Teoria sterowania 20142015 Sterowanie dziaanie cakujce Zastosowanie macierzy

Teoria sterowania 2014/2015 Sterowanie – działanie całkujące Zastosowanie macierzy kompensacji M pozwala zapewnić wzmocnienie w torze wartość zadana – wartość aktualna wyjścia równą jeden, inaczej mówiąc równość tych dwóch wielkości Wada: rozwiązanie takie nie gwarantuje zerowej wartości uchybu ustalonego, np. w sytuacjach, kiedy model systemu nie jest dokładnie znany Alternatywa: dodanie jednego lub kilku integratorów (elementów całkujących) w pętli sterowania Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 1

Teoria sterowania 2014/2015 Sterowanie – działanie całkujące Rozwiązanie Przypadek ciągły: Dla zlikwidowania uchybu ustalonego, - wprowadzamy integratory w liczbie na wyjściu komparatora (elementu porównującego) wartości zadanej (referencyjnej) i aktualnej wielkości wyjściowej systemu – po jednym dla każdej składowej wektora - poprzez macierz wielkości referencyjnej zamykamy sprzężenie zwrotne (ujemne) - sprzężenie od wektora stanu realizowane jest jak poprzednio za pomocą macierzy oznaczonej Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 2

Teoria sterowania 2014/2015 Pojawiają się nowe zmienne stanu Sterowanie – działanie całkujące będące skutkiem wprowadzenia integratorów Niech system jest dany jako Nowe zmienne stanu Łącząc zmienne stanu otrzymujemy system rozszerzony Równania stanu systemu rozszerzonego Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 3

Teoria sterowania 2014/2015 Sterowanie – działanie całkujące Pełny opis systemu rozszerzonego (otwartego) Macierze wzmocnień dla działania regulacyjnego wprowadzamy jak poprzednio Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 4

Teoria sterowania 2014/2015 Sterowanie – działanie całkujące Równania stanu systemu po zamknięciu sprzężenia Pełny opis systemu po zamknięciu sprzężenia Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 5

Teoria sterowania 2014/2015 Sterowanie – działanie całkujące Projektowanie sterowania ze sprzężeniem od stanu Opis systemu rozszerzonego może być dany gdzie Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 6

Teoria sterowania 2014/2015 Sterowanie – działanie całkujące Problem polega teraz na określeniu rozszerzonej macierzy wzmocnień sprzężenia zwrotnego od stanu tak, aby system zamknięty realizujący prawo sterowania i mający macierz systemu posiadał wymagane własności dynamiczne Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 7

Teoria sterowania 2014/2015 Sterowanie – działanie całkujące Rozwiązanie problemu – jedna z przedstawionych uprzednio metod Warunek: system określony parą macierzy jest sterowalny Warunek ten jest równoważny trzem następującym 1. 2. Para 3. jest sterowalna , to znaczy liczba wejść sterujących musi być co najmniej równa liczbie wyjść sterowanych Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 8

Teoria sterowania 2014/2015 Sterowanie – działanie całkujące Likwidacja uchybu ustalonego w odniesieniu do wartości zadanej w stanie równowagi W stanie ustalonym rozszerzonego systemu Drugie równanie oznacza zatem Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 9

Teoria sterowania 2014/2015 Sterowanie – działanie całkujące Eliminacja stałych zakłóceń w stanie równowagi Dodanie integratorów w pętli sterowania powinno również powodować likwidację uchybu ustalonego wynikającego z istnienia stałych zakłóceń pomiarowych lub występowania stałych zakłóceń obciążenia, ponieważ integratory są ulokowane pomiędzy wyjściem komparatora (uchyb sterowania) a punktami przyłożenia tych zakłóceń Zaburzenie obciążenia Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Zaburzenie pomiaru Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 10

Teoria sterowania 2014/2015 Sterowanie – działanie całkujące Uzupełniony w ten sposób system rozszerzony spełnia równania stanu i wyjścia postaci Równanie stanu systemu zamkniętego przyjmie postać Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 11

Teoria sterowania 2014/2015 Sterowanie – działanie całkujące W stanie równowagi jak poprzednio czyli dwa warunki Stałe zakłócenia są eliminowane w stanie równowagi Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 12

Teoria sterowania 2014/2015 Sterowanie – działanie całkujące Przykład 1. Kontynuacja Przykładu 2 z poprzedniego wykładu System trzeciego rzędu Zatem system rozszerzony Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 13

Teoria sterowania 2014/2015 Sterowanie – działanie całkujące Otrzymamy System rozszerzony jest sterowalny – sprawdzić! Jak poprzednio, będziemy wymagali wartości własnych Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 14

Teoria sterowania 2014/2015 Sterowanie – działanie całkujące Wykorzystamy wzór Ackermann’a do obliczenia macierzy wzmocnień – dla obliczeń numerycznych można skorzystać z funkcji acker przybornika Control System środowiska MATLAB Otrzymamy Wyniki symulacji: Wartość zadana - sygnał skokowy Zakłócenia: brak Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 15

Teoria sterowania 2014/2015 Sterowanie – działanie całkujące Wyniki symulacji: t [s] Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 16

Teoria sterowania 2014/2015 Sterowanie – działanie całkujące Wyniki symulacji: t [s] Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 17

Teoria sterowania 2014/2015 Sterowanie – działanie całkujące Przykład 2. Dany jest system opisany macierzami Opis – postać kanoniczna sterowalności Wielomian charakterystyczny systemu otwartego Wartości własne wielomianu charakterystycznego systemu otwartego Stabilny asymptotyczne, słabo tłumiony system rzędu trzeciego Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 18

Teoria sterowania 2014/2015 Sterowanie – działanie całkujące Wyniki symulacji System otwarty: Odpowiedź wyjścia na skok jednostkowy System zamknięty: y [m] Otwarty Zamknięty Chcemy poprawić jakość charakterystyki dynamicznej systemu Czas [s] Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 19

Teoria sterowania 2014/2015 Sterowanie – działanie całkujące System zamknięty Chcemy: Dominujące wartości własne (człon drugiego rzędu oscylacyjny) - Przeregulowanie procentowe: 6% - Czas ustalania się 2%: 3 [s] W oparciu o Pomocnik możemy dla tak sformułowanych warunków obliczyć Postulowane wartości własne odpowiadające tym parametrom Trzecia wartość własna (człon pierwszego rzędu) - ujemna, dziesięć razy większa od części rzeczywistej dominujących wartości własnych Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 20

Teoria sterowania 2014/2015 Sterowanie – działanie całkujące Wielomian charakterystyczny systemu zamkniętego Macierz wzmocnień sprzężenia zwrotnego od stanu Prawo sterowania – działanie regulacyjne i śledzące (M = 0) Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 21

Teoria sterowania 2014/2015 Macierze systemu zamkniętego Sterowanie – działanie całkujące Macierz stanu Macierz sterowania Macierz wyj scia Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 22

Teoria sterowania 2014/2015 Sterowanie – działanie całkujące Wyniki symulacji System zamkniety: Odpowiedź wyjścia na skok jednostkowy System zamknięty: y [m] Otwarty Zamknięty - Przeregulowanie procentowe: 5. 9% - Czas ustalenia 2%: 3. 09 [s] Czas [s] Ale: Odpowiedź na skok jednostkowy nie osiąga wartości 1. 0 Dla systemu zamkniętego oznacza to, że stan ustalony nie osiąga poziomu zadanego (referencyjnego) Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 23

Teoria sterowania 2014/2015 Sterowanie – działanie całkujące Sprawdzenie uzyskanego wyniku z wykorzystaniem wzoru Ackermann’a Dla systemu danego w postaci kanonicznej sterowalności, macierz sterowalności dana jest (patrz: Dodatek 1 do Zadań Lab T 1 Zatem: Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 24

Teoria sterowania 2014/2015 Sterowanie – działanie całkujące Dla pożądanego wielomianu charakterystycznego systemu zamkniętego policzymy Macierz wzmocnień Wynik jak poprzednio Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 25

Teoria sterowania 2014/2015 Zmodyfikujemy prawo sterowania wzmocnienia statycznego M Sterowanie – działanie całkujące wprowadzając macierz kompensacji Transmitancja systemu otwartego System w postaci kanonicznej sterowalności Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 26

Teoria sterowania 2014/2015 Sterowanie – działanie całkujące Odpowiadająca mu transmitancja systemu otwartego Zatem dla przykładu transmitancja ta wynosi Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 27

Teoria sterowania 2014/2015 Sterowanie – działanie całkujące Wzmocnienie statyczne System zamknięty opisany macierzami Odpowiadająca mu transmitancja Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 28

Teoria sterowania 2014/2015 Sterowanie – działanie całkujące Wzmocnienie statyczne systemu zamkniętego Wzmocnienie kompensacji wzmocnienia statycznego Wzmocnienie statyczne systemu zamkniętego będzie równe wzmocnieniu systemu otwartego jeżeli wzmocnienie kompensacji wyniesie Dla takiego wzmocnienia kompensacji prowadzimy symulację Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 29

Teoria sterowania 2014/2015 Sterowanie – działanie całkujące Wyniki symulacji y [m] Otwarty Zamknięty Czas [s] Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 30

Teoria sterowania 2014/2015 Sterowanie – działanie całkujące Zastosujemy teraz rozwiązanie z działaniem całkującym Warunki stosowalności Sprawdzimy warunek 1 1. 2. Para 3. Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. jest sterowalna , to znaczy liczba wejść sterujących jest co najmniej równa liczbie wyjść sterowanych Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 31

Teoria sterowania 2014/2015 Sterowanie – działanie całkujące Wprowadzamy jeden integrator Macierze systemu rozszerzonego Wybierzemy wartości pożądane wartości własne w oparciu o kryterium ITAE (Integral of Time multipying the Absolute value of Error) Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 32

Teoria sterowania 2014/2015 Sterowanie – działanie całkujące Tablica wielomianów charakterystycznych ITAE Rząd systemu Wielomian charakterystyczny Pierwszy Drugi Trzeci Czwarty Piąty Szósty - pożądana wartość pulsacji drgań nietłumionych; im większa, tym szybsza odpowiedź Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 33

Teoria sterowania 2014/2015 Sterowanie – działanie całkujące Wybieramy Pożądany wielomian charakterystyczny systemu zamkniętego Wartości własne tego wielomianu System rozszerzony o integrator nie jest już postaci kanonicznej sterowalności Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 34

Teoria sterowania 2014/2015 Sterowanie – działanie całkujące Korzystając np. z wzoru Ackermann’a policzymy macierz wzmocnień sprzężenia zwrotnego od stanu Prawo sterowania Pełny opis systemu po zamknięciu sprzężenia Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 35

Teoria sterowania 2014/2015 Sterowanie – działanie całkujące Pełny opis systemu po zamknięciu sprzężenia Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 36

Teoria sterowania 2014/2015 Sterowanie – działanie całkujące Pokażemy krzepkość rozwiązania sterowania z działaniem całkującym Niech zaburzona macierz stanu Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 37

Teoria sterowania 2014/2015 Sterowanie – działanie całkujące Wielomian charakterystyczny systemu otwartego Wartości własne wielomianu charakterystycznego systemu otwartego Stabilny (krytycznie), system rzędu trzeciego Stosując prawo sterowania znalezione dla modelu nominalnego Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 38

Teoria sterowania 2014/2015 Sterowanie – działanie całkujące Pełny opis systemu po zamknięciu sprzężenia Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 39

Teoria sterowania 2014/2015 Sterowanie – działanie całkujące Wartości własne wielomianu charakterystycznego systemu zamknietego Stabilny asymptotycznie, system rzędu czwartego Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 40

Teoria sterowania 2014/2015 Sterowanie – działanie całkujące y [m] Wyniki symulacji (odpowiedzi wyjścia na skok jednostkowy wielkości referencyjnej) Nominalny Zaburzony Czas [s] Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 41

Teoria sterowania 2014/2015 Sterowanie – działanie całkujące Rozwiązanie Przypadek dyskretny: Opóźnienie Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Opóźnienie Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 42

Teoria sterowania 2014/2015 Sterowanie – działanie całkujące Wyście integratora (dyskretnego) gdzie, zmienne reprezentują dodatkowych zmiennych stanu Równania systemu rozszerzonego Pełny opis systemu rozszerzonego (otwartego) Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 43

Teoria sterowania 2014/2015 Sterowanie – działanie całkujące Sterowanie przez sprzężenie zwrotne od stanu Prawo sterowania System z zamkniętą pętlą sterowania Uchyb sterowania w stanie równowagi Stan równowagi Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 44

Teoria sterowania 2014/2015 Sterowanie – działanie całkujące Przykład 1. Weźmy system z Przykładu 2 z poprzedniego wykładu System trzeciego rzędu Zdyskretyzujemy system stosując metodę niezmienniczości skokowej (z odpowiedzi) gdzie, Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 45

Teoria sterowania 2014/2015 Sterowanie – działanie całkujące Wykorzystując np. funkcję c 2 d MATLAB’a znajdziemy, przyjmując System dyskretny System trzeciego rzędu, jednowymiarowy Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 46

Teoria sterowania 2014/2015 Sterowanie – działanie całkujące Przyjmiemy takie same pożądane położenie wartości własnych systemu zamknietego Stąd pożądane położenie wartości własnych systemu zamkniętego dyskretnego Pożądany wielomian charakterystyczny systemu zamkniętego Wielomian charakterystyczny macierzy stanu (zastosujemy wzór Ackermann’a) Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 47

Teoria sterowania 2014/2015 Sterowanie – działanie całkujące Sprawdzamy sterowalność systemu otwartego (możemy skorzystać z funkcji ctrb MATLAB’a) Wyznacznik macierzy sterowalności Złe uwarunkowanie numeryczne! Zastosujemy (jednak) wzór Ackermann’a do obliczenia macierzy wzmocnień sprzężenia zwrotnego od stanu (możemy wykorzystać np. funkcję acker MATLAB’a) Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 48

Teoria sterowania 2014/2015 Sterowanie – działanie całkujące Sprawdzimy wartości własne systemu zamkniętego (sprawdzenie wpływu uwarunkowania numerycznego na wynik obliczenia macierzy wzmocnień) Uzyskany wynik wskazuje, że odwracanie macierzy (wzór Ackermann’a) odbyło się beż numerycznych problemów z powodu złego uwarunkowania Problemy mogą jednak pojawić się, jeżeli wyznacznik będzie zbyt mały Np. dla Powtarzając powyższą procedurę dostaniemy macierz sterowalności o wyznaczniku Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 49

Teoria sterowania 2014/2015 Sterowanie – działanie całkujące Macierz wzmocnień dla tego przypadku Wzmocnienia do kilku tysięcy razy większe niż poprzednio! Problemy … Symulacja Zerowe warunki początkowe Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 50

Teoria sterowania 2014/2015 Sterowanie – działanie całkujące Wyniki symulacji Amplituda odpowiedzi! Numer próbki Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 51

Teoria sterowania 2014/2015 Sterowanie – działanie całkujące Dla uzyskania odpowiedniej amplitudy odpowiedzi wyjścia zastosujemy rozwiązanie z działaniem całkującym System rozszerzony Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 52

Teoria sterowania 2014/2015 Sterowanie – działanie całkujące Rozważymy dwa przypadki Przypadek 1. Zastosujemy wybór wartości własnych jak poprzednio i wyznaczymy macierze wzmocnień za pomocą wzoru Ackermann’a Przypadek 2. Aby zmniejszyć wartości wzmocnień przesuwamy dyskretne wartości własne dalej od początku układu współrzędnych i wyznaczymy macierze wzmocnień za pomocą wzoru Ackermann’a Np. Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 53

Teoria sterowania 2014/2015 Sterowanie – działanie całkujące Wyniki symulacji (wymuszenie: skok o amplitudzie 0. 1) Przypadek 1 Przypadek 2 Numer próbki Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 54

Teoria sterowania 2014/2015 Sterowanie – działanie całkujące Wyniki symulacji (wymuszenie: skok o amplitudzie 0. 1) Przypadek 1 Przypadek 2 Numer próbki Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 55

Teoria sterowania 2014/2015 Sterowanie – działanie całkujące Dziękuję za uczestnictwo w wykładzie i uwagę Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 56