GEOMETRIA DESCRITIVA A 11 Ano Paralelismo entre Planos

GEOMETRIA DESCRITIVA A 11. º Ano Paralelismo entre Planos © antónio de campos, 2009

O paralelismo entre dois planos ocorre quando dois planos têm a mesma orientação. Dois planos não paralelos têm orientações diferentes; são secantes, intersectando-se numa recta. Dois planos são paralelos entre si, se duas rectas concorrentes de um plano forem paralelas a duas rectas concorrentes de outro plano.

Em geral (exceptuando os planos de rampa) os traços do plano (frontal e horizontal) são duas rectas concorrentes do plano num ponto do eixo x. Os planos α e δ (em baixo) são paralelos entre si, pois duas rectas concorrentes do plano α (fα e hα) são paralelas a duas rectas concorrentes do plano δ (fδ e hδ).

Um plano oblíquo α definido pelos seus traços. Um ponto P exterior ao plano. Para obter os traços de um plano δ, paralelo ao plano α , passando pelo ponto P.

A solução passa por conduzir pelo ponto P, uma recta que pertença ao plano δ. A opção é por recta horizontal (de nível) h, como recta auxiliar. Podia ter sido uma recta frontal (de frente), paralela a fα.

Os traços de um plano oblíquo α são concorrentes num ponto com – 2 de abcissa, que fazem com o eixo x ângulos de 60º (a. d. ) e 30º (a. e. ), respectivamente em relação ao fα e hα. Determina os traços de um plano δ, paralelo ao plano α e passando pelo ponto P (3; 2; 3). y≡ z fα fδ h 2 P 2 x F 2 F 1 hδ h 1 P 1 hα A solução passa pela utilização de uma recta auxiliar horizontal h, passando pelo ponto P, e portanto pertencente ao plano δ.

Um plano α, vertical, corta o eixo x num ponto com – 3 de abcissa, e faz um diedro de 60º (a. e. ) com o Plano Frontal de Projecção. Determina os traços de um plano γ, passando pelo ponto P (4; 2; 5) e paralelo ao plano α. y≡ z P 2 fγ fα x P 1 hγ hα Por se tratar de planos projectantes horizontais, basta passar hγ por P 1, pois um plano projectante horizontal projecta todas as suas rectas e pontos no seu traço horizontal.

No caso dos planos de rampa, como os traços do plano (frontal e horizontal) não são duas rectas concorrentes, é necessário estabelecer o paralelismo dos dois planos entre si, através de uma recta de um plano e outra de outro plano. Se essas rectas forem paralelas, então os planos também o são.

As duas rectas auxiliares a e b, utilizadas para determinar o paralelismo dos dois planos, não são paralelas, o que significa que os dois planos não são paralelos.

Pretendem-se os traços de um plano σ, que é paralelo a um plano ρ, de rampa, e contém o ponto P.

Mais uma vez, o recurso de rectas dos planos para ajudar a determinar o paralelismo entre os planos. A partir da recta r do plano ρ, obtem-se os traços paralelos da recta s, para depois obter os pontos H e P para definir os traços do plano de rampa σ.

Os traços frontal e horizontal do plano de rampa ρ, têm, respectivamente, 2 cm de cota e 3 cm de afastamento. Os traços frontal e horizontal do plano de rampa σ, têm, respectivamente, 4 cm de cota e 6 cm de afastamento. Determina se os dois planos de rampa são paralelos entre si. fσ F’ 2 s 2 fρ F 2 H’ 2 H 2 x F 1 r 2 hρ r 1 H 1 s 1 hσ H’ 1 F’ 1

Um plano passante σ, definido pelo eixo x e por um ponto P (2; 5; 3) é paralelo a um plano de rampa ρ, plano que contém o ponto A (-3; 4; 5). Determina os traços do plano ρ. f ρ y≡ z A 2 r 2 s 2 P 2 F 2 x ≡ fσ ≡ hσ H 1 F 1 s 1 r 1 hρ A solução passa pela utilização de uma recta auxiliar passante r, passando pelo ponto P, e portanto pertencente ao plano σ. P 1 A 1 H 2