Teoria sterowania 20152016 Przygotowanie do Teorii Sterowania IV

Teoria sterowania 2015/2016 Przygotowanie do Teorii Sterowania (IV) Teoria sterowania Automatyka i Robotyka - studia stacjonarne II stopnia Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. Inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Wykład 4 - 2015/2016 Przygotowanie do teorii sterowania IV Stabilność systemu dynamicznego © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 1

Teoria sterowania 2015/2016 Przygotowanie do Teorii Sterowania (IV) Stabilność to jedno z najważniejszych pojęć dynamiki systemów i teorii sterowania W większości przypadków, stabilność jest warunkiem koniecznym praktycznego zastosowania systemu Interesujemy się stabilnością systemu, bo chcemy: ustabilizować system niestabilny uczynić „bardziej” stabilnym system stabilny Istnieje kilka definicji stabilności – większość z nich odwołuje się do pojęcia punktu/stanu równowagi © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 2

Teoria sterowania 2015/2016 Przygotowanie do Teorii Sterowania (IV) Dla systemów opisanych równaniem stanu System ciągły System dyskretny jest punktem/stanem równowagi, jeżeli mówimy, że punkt/stan jest stanem systemu dla pewnej chwili początkowej t 0 lub k 0 i pozostaje nim dla wszystkich chwil następnych przy zerowej wartości wejścia To oznacza, że spełnia równanie System ciągły System dyskretny Inaczej: system znajdujący się w stanie równowagi pozostanie w nim, jeżeli nie będzie na niego oddziaływać żadne wejście © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 3

Teoria sterowania 2015/2016 Przygotowanie do Teorii Sterowania (IV) Uwaga 1: Istnienie stanu równowagi dla systemu nie zapewnia jego stabilności Niestabilny stan równowagi Stabilny stan równowagi Uwaga 2: Stan równowagi a stan stacjonarny System ciągły – stan równowagi System dyskretny – stan równowagi System ciągły – stan stacjonarny System dyskretny – stan stacjonarny © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 4

Teoria sterowania 2015/2016 Przygotowanie do Teorii Sterowania (IV) Dla systemu liniowego stan równowagi może być znaleziony przez rozwiązanie równania System ciągły System dyskretny jest zawsze stanem równowagi systemu liniowego, ale Wniosek: stan mogą istnieć również inne stany równowagi Stan jest jedynym stanem równowagi systemu liniowego, jeżeli System ciągły Macierz jest nieosobliwa dla wszystkich wartości System dyskretny Macierz jest nieosobliwa dla wszystkich wartości Taki stan równowagi nazywamy odosobnionym/izolowanym (ang. isolated) stanem równowagi © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 5

Teoria sterowania 2015/2016 Przygotowanie do Teorii Sterowania (IV) Jeżeli, System ciągły System dyskretny Macierz ma co najmniej jedną wartość własną równą zero dla dowolnej wartości Macierz ma co najmniej jedną wartość własną równą jeden dla dowolnej wartości system dynamiczny liniowy ma nieskończenie wiele stanów równowagi W takim przypadku możemy napisać, że stan równowagi spełnia równanie System ciągły System dyskretny co pokazuje, że nieskończenie wiele wektorów własnych postaci jest stanami równowagi © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 6

Teoria sterowania 2015/2016 Przygotowanie do Teorii Sterowania (IV) Formalne definicje stabilności podamy dla systemów ciągłych, lecz są one poprawne również dla systemów dyskretnych (zamiana czasu ciągłego t na dyskretny k Stabilność Stan jest stanem stabilnym równowagi dla chwili istnieje wartość wówczas , jeżeli dla dowolnej taka, że jeżeli dla wszystkich Stan , który jest stabilny w powyższym sensie jest nazywany stabilnym w sensie Lapunowa’a Jeżeli dla stabilności w powyższym sensie wartość wyboru chwili to stan © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. jest niezależna od nazywamy jednorodnie stabilnym Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 7

Teoria sterowania 2015/2016 Przygotowanie do Teorii Sterowania (IV) Niestabilność Stan jest stanem niestabilnym równowagi dla chwili , jeżeli nie jest on stabilny © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 8

Teoria sterowania 2015/2016 Przygotowanie do Teorii Sterowania (IV) Ilustracja stabilności dla systemu rzędu drugiego © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 9

Teoria sterowania 2015/2016 Przygotowanie do Teorii Sterowania (IV) Stabilność asymptotyczna Stan jest stanem asymptotycznie stabilnym równowagi dla chwili , jeżeli jest stabilny (w sensie Lapunowa) i jeżeli istnieje wartość taka, że jeżeli wówczas Jeżeli dla stabilności w powyższym sensie wartość wyboru chwili stabilnym to stan jest niezależna od nazywamy jednorodnie asymptotycznie Ilustracja asymptotycznej stabilności dla systemu rzędu drugiego © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 10

Teoria sterowania 2015/2016 Przygotowanie do Teorii Sterowania (IV) Podane definicje stabilności dotyczą stabilności wewnętrznej – sformułowane dla zerowych wartości wejścia Stabilność zewnętrzna - definicje Stabilność BIBO Jeżeli jakiekolwiek wejście systemu spełniające warunek (tzn. wejście jest ograniczone) dla wszystkich wywołuje wyjście systemu spełniające warunek dla wszystkich , wówczas system jest stabilny w sensie ograniczone-wejście-ograniczone-wyjście (ang. bounded-input-bounded-output, BIBO) © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 11

Teoria sterowania 2015/2016 Przygotowanie do Teorii Sterowania (IV) Przełożenie (bez dowodów) podanych warunków stabilności dla systemu liniowego stacjonarnego ciągłego; ograniczymy się do stanu równowagi Stabilność wewnętrzna Stabilność (w sensie Lapunow’a) Stan systemu liniowego stacjonarnego jest stabilny w sensie Lapunow’a wtedy i tylko wtedy, gdy wartości własne macierzy systemu mają niedodatnie części rzeczywiste i jeżeli wartości własne leżące na osi urojonej (mające zerowe części rzeczywiste) są jednokrotne (nie powtarzają się) Stabilność asymptotyczna Stan systemu liniowego stacjonarnego jest globalnie asymptotycznie stabilny wtedy i tylko wtedy, gdy wartości własne macierzy systemu mają ujemne części rzeczywiste © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 12

Teoria sterowania 2015/2016 Przygotowanie do Teorii Sterowania (IV) Przykłady zastosowania metody wartości własnych do badania stabilności Patrz: Dodatek A © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 13

Teoria sterowania 2015/2016 Przygotowanie do Teorii Sterowania (IV) Przełożenie (bez dowodów) podanych warunków stabilności dla systemu liniowego stacjonarnego dyskretnego; ograniczymy się do stanu równowagi Stabilność wewnętrzna Stabilność (w sensie Lapunow’a) Stan systemu liniowego stacjonarnego jest stabilny w sensie Lapunow’a wtedy i tylko wtedy, gdy wartości własne macierzy systemu nie leżą na zewnątrz okręgu jednostkowego i jeżeli wartości własne leżące na okręgu jednostkowym są jednokrotne Stabilność asymptotyczna Stan systemu liniowego stacjonarnego jest globalnie asymptotycznie stabilny wtedy i tylko wtedy, gdy wartości własne macierzy systemu leżą ściśle wewnątrz okręgu jednostkowego © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 14

Teoria sterowania 2015/2016 Przygotowanie do Teorii Sterowania (IV) Stabilność zewnętrzna – kryteria Przełożenie (bez dowodów) podanych warunków stabilności BIBO na kryteria dla systemu liniowego stacjonarnego ciągłego i dyskretnego Stabilność BIBO – system ciągły System ciągły liniowy stacjonarny jest opisany równaniem stanu i równaniem wyjścia jest BIBO stabilny wtedy i tylko wtedy, gdy bieguny macierzy transmitancji leżą ściśle w lewej półpłaszczyźnie zespolonej Stabilność BIBO – system dyskretny System dyskretny liniowy stacjonarny jest opisany równaniem stanu i równaniem wyjścia jest BIBO stabilny wtedy i tylko wtedy, gdy bieguny macierzy transmitancji leżą ściśle wewnątrz okręgu jednostkowego Przykład spełniania kryteriów stabilności wewnętrznej i zewnętrznej Dodatek B © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 15

Teoria sterowania 2015/2016 Przygotowanie do Teorii Sterowania (IV) Ilustracja związków sterowalności i obserwowalności systemów ciągłych oraz ich stabilności Przykład 1. Rozważmy system SISO Policzmy macierz tranzycji Przyjmijmy zerowe warunki początkowe i skokowe wejście poza tym © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 16

Teoria sterowania 2015/2016 Przygotowanie do Teorii Sterowania (IV) Korzystając z macierzy tranzycji możemy policzyć odpowiedź stanu dla zerowych warunków początkowych © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 17

Teoria sterowania 2015/2016 Przygotowanie do Teorii Sterowania (IV) oraz odpowiedź wyjścia dla zerowych warunków początkowych © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 18

Teoria sterowania 2015/2016 Przygotowanie do Teorii Sterowania (IV) Odpowiedź wyjścia stabilizuje się © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 19

Teoria sterowania 2015/2016 Przygotowanie do Teorii Sterowania (IV) ale odpowiedź stanu wykazuje niestabilność Złe zachowanie stanu zostało „ukryte” na wyjściu – nie jest widoczne na wyjściu © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 20

Teoria sterowania 2015/2016 Przygotowanie do Teorii Sterowania (IV) Zbadajmy obserwowalność systemu Mamy n=2, p=1 oraz Zatem System jest nieobserwowalny © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 21

Teoria sterowania 2015/2016 Przygotowanie do Teorii Sterowania (IV) Zmieńmy warunki początkowe Wyjście systemu dla tych warunków początkowych Takie samo jak dla zerowych w. p. © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 22

Teoria sterowania 2015/2016 Przygotowanie do Teorii Sterowania (IV) Twierdzenie Niech będzie dany system liniowy stacjonarny SISO i niech będą wejściami odcinkami ciągłymi oraz są określone przez i Następujące stwierdzenia są równoważne (i) są obserwowalne (ii) © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 23

Teoria sterowania 2015/2016 Przygotowanie do Teorii Sterowania (IV) Przykład 2. Rozważmy system SISO Zbadajmy obserwowalność systemu Mamy n=2, p=1 oraz © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 24

Teoria sterowania 2015/2016 Przygotowanie do Teorii Sterowania (IV) Zatem rank Mo = 2 – system jest obserwowalny Policzmy macierz tranzycji © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 25

Teoria sterowania 2015/2016 Przygotowanie do Teorii Sterowania (IV) Korzystając z macierzy tranzycji możemy policzyć odpowiedź stanu dla zerowych warunków początkowych i skokowego wejścia oraz odpowiedź wyjścia dla zerowych warunków początkowych i skokowego wejścia © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 26

Teoria sterowania 2015/2016 Przygotowanie do Teorii Sterowania (IV) Zmieńmy warunki początkowe z zerowych na Odpowiedź stanu dla nowych warunków początkowych i skokowego wejścia © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 27

Teoria sterowania 2015/2016 Przygotowanie do Teorii Sterowania (IV) Odpowiedź wyjścia systemu dla nowych warunków początkowych © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 28

Teoria sterowania 2015/2016 Przygotowanie do Teorii Sterowania (IV) Odpowiedź wyjścia systemu Odpowiedź stanu systemu © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 29

Teoria sterowania 2015/2016 Przygotowanie do Teorii Sterowania (IV) Równania stanu Zbadajmy sterowalność systemu n=2 System jest niesterowalny © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 30

Teoria sterowania 2015/2016 Przygotowanie do Teorii Sterowania (IV) Przykład 3. Rozważmy system SISO Zbadajmy obserwowalność systemu Mamy n=2, p=1 oraz © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 31

Teoria sterowania 2015/2016 Przygotowanie do Teorii Sterowania (IV) Zatem rank Mo = 2 – system jest obserwowalny Zbadajmy sterowalność systemu n=2, r=1 rank Mc = 2 – system jest sterowalny © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 32

Teoria sterowania 2015/2016 Przygotowanie do Teorii Sterowania (IV) Policzmy macierz tranzycji Zadajmy wejście Odpowiedź stanu (zerowe w. p. ) © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Odpowiedź wyjścia (zerowe w. p. ) Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 33

Teoria sterowania 2015/2016 Przygotowanie do Teorii Sterowania (IV) Odpowiedź wyjścia (zerowe w. p. ) Odpowiedź stanu (zerowe w. p. ) System jest nieminimalnofazowy © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 34

Teoria sterowania 2015/2016 Przygotowanie do Teorii Sterowania (IV) Dziękuję za uczestnictwo w wykładzie i uwagę © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 35

Teoria sterowania 2015/2016 Przygotowanie do Teorii Sterowania (IV) Dodatek A Przykłady zastosowania metody wartości własnych do badania stabilności © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 36

Teoria sterowania 2015/2016 Przygotowanie do Teorii Sterowania (IV) Przykład 1. Dany jest system dynamiczny z wartościami współczynników Zbadać stabilność wewnętrzną systemu © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 37

Teoria sterowania 2015/2016 Przygotowanie do Teorii Sterowania (IV) Wielomian charakterystyczny macierzy Dla przykładu Wartości własne macierzy Wnioski: System a ma wszystkie wartości własne w lewej półpłaszczyźnie zespolonej i jest zatem globalnie asymptotycznie stabilny System b ma jedną wartość własna na osi urojonej i jest zatem stabilny w sensie Lapunow’a System c ma podwójną wartość własną na osi urojonej i jest zatem niestabilny © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 38

Teoria sterowania 2015/2016 Przygotowanie do Teorii Sterowania (IV) Wyniki symulacji System a. Macierz nieosobliwa, zatem stan równowagi Weźmy: warunek początkowy wejście © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 39

Teoria sterowania 2015/2016 Przygotowanie do Teorii Sterowania (IV) Wyniki symulacji System b. Macierz osobliwa, stanów równowagi nieskończenie wiele Weźmy: warunek początkowy wejście Wektor własny związany z wartością własną ma postać gdzie, q dowolna liczba Dowolny wektor początkowy równy temu wektorowi własnemu będzie stanem równowagi Jeżeli wybierzemy inny warunek początkowy system osiągnie pewien stan równowagi zgodny z podanym warunkiem dla stanu równowagi © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 40

Teoria sterowania 2015/2016 Przygotowanie do Teorii Sterowania (IV) Wynik symulacji © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 41

Teoria sterowania 2015/2016 Przygotowanie do Teorii Sterowania (IV) Wyniki symulacji System c. Macierz osobliwa, stanów równowagi nieskończenie wiele, brak stabilnych Weźmy: warunek początkowy wejście © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 42

Teoria sterowania 2015/2016 Przygotowanie do Teorii Sterowania (IV) Dodatek B Przykład spełniania kryteriów stabilności wewnętrznej i zewnętrznej © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 43

Teoria sterowania 2015/2016 Przygotowanie do Teorii Sterowania (IV) Przykład 2. Stabilność wewnętrzna a zewnętrzna Dany jest system dynamiczny Zbadać stabilność wewnętrzną i zewnętrzną systemu Wyliczenie wartości własnych wielomianu charakterystycznego macierzy © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 44

Teoria sterowania 2015/2016 Przygotowanie do Teorii Sterowania (IV) Wartości własne Wniosek: system jest niestabilny wewnętrznie Model zewnętrzny © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 45

Teoria sterowania 2015/2016 Przygotowanie do Teorii Sterowania (IV) Wskutek skrócenia pary biegun-zero bieguny systemu system jest zewnętrznie stabilny (BIBO – stabilny) Wyniki symulacji dla wejścia – skok jednostkowy i zerowych warunków początkowych Niestabilność stanów © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 46

Teoria sterowania 2015/2016 Przygotowanie do Teorii Sterowania (IV) Stabilność wyjścia © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 47

Teoria sterowania 2015/2016 Przygotowanie do Teorii Sterowania (IV) Koniec zestawu slajdów © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 48