GEOMETRIA DESCRITIVA A 11 Ano Paralelismo Resumo antnio

GEOMETRIA DESCRITIVA A 11. º Ano Paralelismo Resumo © antónio de campos, 2009.

recta – recta, geral: Rectas paralelas e complanares, sem ponto em comum, via os paralelos das suas projecções frontal e horizontal.

Uma recta oblíqua r é definida pelos pontos A (1; 2; 3) e B (2; 3; 5). Desenha as projecções de uma recta paralela à recta r e passando pelo ponto C (-1; 3; 2) r 2 y≡ z s 2 B 2 A 2 C 2 x A 1 B 1 r 1 s 1 C 1

recta de perfil – recta de perfil: Rectas paralelas e complanares, sem ponto em comum, via rectas auxiliares.

Uma recta de perfil p definida pelos pontos A (1; 1; 5) e B (4; 2). Desenha as projecções de uma recta de perfil p’, paralela à recta p e passando pelo ponto M (-2; 3; 4). y≡ z p’ 1 ≡ p’ 2 p 1 ≡ p 2 r 2 A 2 s 2 M 2 r 1 B 2 N 2 x A recta auxiliar s paralela à recta r (derivada dos pontos A e M conhecidos e concorrentes com p e p’) localiza o ponto N, definindo a recta de perfil p’ paralela à recta de perfil p. s 1 A 1 M 1 B 1 N 1

recta – plano, geral: Recta, sem ser parte do plano, paralela a uma recta do plano.

Uma recta r é definida pelos pontos A (-2; 1; 3) e B (-5; 4; 1). É dado um ponto C com as seguintes coordenadas (1; 2; 2). Determina os traços de um plano α, oblíquo, contendo o ponto C e paralelo à recta r, sabendo que fα faz, com o eixo x, um ângulo de 60º (a. d. ). r 2 s 1 y≡ z fα F 2 A 2 C 2 B 2 H 2 x F 1 hα A 1 C 1 r 1 B 1 H 1

recta – bissector β 1, 3: Recta não contida no bissector e paralela a uma recta do bissector, via recta com projecções simétricas.

Um plano de rampa, ρ, têm 3 cm de cota e 4 cm de afastamento. Uma recta oblíqua, a, é paralela ao β 1, 3 e contém o ponto P (3; 2). A recta a faz a sua projecção horizontal com o eixo x num ângulo de 50º (a. d. ). Determina as projecções do ponto de intersecção da recta a com o plano ρ. fα a 2 fρ F 2 I 2 a 1 ≡ hα ≡ i 1 x P 2 H 2 F 1 i 2 I 1 hρ P 1 H 1 A projecção frontal da recta a tem que ter o mesmo ângulo de 50º, pois é paralela ao β 1, 3. Para obter o ponto I (ponto de intersecção da recta a com o plano ρ), recorre-se ao método de intersecções entre rectas e planos: 1. conduzir, pela recta, um plano auxiliar (o plano α é um plano vertical que contém a recta); 2. determinar a recta de intersecção dos dois planos (a recta i, definida pelos seus traços, é a recta de intersecção do plano α com o plano ρ); 3. o ponto de intersecção das duas rectas (recta a e recta i) é o ponto I.

recta – bissector β 2, 4: Recta não contida no bissector e paralela a uma recta do bissector, via recta com projecções paralelas.

Um plano de rampa, ρ, têm 3 cm de cota e 4 cm de afastamento. Uma recta oblíqua, a, é paralela ao β 1, 3 e contém o ponto P (3; 2). A recta a faz a sua projecção horizontal com o eixo x num ângulo de 50º (a. d. ). Determina as projecções do ponto de intersecção da recta a com o plano ρ. fα a 2 fρ F 2 I 2 a 1 ≡ hα ≡ i 1 x P 2 H 2 F 1 i 2 I 1 hρ P 1 H 1 A projecção frontal da recta a tem que ter o mesmo ângulo de 50º, pois é paralela ao β 1, 3. Para obter o ponto I (ponto de intersecção da recta a com o plano ρ), recorre-se ao método de intersecções entre rectas e planos: 1. conduzir, pela recta, um plano auxiliar (o plano α é um plano vertical que contém a recta); 2. determinar a recta de intersecção dos dois planos (a recta i, definida pelos seus traços, é a recta de intersecção do plano α com o plano ρ); 3. o ponto de intersecção das duas rectas (recta a e recta i) é o ponto I.

recta de perfil – bissector β 1, 3: Recta não contida no bissector, e paralela a uma recta de perfil do bissector, via rectas auxiliares.

Uma recta h, horizontal (de nível), com 2 cm de cota, faz com o Plano Frontal de Projecção, um ângulo de 45º (a. e. ). Uma recta de perfil p é paralela ao β 1, 3 e concorrente com a recta h num ponto com 4 cm de afastamento. Determina os traços do plano θ definido pelas duas rectas. p’ 1 ≡ p’ 2 Para se conseguir ver a situação de paralelismo, recorre-se a uma recta de perfil p’, contido no β 1, 3. Localiza-se dois pontos auxiliares da recta p’ e do β 1, 3, A e B. Depois vêm as rectas r e s, paralelas entre si, obtendo um segundo ponto da recta p, o ponto S. p 1 ≡ p 2 s 2 B 2 S 2 h 2 r 2 Nota que os traços de θ ficam coincidentes. F 2 F’ 1 A partir desse raciocínio, o exercício resultou na determinação dos traços de um plano definido por duas rectas horizontais paralelas – fθ fica definido por F e F’ (os traços frontais das rectas h e h’) e hθ é concorrente com fθ no eixo X e paralelo a h e h’ (rectas horizontais de um plano são paralelas entre si). h’ 2 F 1 x B 1 F’ 2 R 2 A 2 Para determinar os traços do plano θ, recorre-se a uma outra recta horizontal (de nível), h’, paralela a h e concorrente com a recta p em S. fθ ≡ hθ r 1 s 1 R 1 h’ 1 S 1 Uma outra forma de resolver o problema seria através do rebatimento do plano de perfil que contém a recta p, o que nos permitiria obter em rebatimento, e de forma simultânea, a recta p, paralela ao β 1 , 3, e os traços de p nos planos de projecção.

recta de perfil – bissector β 2, 4: Recta não contida no bissector, e paralela a uma recta do bissector, via rebatimento.

Uma recta de perfil p é paralela ao β 2, 4 e contém o ponto A (2; 5). Determina os traços a recta p nos planos de projecção. p 1 ≡ p 2 ≡ hπ ≡ fπ ≡ i 1 ≡ i 2 ≡ e 2 ≡ fπr Fr ≡ F 2 Ar pr (e 1) ≡ H 2 ≡ F 1 x ≡ hπr Hr A solução passa pela utilização de um plano auxiliar de perfil π que contém a recta p. A 1 ir H 1 Depois uma recta auxiliar de perfil passante i, pertencente ao β 2, 4 , rebatida, permite desenhar a recta p rebatida, para depois obter as projecções de F e H da recta p.

plano – plano, geral: Planos com mesma orientação e não coincidentes, com duas rectas concorrentes de um plano paralelas a duas rectas concorrentes de outro plano, via os traços dos planos (frontal e horizontal).

Os traços de um plano oblíquo α são concorrentes num ponto com – 2 de abcissa, que fazem com o eixo x ângulos de 60º (a. d. ) e 30º (a. e. ), respectivamente em relação ao fα e hα. Determina os traços de um plano δ, paralelo ao plano α e passando pelo ponto P (3; 2; 3). y≡ z fα fδ h 2 P 2 x F 2 F 1 hδ h 1 P 1 hα A solução passa pela utilização de uma recta auxiliar horizontal h, passando pelo ponto P, e portanto pertencente ao plano δ.

plano de rampa - plano de rampa: Planos com mesma orientação e não coincidentes, com uma recta de um plano paralela a outra de outro plano, via rectas auxiliares.

Os traços frontal e horizontal do plano de rampa ρ, têm, respectivamente, 2 cm de cota e 3 cm de afastamento. Os traços frontal e horizontal do plano de rampa σ, têm, respectivamente, 4 cm de cota e 6 cm de afastamento. Determina se os dois planos de rampa são paralelos entre si. fσ F’ 2 s 2 fρ F 2 H’ 2 H 2 x F 1 r 2 hρ r 1 H 1 s 1 hσ H’ 1 F’ 1