto P appartiene all’asse del segmento AB, allora ha la stessa distanza da A e da B. Hp: r è asse di AB (ovv. : r AB, r AB M, AM MB ) P r Th: PA PB i triangoli AMP e BMP: Consideriamo AM MB (M è punto medio di AB per ipotesi) ^ ^ AMP BMP (entrambi retti per l’ipotesi che r AB) PM PM (lato in comune) A M B I due triangoli sono quindi congruenti per il 1° criterio di congruenza per i triangoli; in particolare si avrà che PA PB

La bisettrice di un angolo come luogo geometrico di punti DEF: Si dice bisettrice di un angolo convesso la semiretta che esce dal suo vertice che lo divide in due parti congruenti. 8 A P O B Vale il seguente teorema: TEOREMA: La bisettrice di un angolo è il luogo geometrico dei punti che hanno la medesima distanza dai lati dell’angolo. Ovvero: Dato un angolo AÔB, la sua bisettrice è costituita da tutti e soli i punti P per i quali vale che la distanza di P dal lato OA sia uguale alla distanza dello stesso punto P dal lato OB