Teoria sterowania SN Sterowanie ze sprzeniem od stanu

Teoria sterowania - SN Sterowanie ze sprzężeniem od stanu 2 Sterowanie ze sprzężeniem od stanu – metoda alokacji biegunów Użycie obserwatorów pełnych Zastosowanie sprzężenia zwrotnego od stanu wymaga dostępu do wektora stanu w przypadku systemu ciągłego lub w przypadku systemu dyskretnego Nie zawsze jest to możliwe – konieczna staje się rekonstrukcja stanu w oparciu o wszystko, co jest dostępne Dwa punkty widzenia zasługują na rozważenie 1. Czysto deterministyczny 2. Stochastyczny Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 1

Teoria sterowania - SN Sterowanie ze sprzężeniem od stanu 2 1. Deterministyczne podejście Rozważa się dwa przypadki Przypadek ciągły Dlaczego np. nie wyznaczyć wektora bo oraz Przypadek dyskretny z równania wyjścia są dostępne? Powody: 1. Odwracalność 2. Istnienie szumów pomiarowych Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 2

Teoria sterowania - SN Sterowanie ze sprzężeniem od stanu 2 Sformułowanie problemu: Korzystając z posiadanej wiedzy o systemie, konkretnie z znajomości parametrów systemu lub znaleźć system liniowy, który w oparciu o znane wartości i będzie dostarczał przybliżoną (aproksymowaną) wartość estymatę stanu , System taki nazywany jest rekonstruktorem stanu lub obserwatorem Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 3

Teoria sterowania - SN Sterowanie ze sprzężeniem od stanu 2 2. Stochastyczne podejście Przyjmujemy, że system podlega działaniu szumów pomiarowych oraz przypadkowych zakłóceń Rozważa się dwa przypadki Przypadek ciągły gdzie, Przypadek dyskretny - wektor przypadkowych zakłóceń wpływających na zmienne stanu, a - wektor przypadkowych szumów wpływających na pomiary Stan systemu i wyjście systemu stają się procesami stochastycznymi lub sekwencjami stochastycznymi wskutek występowania odpowiednio w równaniach stanu i wyjścia składników przypadkowych Notacja: duże pogrubione litery odnoszące się do sygnałów takie jaki oznaczają zmienne przypadkowe, małe pogubione litery odnoszące się do sygnałów takie jak oznaczają szczególne deterministyczne ich realizacje Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 4

Teoria sterowania - SN Sterowanie ze sprzężeniem od stanu 2 Problem rekonstrukcji stanu w tym podejściu nazywany jest problemem filtracji liniowej Sformułowanie problemu: Korzystając z posiadanej wiedzy o systemie, konkretnie z znajomości parametrów systemu lub oraz danych statystycznych szumach i zakłóceniach (rozkłady prawdopodobieństwa, średnie, wariancje) i znaleźć system liniowy o wejściach i , który na wyjściu da estymatę tak bliską jak to możliwe nieznanemu stanowi System taki nazywany jest filtrem. Optymalne rozwiązanie tak sformułowanego problemu w sensie minimalnej wariancji błędu estymacji jest nazywane filtrem Kalman’a Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 5

Teoria sterowania - SN Sterowanie ze sprzężeniem od stanu 2 Pełny lub n-tego rzędu obserwator (Luenberger’a) Idea pełnego obserwatora Będziemy zakładali, jak poprzednio Przypadek ciągły Podstawowa idea obserwatora Luenberger’a polega na dołączeniu do rozważanego stacjonarnego systemu liniowego, innego stacjonarnego systemu liniowego na który podawane są sygnały oraz i który musi dostarczać na swoim wyjściu przybliżoną wartość stanu Przyjmuje się następującą postać obserwatora gdzie, - macierz wzmocnień obserwatora o wymiarach Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 6

Teoria sterowania - SN Sterowanie ze sprzężeniem od stanu 2 Zadaniem składnika błędu jest powodować zdążanie estymaty stanu do jej rzeczywistej wartości Nie ma powodu, aby wymagać, że w chwili stan początkowy obserwatora był równy stanowi początkowemu obserwowanego systemu, czyli Wymagać należy, aby Zdefiniujemy błąd estymacji Wielkość będzie dobrą estymatą jeżeli Dla oceny wpływu tego wymagania na wybór macierzy tworzymy równanie dynamiki błędu estymacji Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. , o wymiarze (nxq) , obserwatora Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 7

Teoria sterowania - SN Warunek Sterowanie ze sprzężeniem od stanu 2 generuje wymaganie asymptotycznej stabilności dla systemu błędu estymacji Równanie dynamiki błędu estymacji możemy zapisać gdzie, Rozwiązanie równania dynamiki błędu estymacji Jeżeli wartości własne macierzy zespolonej, to leżą w lewej półpłaszczyźnie płaszczyzny i przybliżona wartość zdąża asymptotycznie do wartości rzeczywistej Tak skonstruowany obserwator nosi nazwę obserwatora Luenberger’a (ciągłego) Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 8

Teoria sterowania - SN Sterowanie ze sprzężeniem od stanu 2 Schemat blokowy systemu i jego obserwatora System Obserwator Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 9

Teoria sterowania - SN Sterowanie ze sprzężeniem od stanu 2 Przypadek dyskretny Dla systemu Przyjmuje się następującą postać obserwatora gdzie, - macierz wzmocnień obserwatora o wymiarach Zdefiniujemy błąd estymacji oraz równanie dynamiki błędu estymacji Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 10

Teoria sterowania - SN Sterowanie ze sprzężeniem od stanu 2 Równanie dynamiki błędu estymacji możemy zapisać gdzie, Rozwiązanie równani dynamiki błędu estymacji Jeżeli wartości własne macierzy zespolonej, to leżą w okręgu jednostkowym płaszczyzny i przybliżona wartość zdąża asymptotycznie do wartości rzeczywistej Tak skonstruowany obserwator nosi nazwę obserwatora Luenberger’a (dyskretnego) Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 11

Teoria sterowania - SN Sterowanie ze sprzężeniem od stanu 2 Synteza pełnego obserwatora Projekt obserwatora obejmuje dwa kroki 1. Wartości własne macierzy są wybierane: a. dla przypadku ciągłego w lewej półpłaszczyźnie płaszczyzny zespolonej; ogólnie na lewo od tych jakie zostały wybrane przy projektowaniu sterowania ze sprzężeniem zwrotnym od stanu, czyli na lewo od wartości własnych , aby zapewnić szybsze zanikanie procesów przejściowych obserwatora niż systemu zamkniętego; wybrane wartości własne nie powinny jednak dawać zbyt szybkich procesów przejściowych, gdyż wówczas obserwator będzie miał tendencję wzmacniania wysokoczęstotliwościowych szumów b. dla przypadku dyskretnego w wewnątrz okręgu jednostkowego płaszczyzny zespolonej; ogólnie bliżej początku układu współrzędnych niż te jakie zostały wybrane przy projektowaniu sterowania ze sprzężeniem zwrotnym od stanu, czyli bliżej od wartości własnych , aby zapewnić szybsze zanikanie procesów przejściowych obserwatora niż systemu zamkniętego; wybrane wartości własne nie powinny jednak dawać zbyt szybkich procesów przejściowych, gdyż wówczas obserwator będzie miał tendencję wzmacniania wysokoczęstotliwościowych szumów Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 12

Teoria sterowania - SN 2. Macierz Sterowanie ze sprzężeniem od stanu 2 jest tak wyznaczana, aby rzeczywiście a. dla przypadku ciągłego macierz b. dla przypadku dyskretnego macierz miała wartości własne wybrane w kroku 1 Niech wielomian a. dla przypadku ciągłego: b. dla przypadku dyskretnego: będzie wielomianem charakterystycznym tej macierzy mającym takie wartości własne Dalej dla skrócenia będziemy kontynuować rozważanie tylko przypadku ciągłego Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 13

Teoria sterowania - SN Musimy zatem wyznaczyć macierz Sterowanie ze sprzężeniem od stanu 2 tak, aby a zatem Ponieważ dla dowolnej macierzy zachodzi możemy napisać Wyznaczanie macierzy L Podobieństwo z problemem wyznaczania macierzy wzmocnień sprzężenia zwrotnego od stanu Synteza sterowania ze sprzężeniem zwrotnym od stanu Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Synteza obserwatora Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 14

Teoria sterowania - SN Sterowanie ze sprzężeniem od stanu 2 Korzystając z tego podobieństwa Ponieważ dla dowolnej macierzy zachodzi możemy napisać co dokładnie oznacza: Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 15

Teoria sterowania - SN Sterowanie ze sprzężeniem od stanu 2 Możemy podać warunki istnienia macierzy wzmocnień obserwatora Synteza sterowania ze sprzężeniem zwrotnym od stanu Synteza obserwatora Macierz wzmocnień istnieje, jeżeli system jest sterowalny jest obserwowalny Problem syntezy obserwatora jest problemem dualnym do problemu syntezy sterowania ze sprzężeniem zwrotnym od stanu Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 16

Teoria sterowania - SN Sterowanie ze sprzężeniem od stanu 2 Sterowanie ze sprzężeniem od stanu – metoda alokacji biegunów Użycie obserwatorów zredukowanych Pełny lub n-tego rzędu obserwator (Luenberger’a) – redundancja informacyjna Pewna liczba zmiennych stanu dostępna poprzez zakładany pomiar wyjść Będziemy zakładali, jak poprzednio Przypadek ciągły Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 17

Teoria sterowania - SN Sterowanie ze sprzężeniem od stanu 2 Wyprowadzenie I Zakładamy: q mierzonych wyjść są liniowo niezależne – macierz C ma rząd q Zakładamy też: macierz C o wymiarze qxn ma postać lub można ją sprowadzić do postaci (przez przekształcenie podobieństwa – zmianę bazy) Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 18

Teoria sterowania - SN Sterowanie ze sprzężeniem od stanu 2 Dekompozycja Biorąc pod uwagę postać macierzy C można napisać równanie stanu w postaci Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 19

Teoria sterowania - SN Sterowanie ze sprzężeniem od stanu 2 lub Równanie wyjścia staje się oczywiście tożsamością (tautologią) Przy czym pamiętamy Wystarczy teraz estymować tylko v (n -q – elementów) Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 20

Teoria sterowania - SN Sterowanie ze sprzężeniem od stanu 2 Idea rekonstrukcji Ponieważ Wartość jest dostępne pomiarowo, to również jest mierzalna Podane równania możemy tratować jako równania stanu i równania pomiarów, w których - wektor stanu - wektor wejścia - wektor wyjścia (pomiaru) Równanie stanu i pomiaru zredukowanego systemu piszemy w postaci Odpowiada to równaniom: Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 21

Teoria sterowania - SN Sterowanie ze sprzężeniem od stanu 2 Budujemy pełny obserwator Luenbergera, ale rzędu n-q, który nazywamy obserwatorem zredukowanym Oznaczymy macierz wzmocnień obserwatora zredukowanego o wymiarze (n-q)xq Równanie stanu obserwatora zredukowanego przyjmujemy: Wyprowadzenie szczegółowej postaci obserwatora zredukowanego Bezpośrednio mierzy się y, występowanie pochodnej jest niekorzystne – wprowadza się zmienną Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 22

Teoria sterowania - SN Sterowanie ze sprzężeniem od stanu 2 Podstawiając do ostatniego wyniku otrzymamy nowe równanie obserwatora zredukowanego lub Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 23

Teoria sterowania - SN Sterowanie ze sprzężeniem od stanu 2 Odpowiada im schemat blokowy obserwatora zredukowanego Ponieważ v ma wymiar (n-q), więc również z ma wymiar (n-q) i jest dobrze określonym obserwatorem zredukowanym tego rzędu Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 24

Teoria sterowania - SN Sterowanie ze sprzężeniem od stanu 2 Warunki dla obliczenia macierzy wzmocnień obserwatora zredukowanego Jak poprzednio definiujemy błąd rekonstrukcji obserwatora (błąd estymacji) Warunek dobrego estymatora Weźmy zredukowane równanie stanu systemu i początkowe równanie obserwatora zredukowanego Równanie dynamiki błędu obserwatora zredukowanego Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 25

Teoria sterowania - SN Sterowanie ze sprzężeniem od stanu 2 Macierz stanu jednorodnego równania dynamiki błędu obserwatora Wymagana obserwowalność pary Lemat. Jeżeli para , to para też jest obserwowalna Twierdzenie. Mając dany liniowy stacjonarny system rzędu n, który posiada q liniowo niezależnych wyjść (pomiarów wyjść) i jest obserwowalny, można skonstruować obserwator rzędu (n-q) mający dowolne wartości własne Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 26

Teoria sterowania - SN Sterowanie ze sprzężeniem od stanu 2 Przeprowadzona konstrukcja wyznacza jeden obserwator tego typu, który posiada jako macierz systemu Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 27

Teoria sterowania - SN Sterowanie ze sprzężeniem od stanu 2 Sterowalność - osiągalność Sterowalność określa możliwości wpływania na stan (lub wyjście) systemu odpowiednim ukształtowaniem wejścia Ogólnie wyróżnia się dwa określenia sterowalności: 1. Sterowalność do początku (controllability-to-the-origin), nazywana krócej sterowalnością (controllability) 2. Sterowalność od początku (controllability-from-the-origin), nazywana krócej osiągalnością (reachability) Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 28

Teoria sterowania - SN Sterowanie ze sprzężeniem od stanu 2 Systemy ciągłe Sterowalność stanu Stan sterowalny Stan systemu liniowego jest sterowalny, jeżeli można system przeprowadzić z tego stanu do stanu za pomocą odpowiedniego sterowania w skończonym czasie Jeżeli każdy stan jest sterowalny, mówimy, że system jest całkowicie sterowalny lub krócej sterowalny Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 29

Teoria sterowania - SN Sterowanie ze sprzężeniem od stanu 2 Sterowalność systemu System sterowalny System liniowy jest sterowalny w skończonym przedziale czasu , jeżeli istnieje wejście , które przeprowadzi system z dowolnego stanu do stanu zerowego Jeżeli istnieje chociaż jeden stan systemu na który nie można oddziaływać przez jakiekolwiek wejście systemu, wówczas system jest niesterowalny Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 30

Teoria sterowania - SN Sterowanie ze sprzężeniem od stanu 2 Sterowalność systemu ciągłego liniowego stacjonarnego - test System liniowy stacjonarny jest sterowalny wtedy i tylko wtedy, gdy macierz sterowalności, nazywana macierzą sterowalności Kalmana ma rząd n, tzn. rząd systemu Wymiar macierzy sterowalności: nxnp; n – wymiar stanu, p – wymiar wejścia Dla p=1 macierz sterowalności jest macierzą kwadratową i dla sprawdzenia sterowalności wystarczy sprawdzić nieosobliwość macierzy sterowalności Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 31

Teoria sterowania - SN Sterowanie ze sprzężeniem od stanu 2 Sterowalność a przekształcenia podobieństwa Sterowalność zostaje zachowana podczas transformacji podobieństwa Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 32

Teoria sterowania - SN Sterowanie ze sprzężeniem od stanu 2 Osiągalność stanu Stan osiągalny Stan systemu liniowego jest osiągalny, jeżeli można system przeprowadzić do tego stanu ze stanu za pomocą odpowiedniego sterowania w skończonym czasie Jeżeli każdy stan jest osiągalny, mówimy, że system jest całkowicie osiągalny lub krócej osiągalny Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 33

Teoria sterowania - SN Sterowanie ze sprzężeniem od stanu 2 Osiągalność systemu System osiągalny System liniowy Jest osiągalny w skończonym przedziale czasu , jeżeli istnieje wejście , które przeprowadzi system do dowolnego stanu zerowego Jeżeli istnieje chociaż jeden stan systemu, który nie jest osiągalny, wówczas system jest nieosiągalny Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 34

Teoria sterowania - SN Sterowanie ze sprzężeniem od stanu 2 Dla systemów ciągłych sterowalność i osiągalność są równoważne Osiągalność systemu ciągłego liniowego stacjonarnego System liniowy stacjonarny jest osiągalny wtedy i tylko wtedy, gdy macierz osiągalności, nazywana macierzą osiągalności Kalmana ma rząd n, tzn. rząd systemu Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 35

Teoria sterowania - SN Sterowanie ze sprzężeniem od stanu 2 Systemy dyskretne Można wskazać systemy dyskretne posiadające cechę sterowalności, ale nie posiadające cechy osiągalności Uzasadnione jest zatem w odniesieniu stwierdzać posiadanie cechy osiągalności do systemów dyskretnych W ogólności zatem System dyskretny sterowalny system dyskretny osiągalny Implikacja ta zachodzi dla przypadków, gdy AD jest osobliwa, w przeciwnym przypadku podobnie jak dla systemów ciągłych: System dyskretny sterowalny Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. system dyskretny osiągalny Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 36

Teoria sterowania - SN Sterowanie ze sprzężeniem od stanu 2 Osiągalność stanu Stan osiągalny Stan systemu liniowego jest osiągalny, jeżeli można system przeprowadzić do tego stanu ze stanu za pomocą odpowiedniego sterowania w skończonym czasie Jeżeli każdy stan jest osiągalny, mówimy, że system jest całkowicie osiągalny lub krócej osiągalny Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 37

Teoria sterowania - SN Sterowanie ze sprzężeniem od stanu 2 Osiągalność systemu dyskretnego liniowego stacjonarnego Twierdzenie: System liniowy stacjonarny jest osiągalny wtedy i tylko wtedy, gdy macierz osiągalności, nazywana macierzą osiągalności Kalmana ma rząd n, tzn. rząd systemu Wymiar macierzy osiągalności: nxnp; n – wymiar stanu, p – wymiar wejścia Dla p=1 macierz osiągalności jest macierzą kwadratową i dla sprawdzenia osiągalności wystarczy sprawdzić nieosobliwość macierzy osiągalności Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 38

Teoria sterowania - SN Sterowanie ze sprzężeniem od stanu 2 Dla systemów dyskretnych sterowalność i osiągalność nie są równoważne Sterowalność systemu dyskretnego liniowego stacjonarnego Twierdzenie: System liniowy stacjonarny jest sterowalny wtedy, gdy macierz sterowalności, nazywana macierzą sterowalności Kalmana ma rząd n, tzn. rząd systemu Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 39

Teoria sterowania - SN Sterowanie ze sprzężeniem od stanu 2 Obserwowalność i odtwarzalność System ciągły System dyskretny Obserwowalność/odtwarzalność określa możliwość jednoznacznego określenia stanu systemu w oparciu pomiary przez skończony przedział czasu sygnałów wejścia i wyjścia Znaczenie: znajomość stanu początkowego i wejścia systemu pozwala zrekonstruować całą trajektorię stanu w oparciu o równania stanu Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 40

Teoria sterowania - SN Sterowanie ze sprzężeniem od stanu 2 Systemy ciągłe Obserwowalność stanu Stan obserwowalny Stan systemu liniowego jest obserwowalny jeżeli można go określić znając wyjście skończonego przedziału, dla chwil ze Jeżeli każdy stan jest obserwowalny, mówimy, że system jest całkowicie obserwowalny lub krócej obserwowalny Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 41

Teoria sterowania - SN Sterowanie ze sprzężeniem od stanu 2 Obserwowalność systemu ciągłego liniowego stacjonarnego Twierdzenie: System liniowy stacjonarny jest obserwowalny wtedy i tylko wtedy, gdy macierz obserwowalności, nazywana macierzą obserwowalności Kalmana ma rząd n, tzn. rząd systemu Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 42

Teoria sterowania - SN Sterowanie ze sprzężeniem od stanu 2 Wymiar macierzy obserwowalnośći: nqxn; n – wymiar stanu, q – wymiar wyjścia Dla q=1 macierz obserwowalności jest macierzą kwadratową i dla sprawdzenia obserwowalności wystarczy sprawdzić nieosobliwość macierzy obserwowalności Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 43

Teoria sterowania - SN Sterowanie ze sprzężeniem od stanu 2 Obserwowalność a przekształcenia podobieństwa Obserwowalność podobieństwa Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. zostaje zachowana podczas transformacji Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 44

Teoria sterowania - SN Sterowanie ze sprzężeniem od stanu 2 Odtwarzalność stanu Stan odtwarzalny Stan systemu liniowego jest odtwarzalny jeżeli można go określić znając wyjście skończonego przedziału, dla chwil ze Jeżeli każdy stan jest odtwarzalny, mówimy, że system jest całkowicie odtwarzalny lub krócej odtwarzalny Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 45

Teoria sterowania - SN Sterowanie ze sprzężeniem od stanu 2 Dla systemów ciągłych obserwowalność i odtwarzalność są równoważne Odtwarzalność systemu ciągłego liniowego stacjonarnego Twierdzenie: System liniowy stacjonarny jest odtwarzalny wtedy i tylko wtedy, gdy macierz odtwarzalnośći, nazywana macierzą odtwarzalności Kalmana ma rząd n, tzn. rząd systemu Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 46

Teoria sterowania - SN Sterowanie ze sprzężeniem od stanu 2 Systemy dyskretne Obserwowalność stanu Stan obserwowalny Stan systemu liniowego jest obserwowalny jeżeli można go określić znając wyjście skończonego przedziału, dla chwil ze Jeżeli każdy stan jest obserwowalny, mówimy, że system jest całkowicie obserwowalny lub krócej obserwowalny Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 47

Teoria sterowania - SN Sterowanie ze sprzężeniem od stanu 2 Obserwowalność systemu dyskretnego liniowego stacjonarnego Twierdzenie: System liniowy stacjonarny jest obserwowalny wtedy i tylko wtedy, gdy macierz obserwowalności, nazywana macierzą obserwowalności Kalmana ma rząd n, tzn. rząd systemu Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 48

Teoria sterowania - SN Sterowanie ze sprzężeniem od stanu 2 Dla systemów dyskretnych obserwowalność i odtwarzalność nie są równoważne Odtwarzalność systemu dyskretnego liniowego stacjonarnego Twierdzenie: System liniowy stacjonarny jest odtwarzalny wtedy, gdy macierz odtwarzalności, nazywana macierzą odtwarzalności Kalmana ma rząd n, tzn. rząd systemu Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 49

Teoria sterowania - SN Sterowanie ze sprzężeniem od stanu 2 Dekompozycja Kalmana systemów niesterowalnych i nieobserwowalnych Przykład 1 Mamy system Liniowy, stacjonarny, 1 – wejście, 1 - wyjście Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 50

Teoria sterowania - SN Sterowanie ze sprzężeniem od stanu 2 Transmitancja Zera i bieguny transmitancji Transmitancja po redukcji Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 51

Teoria sterowania - SN Sterowanie ze sprzężeniem od stanu 2 Transformacja do postaci diagonalnej Schemat blokowy modelu w nowej przestrzeni stanu Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 52

Teoria sterowania - SN Sterowanie ze sprzężeniem od stanu 2 Cztery różne statusy zmiennych stanu: - v 1 można na niego wpływać sterowaniem u i można go obserwować z wyjścia y - v 2 nie można na niego wpływać sterowaniem u, ale można go obserwować z wyjścia y - v 3 można na niego wpływać sterowaniem u, ale nie można go obserwować z wyjścia y - v 4 nie można na niego wpływać sterowaniem u, ani nie można go obserwować z wyjścia y Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 53

Teoria sterowania - SN Sterowanie ze sprzężeniem od stanu 2 Można wyróżnić cztery podsystemy: - związany ze zmienną stanu v 1 sterowalny i obserwowalny - związany ze zmienną stanu v 2 niesterowalny, ale obserwowalny - związany ze zmienną stanu v 3 sterowalny, ale nieobserwowalny - związany ze zmienną stanu v 4 niesterowalny i nieobserwowalny Stany niesterowalne i nieobserwowalne mogą być alb stabilne, albo niestabilne System, którego wszystkie stany niesterowalne są stabilne jest nazywany stabilizowalnym System, którego wszystkie stany nieobserwowalne są stabilne jest nazywany wykrywalnym Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 54

Teoria sterowania - SN Sterowanie ze sprzężeniem od stanu 2 Dekompozycja na podprzestrzenie sterowalne/osiągalne Dekompozycja na podprzestrzenie obserwowalne/odtwarzalne Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 55

Teoria sterowania - SN Sterowanie ze sprzężeniem od stanu 2 Dziękuję za uczestnictwo w wykładzie i uwagę Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 56