Geometria euclidea affine e proiettiva Anno accademico 200809

Geometria euclidea, affine e proiettiva Anno accademico 2008/09 3. Il birapporto. Le coordinate cartesiane omogenee. g. e. a. p. 08/09 3 1

Che cosa si conserva per proiezioni e sezioni? • Non l’eguaglianza tra segmenti • Dato un segmento diviso in parti uguali, in che relazione stanno le parti del segmento che è la sua proiezione? Da M. Menghini, www. treccani. it/site/ Scuola/Zoom/prospettiva/ g. e. a. p. 08/09 scuola_zoom. htm 3 2

Da Stillwell, “The four pillars of geometry”, cap. 5, esercizio Supponiamo che il pavimento abbia delle righe di piastrelle che incontrano l’asse delle x nei punti di ascissa x = 0, 1, 2, 3, …. e che l’artista copi la vista del pavimento su uno schermo trasparente che passa per l’asse (verticale) delle y, tenendo un occhio fermo nella posizione di coordinate ( 1, 1). Allora la vista in prospettiva dei punti di ascissa 0, 1, 2, 3, … sull’asse delle x sarà la successione di punti sull’asse delle y mostrata della figura che segue g. e. a. p. 08/09 3 3

Esercizio Mostrare che la retta da ( 1, 1) a (n, 0) taglia l’asse delle y nel punto di ordinata n/(n+1). rettapunti di O = ( 1, 1) e (n, 0) Quindi, le immagini prospetticheladei ha equazione x + (1+n)y n =0 x = 0, 1, 2, 3…. sono i punti yponendo = 0, ½, 2/3, ¾, …… in questa equazione x = 0 si ottiene y = n/(1+n ) g. e. a. p. 08/09 3 . 4

Non si conserva il rapporto di due segmenti, bensì il rapporto dei rapporti di quattro segmenti. Möbius (1790 -1868) ritrovò un risultato già noto a Pappo: dati quattro punti allineati A, B, C, D, proiezioni e sezioni conservano il loro birapporto g. e. a. p. 08/09 3 5

Dimostrazione elementare Quindi: (A, B, C, D) = g. e. a. p. (A’, B’, C’, D’), c. v. d. 08/09 3 6

Esempi di proprietà proiettive Sono proprietà invarianti per proiezioni e sezioni: • per tre punti, l’appartenenza ad una retta (essere allineati) • per quattro punti non allineati, l’appartenenza ad uno stesso piano (individuato da tre di essi) • per una quaterna ordinata di punti allineati, il loro birapporto. g. e. a. p. 08/09 3 7

La proiezione in coordinate • Scegliamo: centro di proiezione O = (0, 0, 0) • Proiettiamo da O il piano z=1 • Per ogni P = (x*, y*, 1), costruiamo la retta OP (x*, y*, 1) (tx*, ty*, t), t • Abbiamo una funzione iniettiva dal piano alla stella delle rette per O • Si può renderla una bigezione? g. e. a. p. 08/09 3 8

Controimmagine di una retta • Una retta r per O è determinata dai parametri direttori (l, m, n) (0, 0, 0): r = {(tl, tm, tn), t . • Se n 0, r interseca il piano z = 1 in (l/n, m/n, 1), di cui è immagine nella proiezione da O: (l/n, m/n, 1) {(tl, tm, tn), t • Se n = 0, r è parallela al piano, lo interseca in un punto improprio (l, m, 0) {(tl, tm, 0), t (l, m, 0) rappresenta un punto improprio! g. e. a. p. 08/09 3 9

Coordinate omogenee nel piano ampliato • (x, y) coordinate cartesiane di un punto P proprio nel piano • (x 1, x 2, x 3) tali che x 1/x 3 = x, x 2/x 3= y si chiamano coordinate omogenee di P. • Sono definite a meno di un fattore moltiplicativo non nullo • Se P appartiene alla retta di equazione ax + by + c = 0 le sue coordinate omogenee verificano l’equazione omogenea g. e. a. p. 08/09 3 10

Coordinate omogenee nel piano ampliato L’equazione omogenea è verificata dalla terna ( b, a, 0), che non dipende dal valore di c. • ( b, a, 0) è il punto improprio della retta • Una terna ordinata di numeri reali (z 1, z 2, z 3) (0, 0, 0), – se z 3 0, individua il punto proprio (z 1/z 3, z 2/z 3) – se z 3=0, individua il punto improprio del fascio con direzione (-z 2, z 1) g. e. a. p. 08/09 3 11

Chiusura proiettiva • L’equazione omogenea rappresenta la retta come insieme di tutti i suoi punti propri più il punto improprio • La retta così ampliata viene detta “chiusura proiettiva” della retta definita dall’equazione non omogenea • La retta impropria ha l’equazione x 3 = 0 g. e. a. p. 08/09 3 12

Punti impropri di una curva algebrica • Sia F(x, y) un polinomio (a coefficienti reali). Si chiama “curva algebrica” di equazione (1) F(x, y) = 0 l’insieme C dei punti del piano le cui coordinate soddisfano (1). • La chiusura proiettiva della curva C è l’insieme dei punti del piano ampliato le cui coordinate omogenee soddisfano l’equazione algebrica omogenea ottenuta da (1) ponendo x 1/x 3 = x, x 2/x 3= y e moltiplicando per il minimo comune multiplo dei denominatori. • L’intersezione della retta impropria con la chiusura proiettiva di C costituisce il “luogo all’infinito” di C. g. e. a. p. 08/09 3 13

Esempio Sia C la parabola di equazione y + x 2 + x = 0. Ponendo x 1/x 3 = x, x 2/x 3= y , si ottiene La chiusura proiettiva di C ha l’equazione Il luogo improprio è formato da un solo punto, di coordinate omogenee (0, 1, 0). g. e. a. p. 08/09 3 14

Punti impropri delle coniche Una conica, di equazione (a coefficienti reali), ha come chiusura proiettiva la curva d’equazione omogenea Il luogo improprio è definito dal sistema g. e. a. p. 08/09 3 15

Punti impropri delle coniche I punti impropri sono due reali, distinti o coincidenti, a seconda che sia La conica non ha punti impropri reali se è I 2 > 0. g. e. a. p. 08/09 3 16