GEOMETRIA EN EL SIGLO XIV LOS TRABAJOS GEOMTRICOS

GEOMETRIA EN EL SIGLO XIV LOS TRABAJOS GEOMÉTRICOS DE THOMAS BRADWARDINE

LAS ARTES LIBERALES

LAS ARTES LIBERALES • 1. Quadrivium: 2. Trivium – Aritmética - Gramática – Geometría - Dialéctica – Astronomía - Retórica – Música

ALCUINO DE YORK 735 - 804

ALCUINO DE YORK 635 -804 • Adopta las Siete Artes Liberales como currículo educativo para la Escuela Palatina de Aquisgrán

BOECIO 480 - 524

• Los textos que se utilizaban en las enseñanzas del quadrivium estaban basados, en su casi totalidad, en las obras de Boecio. • Boecio (480 – 524) era un patricio romano que escribió los libros del quadrivium a modo de resúmenes de un nivel muy elemental

• Escribió una Aritmética basada en la Introductio Arithmeticae de Nicómaco de Gerasa • Una Geometría que contiene solo proposiciones sin demostración de algunas de las partes más sencillas de los cuatro elementos de los Elementos de Euclides.

• Una Astronomía, resumen del Almagesto de Ptolomeo. • Una Música basada en obras de Euclides, Nicómaco y Ptolomeo

FIBONACCI 1180 -1250

• Fue de los propagadores de este sistema de numeración. • Escribió el Liber Abaci, publicado en 1220. • Escribió también una Practica Geometricae basada en la División de las figuras de Euclides (libro perdido)

RAMON LLULL 1232 - 1316

• Escribió un tratado de Geometría titulado Llibre de Geometria Nova (1299) Presenta la geometría como una compleja concepción matemático-metafísica del universo.

CAMPANO DE NOVARA Elementos

• Vivió en el siglo XIII y fue capellán del Papa Urbano VI entre los años 1261 y 1264. • Redactó una traducción del árabe al latín de los Elementos, en la que añade un estudio de los llamados “ángulos de contingencia” y ¨ángulos corneados”.

• La traducción de Campano de los Elementos influyó de manera decisiva en una obra de Geometría titulada Geometria Speculativa, escrita en los años 1320 por el filósofo y matemático inglés Thomas Bradwardine (1290 -1349)

THOMAS BRADWARDINE • Nació entre 1290 y 1300 en algún lugar no determinado del sur de Inglaterra. • En 1321 se inscribe como Fellow en el Balliol College de Oxford. • Entre 1323 y 1335 permanece en el Merton College, también de Oxford.

BALLIOL COLLEGE

MERTON COLLEGE

• En 1333 entró en la carrera eclesiástica y en 1335 de desplazó a Durham acompañando a su protector, Richard de Bury, obispo de aquella ciudad. • En 1337 fue nombrado canciller de la catedral de San Pablo. • En la década de 1340 pasó a ser capellán del rey Eduardo III

• En 1346 acompañó a las tropas inglesas en su expedición a Francia. • En 1348 fue nombrado arzobispo de Canterbury por el Papa, pero el rey consiguió que se anulara dicho nombramiento. • Volvió a ser elegido para dicho cargo en una segunda oportunidad y fue consagrado el 10 de julio en la sede papal de Avignon.

• Tras su consagración, regresó a Inglaterra inmediatamente. • Después de algo menos de un mes de ejercicio como arzobispo, falleció víctima de la peste negra el 26 de agosto de 1349.

PRINCIPALES OBRAS • • • Insolubilia Arithmetica Speculativa Geometria Speculativa Tractatus de Proportionibus Tractatus de Continuo De causa Dei, et de virtute causarum

Geometria Speculativa • El libro está escrito con anterioridad a 1328, pues en esta fecha se publicó el Tractatus de Proportionibus y en él se hace referencia a la Geometria.

PORTADA DE LA GEOMETRIA SPECULATIVA (ed. 1408)

• Con anterioridad se había publicado la Arithmetica como puede deducirse del comienzo del libro: • La geometría está, de alguna manera, supeditada a la aritmética, pues es posterior a ella en orden y las propiedades de los números son útiles a las magnitudes…

• La geometría está dividida en dos partes, teórica y práctica, igual que otras ciencias matemáticas. La teórica es la que investiga las propiedades de las magnitudes a través de razonamientos que hacen uso del silogismo… La práctica es la que investiga las medidas de las magnitudes mediante resultados e instrumentos.

• Estos párrafos muestran el primer objetivo del autor, que es el de dar una formación geométrico en el ámbito de las artes liberales. • No obstante, el alcance del texto va bastante más allá de este propósito. Así, ya en el siglo XV, Fridericus Amann señala que este libro • … contiene todas las demostraciones geométricas que el filósofo [Aristóteles] enuncia a modo de ejemplo tanto en lógica como en filosofía.

• Pedro Sánchez Ciruelo, en 1495, en una versión ampliada del original de Bradwardine dice que la obra • … reúne todas las conclusiones geométricas que necesitan las estudiantes de artes y de la filosofía de Aristóteles.

• La lectura de la obra pone en evidencia una influencia evidente de los Elementos de Euclides en la versión de Campano de Novara • En menor medida, la Medida del círculo, de Arquímedes y la Esférica de Teodosio. • Otro libro importante a la hora de analizar las fuentes de la Geometria es un libro titulado Ysoperimetrorum, que era una traducción (posiblemente de Eutocio) de una introducción anónima del Almagesto de Ptolomeo, adaptada de los trabajos de Zenodoro al respecto.

• La Geometria Speculativa tuvo un gran éxito, como lo evidencia el gran número de copias que se editaron de la misma. • Se conservan una veintena de tales copias y, además, en 1495 se imprimió una versión de la misma de Pedro Sánchez Ciruelo • El propio Sánchez Ciruelo usó este trabajo como base de la sección de geometría de su Cursus quattuor mathematicarum artium liberaliun, publicado en Alcalá de Henares en 1516, en la que se pueden leer párrafos que son copia literal de la versión original de Bradwardine.

• Nicolás de Cusa utiliza repetidamente resultados de la Geometria Speculativa en sus escritos matemáticos. • En el siglo XVI, John Major hace una crítica de la parte del libro que se refiere al infinito y ya en el siglo XVII el matemático polaco Jan Brozek estudia la visión de Bradwardine de los polígonos estrellados.

• Finalmente, en el siglo XVI, Juan Luis Vives critica con dureza el libro de nuestro autor, que considera correcto, pero • … su estudio no es necesario para los estudiantes, cuyos conocimientos matemáticos son útiles solamente para comprender otras ramas del conocimiento.

LOS POSTULADOS • Postulado 1. Trazar una línea recta de cualquier punto a cualquier otro punto. Y ésta es la menor de todas líneas con tales extremos. • Postulado 2. Desde cualquier punto y ocupando cualquier cantidad de espacio, describir un círculo. • Postulado 3. Todos los ángulos rectos son iguales entre sí. • Postulado 4. Si una línea recta corta otras dos líneas rectas y los ángulos interiores son menores que dos rectos, estas líneas prolongadas en la misma dirección llegan a cortarse. • Postulado 5. Dos líneas rectas no encierran ninguna superficie.

• Una simple mirada a estos postulados pone en evidencia algunas diferencias importantes respecto a los de Euclides. En el postulado 1 se añade la frase: • Y ésta [la recta] es la menor de todas líneas con tales extremos. • Esta frase aparece también en la versión de Campano. La razón de haberla añadido está en la ambigua definición de recta que aparece en los Elementos: • Definición 4. Una línea recta es aquella que yace por igual respecto de los puntos que están en ella.

• En los postulados de Bradwardine ha desaparecido el segundo postulado de Euclides, que sí se incluye en la versión de Campano: • Postulado 2. Postúlese prolongar continuamente una recta finita en línea recta. • Esta omisión no es casual, ya que el postulado está en la versión de Campano, y está probada la influencia directa de éste en la obra de Bradwardine. • En mi opinión, está relacionada con el hecho de que una recta finita, según Euclides, se puede prolongar sin límites aunque siga siendo finita.

• La ausencia del segundo postulado de los Elementos pone también en cuestión el cuarto postulado de la obra que estamos comentando. Digamos a este respecto que Bradwardine no da la definición de rectas paralelas si bien utiliza este concepto en la proposición 3. • Si una tercera línea corta dos líneas paralelas, da lugar al mimo tipo y tamaño de ángulos tanto en una como en otra.

• Antes de dar una demostración de la proposición establece tres conclusiones: • Cada ángulo exterior es igual al ángulo interior opuesto. • Pares de ángulos alternos son iguales. • Los dos ángulos interiores que se forman a un mismo lado son iguales o suman dos rectos. • Se podía haber dado como definición de rectas paralelas tanto al enunciado de la proposición como cualquiera de estas conclusiones.

• Las dos omisiones de Bradwardine, por otra parte, parecen ir dirigidas a establecer una relación entre la geometría y un mundo finito. Se puede decir que el hecho de no incluir ni el axioma de prolongación ni la definición de rectas paralelas son fruto de un punto de vista realista de la geometría, si bien con posterioridad a la aparición de la Geometria Speculativa, el propio Bradwardine acabó concibiendo la idea de un espacio infinito. • En su obra De continuo, afirma que el tercer axioma de Euclides (construir un círculo con un punto y una recta) que él también incluye en su lista de postulados, puede ser incompatible con la concepción de un mundo finito.

• La posibilidad de la existencia de un mundo infinito es una cuestión ampliamente debatida desde los tiempos de Aristóteles, quien afirmaba que el mundo es finito y no había espacio más allá de la esfera del cielo. No obstante, señalaba que • … los geómetras trabajan con un espacio infinito tridimensional

• El propio Aristóteles intenta separar la cuestión matemática de la física y concluye (Física, III. 8): • El tamaño por el cual una magnitud puede existir en potencia, puede existir en la realidad. Luego, como ninguna magnitud sensible es infinita, es imposible superar cualquier magnitud establecida, pues si fuera posible, sería mayor que los cielos

• Para justificar las matemáticas, afirma (Física, III. 8 y De Coelo, I. 2): • Nuestras afirmaciones no sustraen de su ciencia a los matemáticos, al desaprobar la existencia real del infinito en la dirección del crecimiento, en el sentido de lo transversal. De hecho, no necesitan el infinito y no hacen uso de él. • Postulan solamente que la recta finita se puede prolongar tan lejos como se quiera. .

• Surge entonces un problema: Si se puede prolongar una recta finita tanto como se quiera, ¿hasta donde se puede llegar? ¿Más allá del cielo, o no? • En el siglo XII, Alexander Neckam considera el problema de construir un triángulo equilátero de lado igual al diámetro del mundo, lo que llevaría a un mundo más allá de la esfera de los cielos.

• Y en el siglo XIII, Robert Grosseteste permitía que la imaginación concibiera un espacio infinito, pero esto no era imaginación en sentido estricto, pues el espacio, para él, no era más que la tridimensionalidad de los cuerpos. • También en el siglo XIII, Enrique de Gante manifestaba la dificultad de comprender que no había nada más allá de los cielos, en estrecha relación con las facultades imaginativas.

• Bradwardine, en su De Continuo expone que el tercer axioma de Euclides (construir un círculo con un punto y una recta) podría ser incompatible con la concepción de un mundo finito: • “De facto” ningún cuerpo puede ser más sutil que el fuego ni puede un círculo ser mayor que el mayor de los círculos celestes, pero estas cosas no son imposibles “per se”, como es manifiesto para la inteligencia… • Y Euclides supone lo contrario de lo segundo en la demostración de la primera proposición del primer libro de los Elementos, como queda suficientemente claro si alguien quiere construir un triángulo equilátero sobre el diámetro del mundo.

• En De causa Dei, la misma cuestión queda resumida con un énfasis más teológico: • Debido a la fuerza y el poder infinitos de Dios y con respecto a Él mismo, junto con todas las cosas creadas en virtud de tal poder, digo que es cierto lo que suponen los geómetras: que una línea recta se puede prolongar de manera continua todo lo que se quiera y un círculo se puede describir sobre cualquier centro y ocupando una cantidad de espacio tan grande como se desee, como se deduce claramente del primer libro de los Elementos de Euclides y que los filósofos naturales suponen, que un medio se pueda enrarecer tanto como se quiera y cosas semejantes, así como cualquier cosa compatible con los lógicos, se dice que son posibles “per se”, con tal de que no conlleven contradicción, pese a que no puedan ser posibles por naturaleza, es decir, por un poder natural.

• Entendidas así las cosas, los axiomas dela geometría alcanzan una justificación teológica, pero la visión realista de la geometría que tiene Bradwardine hace que se tome muy en serio las consecuencias ontológicas de todo esto. • Esto es particularmente claro en el pasaje del De causa Dei en el que, como consecuencia de la inmutabilidad de Dios, afirma: • Necesariamente, Dios está esencial e inmediatamente en todas partes, no sólo en el mundo y todas sus partes, sino también fuera del mundo, en el imaginable “espacio” infinito o vacío.

• Entiende Bradwardine que Dios está claramente en el mundo. Si el “espacio” que ocupa ahora el mundo es A, y B es un “espacio” fuera del mundo, Dios podría mover el mundo de A a B estando entonces en B, pero si no hubiera estado previamente en B se habría movido, lo cual es absurdo. Luego Dios está en todas partes, dentro o fuera del mundo, lo que para Bradwardine es un signo de perfección infinita. Todo ello da una idea del pensamiento de Bradwardine sobre la existencia de un espacio infinito en que desarrollar la geometría.

UNA PÁGINA DEL LIBRO

RECUBRIMIENTO DEL PLANO • La proposición 7 de la primera parte del libro hace referencia al recubrimiento del plano mediante polígonos. No aparece en el original de Euclides, pero es una cuestión tratada en el libro V de la Colección Matemática de Pappus de Alejandría al estudiar las áreas de los polígonos regulares isoperimétricos. Concretamente, en dicho libro aparece esta proposición con la misma redacción que en la Geometria Speculativa: • Tres figuras regulares, y no otras, que son el triángulo, el tetrágono y el hexágono, son las que recubren el plano.

POLIGONOS ESTRELLADOS • La primera parte del libro finaliza con varias proposiciones sobre una cuestión escasamente estudiada hasta entonces: los polígonos estrellados o de ángulos emergentes. Dice Bradwardine al abordar este estudio: • Hablaré acerca de figuras con ángulos emergentes de acuerdo con una visión universal y en general, y así, espero que sea suficiente. Pues el tratamiento de este tipo de polígonos es raro y no he encontrado una discusión acerca de ellos, salvo solamente en el caso de Campano, que habla de pasada sobre el pentágono. • Se dice que una figura tiene ángulos emergentes cuando los lados de alguna figura poligonal, tomada entre las más sencillas, se prolongan hasta cortarse en el exterior.

• Da las primeras proposiciones sobre esta cuestión: • 1. De entre las figuras con ángulos emergentes, el pentágono es el primero. • 2. El pentágono de ángulos emergentes tiene cinco ángulos que suman dos rectos. • 3. Entre las figuras de ángulos emergentes cada sucesor añade dos ángulos rectos a su predecesor.

• Considera a continuación lo que llama polígonos de ángulos emergentes de segundo orden, obtenidos a partir de una segunda intersección de los lados de un polígono regular prolongados y concluye (proposición 4): • De las figuras con ángulos emergente de segundo orden, la primera es el heptágono.

• Estudia los polígonos estrellados de órdenes sucesivos y llega a la conclusión expresada en la proposición 5 relativa a esta cuestión: • Al considerar polígonos con ángulos emergentes de cualquier orden, el primero del orden que sucede a otro es el que ocupa el tercer lugar en este último. • Por ejemplo, como el pentágono es el primer polígono estrellado de primer oren, el que ocupa el tercer lugar en el mismo es el heptágono, que es el primero de segundo orden. Asimismo, como en el tercer lugar de los polígonos estrellados de segundo orden es el eneágono, éste será el que genere el primero en el orden tres, etc.

ANGULOS DE CONTINGENCIA • Los ángulos de contingencia es otra de las cuestiones que Bradwardine toma en consideración en su Geometría. Comienza dando una definición del concepto: • El ángulo que forma una circunferencia con una línea que la toca recibe el nombre de ángulo de contingencia.

• Los ángulos de contingencia, junto con los ángulos curvilíneos los trata Euclides en su Catóptrica; fueron objeto de discusión, igual que los ángulos curvilíneos, en la Edad Media por parte de los escolásticos a causa de las peculiaridades de este tipo de ángulos, al no poder ser objeto de medida. Esto queda reflejado en las proposiciones seis y siete del libro de Bradwardine: • Proposición 6. El ángulo de contingencia es menor que cualquier ángulo rectilíneo y es infinitamente divisible.

• Consecuencia de esta proposición es que un ángulo de contingencia es una magnitud que no admite medida por cuanto es evidente que no es nulo, pero, en cambio, es menor que cualquier ángulo rectilíneo, por pequeño que sea. Es decir, en caso de tener una medida, ésta debería ser menor que cualquier cantidad sin ser cero.

• Como consecuencia de esta proposición se obtiene: • Un ángulo de contingencia es tanto mayor cuanto menor es el círculo y recíprocamente.

• Esta última afirmación se puede ver en La docta ignorancia, de Nicolás de Cusa cuando afirma que la recta es límite de circunferencias o bien que una recta es la circunferencia de radio infinito.

FIGURAS ISOPERIMÉTRICAS • La segunda parte del libro, finaliza con el estudio de las figuras isoperimétricas, cuestión que no fue considerada por Euclides y sobre la que existen frecuentes referencias tanto en la literatura antigua como en la medieval. • Por ejemplo, en astronomía, un argumento standard que avalaba la esfericidad de la Tierra era que la esfera el mayor cuerpo sólido entre los que tenían la misma área. Para SACROBOSCO éste era el argumento: • … porque de todos los cuerpos isoperimétricos la esfera es la mayor y de todas las formas, la redondeada es la de mayor capacidad. Por tanto, como el mundo contiene todas las cosas, esta forma era de utilidad y adecuada a él.

• Nicolás de Cusa, en el siglo XV, utiliza el método de las figuras isoperimétricas en sus escritos matemáticos para intentar probar la cuadratura del círculo

El tratamiento que Bradwardine da al tema que nos ocupa está relacionado solo de manera tangencial con el del primero. Tras afirmar que “isoperimétrico” es un término relativo pasa a enunciar su primera conclusión : • Luego, la primera conclusión acerca de los isoperimétricos es esta: Dos figuras son isoperimétricas, una respecto de la otra, si sus perímetros son iguales. • En la Geometria Speculativa se afirma: • De todos los polígonos isométricos el que tiene más ángulos es el mayor.

• Da estas proposiciones, entre otras: • De todos los polígonos isoperimétricos con el mismo número de ángulos el mayor es el equiangular. • De todos los polígonos isoperimétricos con el mismo número de lados y ángulos iguales, el equilátero es el mayor.

RAZONES • La tercera parte del libro se refiere básicamente a las razones. Como sabemos, las razones entre números fueron tratadas en la antigüedad en las tradiciones aritméticas y musicales. • Bradwardine comienza observando que la geometría tiene un rango más amplio de razones que la aritmética e intenta dar una definición universal de este concepto: • Una razón es un criterio de comparación entre algunas cosas mutuamente comparables entre sí.

• Clasifica las razones en racionales e irracionales, cuestión que en los Elementos no aparece hasta el libro X. • Algunas cantidades se pueden relacionar y decimos que son conmensurables; oras no pueden relacionarse; otras no pueden relacionarse y las llamamos inconmensurables.

• Las cantidades conmensurables son aquellas tales que existe una cantidad común que puede numerarlas. Se dice que una cantidad numera a otra su cuando se toma un cierto número de veces da la segunda cantidad, como la línea de un pie da lugar a otra de dos pies y otra de tres. Luego, un línea de dos pies y otra de tres pies pueden relacionarse, pues existe la línea de un pie que las numera como dos y tres. • Pero a las cantidades tales que no existe una cantidad común que las numere se les da el nombre de inconmensurables. De esta clase son la diagonal y el lado de un cuadrado

• Por todo esto, pues, existen dos especies de razones, que son las racionales y las irracionales. Las racionales son las que corresponden a cantidades conmensurables y son las que pueden expresarse mediante números. Una razón irracional se refiere a cantidades inconmensurables, sin que se puedan expresar con números. • En consecuencia, es obvio que el tratamiento de las razones es una cuestión propia de la geometría, pues en este caso toda razón se refiere a magnitudes aunque no todas sean expresables mediante números.

• Bradwardine está más interesado en la posibilidad de una descripción numérica de las razones que en saber cómo se podría expresar con exactitud dicha razón. En particular, se plantea como objetivo la posibilidad de establecer una correspondencia biunívoca entre razones y números, y argumenta: • Una razón racional queda denominada inmediatamente por un determinado número, pues al tratarse de cantidades conmensurables es necesario que la menor o una parte de ella numere la mayor conforme a algún número tal como dice Euclides, que afirma que para todo par de d cantidades conmensurables, la razón de una a la otra es como la razón de un número a otro número.

• Bradwardine esboza la clasificación de las razones racionales siguiendo los criterios de la Atithmetica de Boecio de mayor a menor desigualdad y lacada una de ellas en cinco especies. Por ejemplo, para las desigualdades mayores, las cinco especies son las razones múltiples (ej. 3: 1), superparticulares (4: 3), superpacientes (7: 5), superparticulares múltiples (11: 5) y superpacientes múltiples (11: 3).

• En cuanto a las fracciones irracionales, afirma: • Una razón irracional no es inmediatamente denominada por algún número o alguna razón numérica ya que no es posible que alguna parte de la menor numere la mayor según un número. Pero ocurre que una razón irracional se puede denominar de manera intermediante un número. • Por ejemplo, la razón de la diagonal de un cuadrado al lado es la mitad de una razón doble y así, otras especies de estas razones reciben denominaciones numéricas. • Quiere decir el autor que como el cuadrado de lado igual a la diagonal es igual al doble del cuadrado original, la razón doble de la diagonal al cuadrado es de 1: 2: L 2 : d 2 = 1 : 2

CONCLUSIONES • La Geometria Speculativa de Bardwardine es un tratado que pertenece más a la tradición filosófica que a la tradición matemática técnica. • Está especialmente relacionado con problemas del aristotelismo. • Bradwardine intentó adaptar su geometría a un mundo finito pero una lectura de su obra sugiere la existencia de un espacio infinito.

• Las formas escolásticas de razonamiento afectan de una manera importante el contenido de la obra. • Su implicación en el rigor geométrico es menor que en la tradición matemática griega. • Extiende el lenguaje geométrico al estudio de las razones.

Finalmente… • La Geometria Speculativa fue disminuyendo su influencia a partir del siglo XVI. • La obra geométrica de Bradwardine fue importante a la hora de inclinar el interés de los filósofos naturales hacia una visión más realista de las matemáticas.

F I N