SLIDOS GEOMTRICOS E POLIEDROS SLIDOS GEOMETRICOS POLIEDROS RELAO
![SÓLIDOS GEOMÉTRICOS E POLIEDROS SÓLIDOS GEOMETRICOS POLIEDROS RELAÇÃO DE EULER SOMA DOS NGULOS DAS SÓLIDOS GEOMÉTRICOS E POLIEDROS SÓLIDOS GEOMETRICOS POLIEDROS RELAÇÃO DE EULER SOMA DOS NGULOS DAS](https://slidetodoc.com/presentation_image/2794d3b3b230e39cba529661c63d4e2d/image-1.jpg)
![SÓLIDOS GEOMÉTRICOS Introdução Grande parte dos objetos que nos são familiares tem formas geométricas SÓLIDOS GEOMÉTRICOS Introdução Grande parte dos objetos que nos são familiares tem formas geométricas](https://slidetodoc.com/presentation_image/2794d3b3b230e39cba529661c63d4e2d/image-2.jpg)
![São objetos que lembram corpos redondos: São objetos que lembram corpos redondos:](https://slidetodoc.com/presentation_image/2794d3b3b230e39cba529661c63d4e2d/image-3.jpg)
![POLIEDRO Denomina-se Poliedros o sólido geométrico limitado por polígonos planos que têm, dois a POLIEDRO Denomina-se Poliedros o sólido geométrico limitado por polígonos planos que têm, dois a](https://slidetodoc.com/presentation_image/2794d3b3b230e39cba529661c63d4e2d/image-4.jpg)
![Poliedro Convexo: Quando o segmento da reta que ligar dois pontos quaisquer do poliedro Poliedro Convexo: Quando o segmento da reta que ligar dois pontos quaisquer do poliedro](https://slidetodoc.com/presentation_image/2794d3b3b230e39cba529661c63d4e2d/image-5.jpg)
![Observe alguns poliedros: NÚMERO DE FACES NOME DO POLIEDRO 4 TETRAEDRO 5 PENTAEDRO Observe alguns poliedros: NÚMERO DE FACES NOME DO POLIEDRO 4 TETRAEDRO 5 PENTAEDRO](https://slidetodoc.com/presentation_image/2794d3b3b230e39cba529661c63d4e2d/image-6.jpg)
![Poliedro Não- Convexo: Observe a figura abaixo: x 1 x 2 Nela vemos que Poliedro Não- Convexo: Observe a figura abaixo: x 1 x 2 Nela vemos que](https://slidetodoc.com/presentation_image/2794d3b3b230e39cba529661c63d4e2d/image-7.jpg)
![Fórmula de Euler O autor desta façanha é Leonardo Euler (lê-se Óiler), grande Fórmula de Euler O autor desta façanha é Leonardo Euler (lê-se Óiler), grande](https://slidetodoc.com/presentation_image/2794d3b3b230e39cba529661c63d4e2d/image-8.jpg)
![SOMA DOS NGULOS DAS FACES Soma dos ngulos das Faces A soma dos ângulos SOMA DOS NGULOS DAS FACES Soma dos ngulos das Faces A soma dos ângulos](https://slidetodoc.com/presentation_image/2794d3b3b230e39cba529661c63d4e2d/image-9.jpg)
![Poliedros Regulares ou Platônicos Os cinco tipos possíveis de poliedros regulares são o tetraedro, Poliedros Regulares ou Platônicos Os cinco tipos possíveis de poliedros regulares são o tetraedro,](https://slidetodoc.com/presentation_image/2794d3b3b230e39cba529661c63d4e2d/image-10.jpg)
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![DEFINIÇÃO Denomina-se poliedro regular ou de de Platão[1] ao poliedro convexo que satisfaz DEFINIÇÃO Denomina-se poliedro regular ou de de Platão[1] ao poliedro convexo que satisfaz](https://slidetodoc.com/presentation_image/2794d3b3b230e39cba529661c63d4e2d/image-12.jpg)
![TETRAEDRO REGULAR HEXAEDRO REGULAR OCTAEDRO REGULAR V=4; F=4 e A = 6 V=8; TETRAEDRO REGULAR HEXAEDRO REGULAR OCTAEDRO REGULAR V=4; F=4 e A = 6 V=8;](https://slidetodoc.com/presentation_image/2794d3b3b230e39cba529661c63d4e2d/image-13.jpg)
![](https://slidetodoc.com/presentation_image/2794d3b3b230e39cba529661c63d4e2d/image-14.jpg)
![ATIVIDADES 1) Determinar o número de vértices de um poliedro convexo que tem 2 ATIVIDADES 1) Determinar o número de vértices de um poliedro convexo que tem 2](https://slidetodoc.com/presentation_image/2794d3b3b230e39cba529661c63d4e2d/image-15.jpg)
![ATIVIDADES 6) A soma dos ângulos das faces de um poliedro convexo é 1080º. ATIVIDADES 6) A soma dos ângulos das faces de um poliedro convexo é 1080º.](https://slidetodoc.com/presentation_image/2794d3b3b230e39cba529661c63d4e2d/image-16.jpg)
![AULA ELABORADA PELO: n PROF. LUIZ CARLOS S 0 UZA SANTOS É SHOW AULA ELABORADA PELO: n PROF. LUIZ CARLOS S 0 UZA SANTOS É SHOW](https://slidetodoc.com/presentation_image/2794d3b3b230e39cba529661c63d4e2d/image-17.jpg)
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SÓLIDOS GEOMÉTRICOS E POLIEDROS SÓLIDOS GEOMETRICOS POLIEDROS RELAÇÃO DE EULER SOMA DOS NGULOS DAS FACES DE UM POLIEDRO CONVEXO POLIEDROS REGULARES OU PLATÔNICOS ATIVIDADES
![SÓLIDOS GEOMÉTRICOS Introdução Grande parte dos objetos que nos são familiares tem formas geométricas SÓLIDOS GEOMÉTRICOS Introdução Grande parte dos objetos que nos são familiares tem formas geométricas](https://slidetodoc.com/presentation_image/2794d3b3b230e39cba529661c63d4e2d/image-2.jpg)
SÓLIDOS GEOMÉTRICOS Introdução Grande parte dos objetos que nos são familiares tem formas geométricas definidas; são denominados sólidos geométricos. São objetos que lembram sólidos geométricos:
![São objetos que lembram corpos redondos São objetos que lembram corpos redondos:](https://slidetodoc.com/presentation_image/2794d3b3b230e39cba529661c63d4e2d/image-3.jpg)
São objetos que lembram corpos redondos:
![POLIEDRO Denominase Poliedros o sólido geométrico limitado por polígonos planos que têm dois a POLIEDRO Denomina-se Poliedros o sólido geométrico limitado por polígonos planos que têm, dois a](https://slidetodoc.com/presentation_image/2794d3b3b230e39cba529661c63d4e2d/image-4.jpg)
POLIEDRO Denomina-se Poliedros o sólido geométrico limitado por polígonos planos que têm, dois a dois, um lado comum. Elementos de um poliedro: Vértice Face Aresta Face: Região poligonal que limita o poliedro. Aresta: Interseção de duas faces. Vértice: Interseção de 3 ou mais arestas. Obs: Um poliedro possui no mínimo 4 faces.
![Poliedro Convexo Quando o segmento da reta que ligar dois pontos quaisquer do poliedro Poliedro Convexo: Quando o segmento da reta que ligar dois pontos quaisquer do poliedro](https://slidetodoc.com/presentation_image/2794d3b3b230e39cba529661c63d4e2d/image-5.jpg)
Poliedro Convexo: Quando o segmento da reta que ligar dois pontos quaisquer do poliedro estiver contido no poliedro ele é chamado Poliedro Convexo. x 2 x 1 De acordo com o número de faces , os poliedros convexos possuem nomes especiais. Veja a tabela a seguir:
![Observe alguns poliedros NÚMERO DE FACES NOME DO POLIEDRO 4 TETRAEDRO 5 PENTAEDRO Observe alguns poliedros: NÚMERO DE FACES NOME DO POLIEDRO 4 TETRAEDRO 5 PENTAEDRO](https://slidetodoc.com/presentation_image/2794d3b3b230e39cba529661c63d4e2d/image-6.jpg)
Observe alguns poliedros: NÚMERO DE FACES NOME DO POLIEDRO 4 TETRAEDRO 5 PENTAEDRO 6 HEXAEDRO 7 HEPTAEDRO 8 OCTAEDRO 12 DODECAEDRO 20 ICOSAEDRO
![Poliedro Não Convexo Observe a figura abaixo x 1 x 2 Nela vemos que Poliedro Não- Convexo: Observe a figura abaixo: x 1 x 2 Nela vemos que](https://slidetodoc.com/presentation_image/2794d3b3b230e39cba529661c63d4e2d/image-7.jpg)
Poliedro Não- Convexo: Observe a figura abaixo: x 1 x 2 Nela vemos que existem pontos X 1 e X 2 do poliedro tais que o segmento de reta X 1 X 2 não está contido no poliedro, ou seja, uma parte do segmento “esta fora” do poliedro. De acordo com o seu n. de faces um poliedro pode ser classificado em Tetraedro(4 faces), Pentaedro(5 faces), Hexaedro(6 faces) e assim por diante. A relação que veremos a seguir estabelece correspondência entre o número de vértices, o número de arestas e o número de faces de um poliedro convexo.
![Fórmula de Euler O autor desta façanha é Leonardo Euler lêse Óiler grande Fórmula de Euler O autor desta façanha é Leonardo Euler (lê-se Óiler), grande](https://slidetodoc.com/presentation_image/2794d3b3b230e39cba529661c63d4e2d/image-8.jpg)
Fórmula de Euler O autor desta façanha é Leonardo Euler (lê-se Óiler), grande matemático suíço (1707 - 1783), que produziu trabalhos em diversos ramos da ciência, como física, astronomia, biologia, matemática etc. Tinha uma memória inigualável e uma incrível destreza com a matemática. Euler escrevia seus trabalhos com a mesma facilidade com que um escritor redige uma carta. Nem a cegueira total que o afligiu durante os últimos dezessete anos de vida modificou isso; parece até que a cegueira o ajudou a desvendar mais ainda o seu mundo interior. Em qualquer poliedro convexo vale a seguinte relação: V-A+F = 2 Onde V= nº de vértices A= nº de arestas F= nº de faces Faremos apenas a verificação dessa relação através de um exemplo, no qual contaremos os vértices, as arestas e as faces de um poliedro. V=8 F =6 A = 12 V – A + F = 2 8 – 12 + 6 = 2
![SOMA DOS NGULOS DAS FACES Soma dos ngulos das Faces A soma dos ângulos SOMA DOS NGULOS DAS FACES Soma dos ngulos das Faces A soma dos ângulos](https://slidetodoc.com/presentation_image/2794d3b3b230e39cba529661c63d4e2d/image-9.jpg)
SOMA DOS NGULOS DAS FACES Soma dos ngulos das Faces A soma dos ângulos de todas as faces de um poliedro convexo é: S = (V-2). 360º onde V é o número de vértices. Demonstração: V, A e F são nesta ordem o número de vértices, arestas e faces do poliedro. Sejam n 1, n 2, n 3, . . . , n. F os números de lados das faces 1, 2, 3, . . . , F, ordenadamente. A soma dos ângulos de uma face é (n-2). 180º Para toda as faces temos: S = (n 1 -2). 180º + (n 2 -2). 180º + (n 3 -2). 180º +. . . + (n. F-2). 180º S = n 1180º - 360º + n 2180º - 360º + n 3180º - 360º +. . . + n. F 180º - 360º S = (n 1 + n 2 + n 3 +. . . +n. F). 180º - F. 360º mas n 1 + n 2 + n 3 +. . . +n. F = 2 A, logo S = 2 A. 180º - F. 360º S = 360º. A – F. 360º S = (A – F). 360º Da relação de Euler, temos V-A+F = 2 V-2 = A – F S = (V – 2). 360º
![Poliedros Regulares ou Platônicos Os cinco tipos possíveis de poliedros regulares são o tetraedro Poliedros Regulares ou Platônicos Os cinco tipos possíveis de poliedros regulares são o tetraedro,](https://slidetodoc.com/presentation_image/2794d3b3b230e39cba529661c63d4e2d/image-10.jpg)
Poliedros Regulares ou Platônicos Os cinco tipos possíveis de poliedros regulares são o tetraedro, o hexaedro ou cubo, o octaedro, o dodecaedro e o icosaedro. Ë muito interessante observarmos a presença desses poliedros, ou formas poliédricas derivadas, na natureza e na infinita capacidade do engenho humano de copiá-los em estruturas arquitetônicas belíssimas, em objetos, em moléculas e até mesmo na lapidação de pedras preciosas. Na verdade até podemos dizer que o estudo dos poliedros sempre foi um esforço que os os matemáticos, arquitetos, artesões e artistas fizeram no sentido de dominar as relações entre suas formas para poder reproduzi-las e recriar sua estética. Observe a seguir algumas formas que encontramos na natureza e uma geodésica. Investigue a semelhança entre elas e as formas que estudaremos a seguir
![](https://slidetodoc.com/presentation_image/2794d3b3b230e39cba529661c63d4e2d/image-11.jpg)
![DEFINIÇÃO Denominase poliedro regular ou de de Platão1 ao poliedro convexo que satisfaz DEFINIÇÃO Denomina-se poliedro regular ou de de Platão[1] ao poliedro convexo que satisfaz](https://slidetodoc.com/presentation_image/2794d3b3b230e39cba529661c63d4e2d/image-12.jpg)
DEFINIÇÃO Denomina-se poliedro regular ou de de Platão[1] ao poliedro convexo que satisfaz as seguintes condições: as faces são polígonos regulares; seus ângulos poliédricos congruentes; - todas as faces têm o mesmo número de arestas; - de cada vértice parte o mesmo número de arestas. 1 PLATÃO(427 ac). Filósofo e matemático grego. Ficou conhecido não como matemático, mas como “O Criador de Matemáticos”. Os poliedros regulares foram chamados de “Sólidos Platônicos” devido a maneira pela qual Platão os aplicou para explicar fenômenos científicos. Vejamos a seguir os cinco poliedros regulares
![TETRAEDRO REGULAR HEXAEDRO REGULAR OCTAEDRO REGULAR V4 F4 e A 6 V8 TETRAEDRO REGULAR HEXAEDRO REGULAR OCTAEDRO REGULAR V=4; F=4 e A = 6 V=8;](https://slidetodoc.com/presentation_image/2794d3b3b230e39cba529661c63d4e2d/image-13.jpg)
TETRAEDRO REGULAR HEXAEDRO REGULAR OCTAEDRO REGULAR V=4; F=4 e A = 6 V=8; F=6 e A = 12 V=6; F=8 e A = 12 FACES TRIANGULARES FACES QUADRANGULARES FACES TRIANGULARES ICOSAEDRO REGULAR DODECAEDRO REGULAR V=12; F=20 e A = 30 V=20; F=12 e A = 30 FACES TRIANGULARES FACES PENTAGONAIS Observe a seguir as planificações dos poliedros acima:
![](https://slidetodoc.com/presentation_image/2794d3b3b230e39cba529661c63d4e2d/image-14.jpg)
![ATIVIDADES 1 Determinar o número de vértices de um poliedro convexo que tem 2 ATIVIDADES 1) Determinar o número de vértices de um poliedro convexo que tem 2](https://slidetodoc.com/presentation_image/2794d3b3b230e39cba529661c63d4e2d/image-15.jpg)
ATIVIDADES 1) Determinar o número de vértices de um poliedro convexo que tem 2 faces quadrangulares e 8 faces triangulares. Resp: V= 8 2) Determinar o número de faces de um poliedro convexo com 9 vértices. Sabe-se que de 4 vértices partem 3 arestas e dos outros 5 vértices partem 4 arestas. Resp: F = 9 3) Um poliedro convexo tem 14 arestas e 6 faces. Determinar: a) o número de vértices desse poliedro, Resp: 10 b) a soma das medidas dos ângulos das faces desse poliedro. Resp: 2880º 4) Em um poliedro convexo de 20 arestas, o número de faces é igual ao número de vértices. Quantas faces tem esse poliedro ? Resp: 11 faces 5) ( FAAP-SP) Num poliedro convexo, o número de aresta excede o número de vértices em 6 unidades Calcule o número de faces. Resp: 8 faces
![ATIVIDADES 6 A soma dos ângulos das faces de um poliedro convexo é 1080º ATIVIDADES 6) A soma dos ângulos das faces de um poliedro convexo é 1080º.](https://slidetodoc.com/presentation_image/2794d3b3b230e39cba529661c63d4e2d/image-16.jpg)
ATIVIDADES 6) A soma dos ângulos das faces de um poliedro convexo é 1080º. Determine o número de faces, sabendo que o poliedro tem 8 arestas. Resp: 5 faces 7) Calcule a soma dos ângulos das faces do: a) tetraedro regular Resp: 720º b) octraedro regular Resp: 1440º c) icosaedro regular Resp: 3600º 8) Qual a área da superfície de: a) tetraedro regular de aresta 6 m, Resp: 72 m 2 b) icosaedro regular de aresta 5 cm Resp: 125 cm 2 9) (UNIRIO-RJ) Um geólogo encontrou, numa de suas explorações, um cristal de rocha no formato de um poliedro, que satisfaz a relação de Euler, de 60 faces triangulares. O número de vértices é: a)35 b) 34 c) 33 d) 32 e) 31 Resp: d 10) ( FUVEST-SP) O número de faces triangulares de uma pirâmide é 11. Pode-se, então, afirmar que essa pirâmide possui: a) 33 vértices e 22 arestas b)12 vértices e 11 arestas c)22 vértices e 11 arestas d)11 vértices e 22 arestas e)12 vértices e 22 arestas Resp: e
![AULA ELABORADA PELO n PROF LUIZ CARLOS S 0 UZA SANTOS É SHOW AULA ELABORADA PELO: n PROF. LUIZ CARLOS S 0 UZA SANTOS É SHOW](https://slidetodoc.com/presentation_image/2794d3b3b230e39cba529661c63d4e2d/image-17.jpg)
AULA ELABORADA PELO: n PROF. LUIZ CARLOS S 0 UZA SANTOS É SHOW
O que são poliedros
Todo relao
Todo relao
Cuales son los poliedros platonicos
Poliedros y no poliedros
Poliedros e não poliedros
Slidos
Residuo desecho y basura
Residuos slidos
Sólidos geométricos imagens
Fischer quimica
O que são faces
Caras basales paralelas
Enigmas ejemplos resueltos
Fotos de poliedros
Geometria conclusion
Cuerpo geométrico
Quantas arestas tem uma pirâmide