GEOMETRIA DESCRITIVA A 10 Ano Slidos I Poliedros

GEOMETRIA DESCRITIVA A 10. º Ano Sólidos I - Poliedros © antónio de campos, 2010

GENERALIDADES - Sólidos O sólido geométrico é uma forma limitada porções de superfícies, planas e (ou) curvas.

Os poliedros são sólidos geométricos limitados porções de superfícies planas poligonais. Quando as faces do poliedro são todas iguais, o poliedro é considerado regular.

Os prismas são sólidos com duas bases poligonais e iguais. As faces laterais, se o prisma é recto, poderão ser rectângulos ou quadrados. Se o prisma é oblíquo, as faces poderão ser paralelogramos ou losangos. Perspectiva em baixo no lado esquerdo de um prisma pentagonal regular recto. No lado direito, a perspectiva de um prisma pentagonal regular oblíquo.

Uma pirâmide é um poliedro, com uma base e um vértice. A pirâmide toma o nome do polígono da base. Perspectiva em baixo no lado esquerdo de uma pirâmide quadrangular regular. No lado direito, a perspectiva de uma pirâmide quadrangular.

O contorno aparente de um sólido é a linha fechada que separa as partes do sólido que são visíveis das partes que são invisíveis. xz Na projecção de um sólido numa representação bidimensional de uma forma tridimensional, é possível distinguir as partes visíveis das partes invisíveis. Assim sendo, a linha quebrada fechada [A 1 D 1 C 1 H 1 G 1 F 1] constitui o limite exterior da projecção, é o contorno aparente horizontal do sólido. O vértice E é o vértice com menor cota, ficando oculto pela massa do sólido, sendo invisível, bem como todas as arestas que nele convergem na projecção horizontal. O vértice F é o vértice com menor afastamento, ficando oculto pela massa do sólido, sendo invisível, bem como todas as arestas que nele convergem na projecção frontal. G 2 B 2 C 2 A 2 D 2 H 2 G F 2 F E 2 A B H E C D F 1 x A 1 D 1 E 1 G 1 H 1 B 1 C 1 xy

REPRESENTAÇÃO DE POLIEDROS COM BASES HORIZONTAIS Pretendem-se as projecções de uma pirâmide regular situada no 1. º diedro, com 4 cm de altura, e de que o quadrado [ABCD] é a base. O quadrado [ABCD] está contido num plano horizontal ν com 1 cm de cota. V 2 (fυ) A 2 D 2 O 2 B 2 C 2 x B 1 A 1 O 1 ≡ V 1 C 1 D 1

REPRESENTAÇÃO DE POLIEDROS COM BASES FRONTAIS Pretendem-se as projecções de um cubo situada no 1. º diedro, e de que o quadrado [ABCD] é uma das faces do cubo. O quadrado [ABCD] está contido no Plano Frontal de Projecção. A face [EFGH] do cubo, oposta ao quadrado [ABCD] está contida num plano frontal φ, com 4 cm de afastamento. D 2 ≡ H 2 A 2 ≡ E 2 C 2 ≡ G 2 B 2 ≡ F 2 B 1 A 1 x (hφ) E 1 F 1 C 1 D 1 H 1 G 1

REPRESENTAÇÃO DE POLIEDROS COM BASES DE PERFIL fπ1 ≡ hπ1 Pretendem-se as projecções de um prisma oblíquo situada no 1. º diedro, e de que o quadrado [ABCD] é a base mais à direta, e o quadrado [EFGH] a base mais 5 cm à esquerda. O quadrado [ABCD] está contido num plano de perfil π. A direcção do eixo do prisma é obtida através das suas projecções. E 2 fπ ≡ hπ A 2 H 2 F 2 D 2 B 2 G 2 C 2 x H 1 G 1 E 1 F 1 D 1 C 1 A 1 B 1

São dados dois pontos, A (2; 1; 2) e B (-2; 2; 2). A e B são vértices de um triângulo equilátero [ABC], contido num plano horizontal ν e situado no 1. º diedro. O triângulo [ABC] é a base de uma pirâmide triangular regular com 6 cm de altura e situada no 1. º diedro. Desenha as projecções da pirâmide. V 2 (fυ) x A 2 y≡ z C 2 O 2 B 2 A 1 B 1 O 1 ≡ V 1 C 1

Um prisma hexagonal regular, com bases frontais e situado no 1. º diedro, tem o ponto O (6; 4) como o centro da circunferência que circunscrita o hexágono da base com maior afastamento do prisma. Um lado do hexágono mede 3 cm. Duas faces laterais do prisma estão contidas em planos horizontais. O prisma tem 5 cm de altura. Desenha as projecções do prisma. B 2 ≡ B’ 2 C 2 ≡ C’ 2 O 2 ≡ O’ 2 A 2 ≡ A’ 2 F 2 ≡ F’ 2 D 2 ≡ D’ 2 E 2 ≡ E’ 2 x (hφ1) A’ 1 B’ 1 ≡ F’ 1 O’ 1 (hφ) A 1 B 1 ≡ F 1 C’ 1 ≡ E’ 1 D’ 1 O 1 C 1 ≡ E 1 D 1

Um prisma quadrangular regular, com bases de perfil e situado no 1. º diedro, tem o quadrado [ABCD] como base mais à esquerda. A (1; 4) é o extremo de menor afastamento da diagonal [AC], que é de topo e mede 5 cm. O prisma tem 8 cm de altura. Desenha as projecções do prisma. fπ ≡ hπ B 2 fπ1 ≡ hπ1 B’ 2 A 2 ≡ C 2 ≡ O 2 D 2 A’ 2 ≡ C’ 2≡ O’ 2 D’ 2 x A 1 A’ 1 B 1≡ D 1 ≡ O 1 C 1 B’ 1 ≡ D’ 1≡ O’ 1 C’ 1

Um prisma quadrangular oblíquo, situado no 1. º diedro, tem o quadrado [ABCD] como a base de menor afastamento, contido num plano frontal φ. A (1; 1; 2) e C (-3; 1; 5) são dois vértices opostos do quadrado [ABCD]. O prisma tem 5 cm de altura. As projecções do eixo do prisma fazem com o eixo x, ângulos de 60º (a. e. ) e 45º (a. e. ), respectivamente as projecções horizontal e frontal. Desenha as projecções do prisma. y≡ z e 2 B’ 2 C’ 2 O’ 2 B 2 A’ 2 C 2 D’ 2 O 2 A 2 x A 1 (hφ) O 1 B 1 e 1 A’ 1 (hφ1) D 2 B’ 1 O’ 1 D’ 1 C’ 1 D 1 C 1

Uma pirâmide pentagonal oblíqua, situada no 1. º diedro, tem o pentágono regular [ABCDE] como base, contido num plano horizontal ν, com 7 cm de cota. A circunferência circunscrita ao pentágono é tangente ao Plano Frontal de Projecção; e o seu centro, o ponto Q, tem 4 cm de afastamento e – 2 cm de abcissa. O vértice A tem afastamento nulo e – 2 cm de abcissa, e o B é o vértice mais à esquerda do pentágono. O ponto V (2; 5; 1) é o vértice da pirâmide. Desenha as projecções da pirâmide. y≡ z (fυ) B 2 C 2 Q 2 ≡ A 2 D 2 E 2 V 2 x A 1 B 1 E 1 Q 1 V 1 C 1 D 1

REPRESENTAÇÃO DE LINHAS E PONTOS PERTENCENTES ÀS FACES/ARESTAS DE POLIEDROS Uma pirâmide quadrangular regular situada no 1. º diedro, com base num plano horizontal ν. M é um ponto qualquer da directriz (que é o quadrado). A geratriz g (como é qualquer geratriz) é definida pelo ponto M (ponto da directriz) e pelo vértice V (vértice da superfície). g 2 V 2 (fυ) A 2 D 2 M 2 O 2 B 2 C 2 x B 1 A 1 O 1 ≡ V 1 g 1 D 1 M 1 C 1

Uma pirâmide quadrangular regular situada no 1. º diedro, com base num plano horizontal ν. Para localizar um segmento de recta horizontal [RS] com 2 cm de cota, contido na face [CDV] da pirâmide, é utilizada uma recta horizontal h. V 2 h 2 (fυ) R 2 D 2 A 2 S 2 O 2 B 2 C 2 x B 1 A 1 O 1 ≡ V 1 h 1 D 1 R 1 S 1 C 1

Uma pirâmide quadrangular regular situada no 1. º diedro, com base num plano horizontal ν. A determinação de um ponto P, que pertence à superfície da pirâmide, mas não está contido em nenhuma aresta do sólido, através de uma geratriz g, definida pelo ponto F e o vértice. g 2 V 2 P 2 (fυ) A 2 D 2 O 2 F 2 B 2 C 2 x B 1 A 1 O 1 ≡ V 1 P 1 g 1 D 1 F 1 C 1

DETERMINAÇÃO DOS TRAÇOS DE PLANOS QUE CONTÉM FACES DE POLIEDROS Uma pirâmide quadrangular regular situada no 1. º diedro, com base num plano horizontal ν. Para determinar os traços do plano que contém a face [BCV] da pirâmide, é necessário desenhar as projecções de duas rectas do plano, que neste caso serão as rectas horizontais h (a recta que contém o segmento de recta [BC]) e h’ (uma recta paralela a h e passando por V). fα h’ 2 (fυ) ≡ h 2 F’ 2 A 2 D 2 V 2 O 2 F’ 1 x F 2 B 2 C 2 F 1 B 1 A 1 O 1 ≡ V 1 C 1 D 1 h’ 1 hα

Uma pirâmide triangular regular com 6 cm de altura é situada no 1. º diedro. Os pontos, A (3; 4; 7) e B (-1; 6; 7) são dois vértices de um triângulo equilátero [ABC] que é a base da pirâmide, contido num plano horizontal ν. O vértice C é o vértice de menor afastamento da base. O vértice da pirâmide é invisível em projecção horizontal. Desenha as projecções de um segmento de recta horizontal [RS], contido na face [ABV] da pirâmide, com 4 cm de cota, com R situado na aresta [AV] e S na aresta [BV]. Desenha as projecções de um ponto T, com 4 cm de cota e 4, 5 cm de afastamento, pertencente à superfície da pirâmide e contido na face [ABV]. Analisa a visibilidade do ponto T em ambas as projecções. y≡ z (fυ) A 2 R 2 h 2 O 2 C 2 B 2 T 2 S 2 V 2 x C 1 A 1 R 1 O 1 ≡ V 1 T 1 S 1 B 1 h 1 Tal como o segmento de recta [RS], o ponto T está visível na projecção frontal mas invisível na projecção horizontal,

Uma pirâmide triangular regular com 6 cm de altura é situada no 1. º diedro. Os pontos, A (3; 4; 7) e B (-1; 6; 7) são dois vértices de um triângulo equilátero [ABC] que é a base da pirâmide, contido num plano horizontal ν. O vértice C é o vértice de menor afastamento da base. O vértice da pirâmide é invisível em projecção horizontal. Determina os traços do plano que contém a face [ABV] da pirâmide. y≡ z fα F 2 (fυ) ≡ h 2 A 2 F’ 2 x F 1 h’ 2 C 2 B 2 O 2 V 2 F’ 1 C 1 A 1 O 1 ≡ V 1 hα B 1 h’ 1 h 1