Teoria sterowania 20152016 Przygotowanie do Teorii Sterowania I

Teoria sterowania 2015/2016 Przygotowanie do Teorii Sterowania (I) Teoria sterowania Automatyka i Robotyka - studia stacjonarne II stopnia Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. Inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Wykład 1 b - 2015/2016 Przygotowanie do teorii sterowania I Odpowiedzi systemu dynamicznego © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 1

Teoria sterowania 2015/2016 Przygotowanie do Teorii Sterowania (I) Teoria sterowania – dziedzina wiedzy zajmująca się metodami analizy systemów sterowania (metodami badania cech systemów sterowania) oraz syntezy praw sterowania (metodami konstruowania struktur i algorytmów sterowników/regulatorów) Szerzej widziana treść teorii sterowania Modelowanie – Analiza – Synteza Ustalenie cech systemu © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Badanie cech systemu Nadawanie pożądanych cech systemowi Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 2

Teoria sterowania 2015/2016 Przygotowanie do Teorii Sterowania (I) Sterowanie to celowe oddziaływanie czegoś/kogoś na coś/kogoś Coś co celowo oddziałuje – układ sterujący Coś na co wywierane jest celowe oddziaływanie – obiekt sterowany Celowe oddziaływanie ukierunkowane jest na ociągnięcie pożądanego zachowania się obiektu sterowanego Połączenie układ sterujący oraz obiekt sterowany tworzy system sterowania © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Syst em s terow ania Obiekt sterowany Układ sterujący Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 3

Teoria sterowania 2015/2016 Przygotowanie do Teorii Sterowania (I) Teoria sterowania – „pracuje” na modelach systemów dynamicznych Klasyczna teoria sterowania bazuje na modelach wejście – wyjście: - równania różniczkowe wiążące zmienne wejściowe i wyjściowe - transmitancje - …… Współczesna teoria sterowania bazuje na modelach w przestrzeni stanu Powody: - jednolitość podejścia do układów liniowych i nieliniowych - jednolitość podejścia do układów jedno i wielowymiarowych - wgląd we „wnętrze” systemu © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 4

Teoria sterowania 2015/2016 Przygotowanie do Teorii Sterowania (I) Teoria sterowania – traktuje elementy układu sterowania jak i sam system sterowania jako system © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 5

Teoria sterowania 2015/2016 Przygotowanie do Teorii Sterowania (I) Przygotowanie do teorii sterowania w przestrzeni stanu Dotyczy: Systemów liniowych stacjonarnych Przygotowanie do teorii sterowania w przestrzeni stanu oznacza wskazanie !!! wyników z zakresu przedmiotu Systemy Dynamiczne, wykorzystywanych w przedmiocie Teoria Sterowania © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 6

Teoria sterowania 2015/2016 Przygotowanie do Teorii Sterowania (I) Systemy liniowe stacjonarne – modele różniczkowe i różnicowe W dziedzinie czasu relacja pomiędzy wejściem a wyjściem systemu liniowego stacjonarnego może być często opisana za pomocą: system ciągły – równania różniczkowe zwyczajne liniowe o stałych współczynnikach system dyskretny – równania różnicowe liniowe o stałych współczynnikach System ciągły; model wejście - wyjście: System dyskretny; model wejście - wyjście: © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 7

Teoria sterowania 2015/2016 Przygotowanie do Teorii Sterowania (I) Modele przestrzeni stanu System ciągły; model w przestrzeni stanu Jeżeli mamy p wejść, n stanów, q wyjść x – stany u – wejścia y - wyjścia – macierz stanu – macierz sterowania – macierz wyjścia – macierz bezpośredniego sterowania © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 8

Teoria sterowania 2015/2016 Przygotowanie do Teorii Sterowania (I) System dyskretny; model przestrzeni stanu Jeżeli mamy p wejść, n stanów, q wyjść x – stany u – wejścia y - wyjścia – macierz stanu – macierz sterowania – macierz wyjścia – macierz bezpośredniego sterowania © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 9

Teoria sterowania 2015/2016 Przygotowanie do Teorii Sterowania (I) System ciągły; model przestrzeni stanu (zmiennych stanu) - odpowiedzi Poszukujemy rozwiązań x – stany u – wejścia y - wyjścia Równanie stanu - różniczkowe : Rozwiązanie: Składowa swobodna Składowa wymuszona © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 10

Teoria sterowania 2015/2016 Przygotowanie do Teorii Sterowania (I) Składowa swobodna – rozwiązanie równania jednorodnego, rozwiązanie ogólne Rozwiązanie ogólne – rozwiązanie równania jednorodnego: gdzie © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 11

Teoria sterowania 2015/2016 Przygotowanie do Teorii Sterowania (I) Składowa wymuszona – rozwiązanie równania niejednorodnego, rozwiązanie szczególne Rozwiązanie szczególne – rozwiązanie równania niejednorodnego: Podsumowując – odpowiedź stanu Składowa swobodna Składowa przy zerowym wymuszeniu (Zero Input ZI) © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Składowa wymuszona Składowa przy zerowym stanie początkowym (Zero State ZS) Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 12

Teoria sterowania 2015/2016 Przygotowanie do Teorii Sterowania (I) Równanie wyjścia - algebraiczne: Odpowiedź wyjścia - policzymy podstawiając odpowiedź stanu Podsumowanie: © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 13

Teoria sterowania 2015/2016 Przygotowanie do Teorii Sterowania (I) Kluczowy problem przy korzystaniu z tego rozwiązania – obliczenie - macierz tranzycji stanu, macierz fundamentalna I sposób – z definicji szeregu wykładniczego Dodatek A: przykłady korzystania z I sposobu © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 14

Teoria sterowania 2015/2016 Przygotowanie do Teorii Sterowania (I) II sposób: znajdujemy najpierw model przestrzeni stanu w dziedzinie zmiennej s © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 15

Teoria sterowania 2015/2016 Przygotowanie do Teorii Sterowania (I) Przez porównanie rozwiązania równania stanu i wyjścia Możemy napisać Dodatek B: przykłady korzystania z II sposobu © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 16

Teoria sterowania 2015/2016 Przygotowanie do Teorii Sterowania (I) Związki opisu w przestrzeni stanu z transmitancją Dla układu SISO: Odpowiedź wyjścia: Funkcja tranzycji stanu © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Funkcja przejścia transmitancja Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 17

Teoria sterowania 2015/2016 Przygotowanie do Teorii Sterowania (I) Otrzymujemy: Dodatek C: przykład obliczania transmitancji odpowiadającej danemu opisowi w przestrzeni stanu © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 18

Teoria sterowania 2015/2016 Przygotowanie do Teorii Sterowania (I) System dyskretny; model przestrzeni stanu (zmiennych stanu) – odpowiedzi Poszukujemy rozwiązań x – stany u – wejścia y - wyjścia Będziemy przyjmowali: I sposób: Rozwiązanie równania stanu w postaci rekursywnej: © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 19

Teoria sterowania 2015/2016 Przygotowanie do Teorii Sterowania (I) W ogólnej postaci: Macierz tranzycji stanu: Jest to odpowiednik w dziedzinie czasu ciągłego macierzy Porównanie odpowiedzi stanu Składowa swobodna © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Składowa wymuszona Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 20

Teoria sterowania 2015/2016 Przygotowanie do Teorii Sterowania (I) Odpowiedź wyjścia: © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 21

Teoria sterowania 2015/2016 Przygotowanie do Teorii Sterowania (I) II sposób: znajdujemy najpierw model przestrzeni stanu w dziedzinie zmiennej z (zmiennej zespolonej) Określenie transformacji z: lub z zastrzeżeniem, że transformata z istnieje tylko wtedy, gdy istnieje pewne z dla którego szereg z definicji jest zbieżny © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 22

Teoria sterowania 2015/2016 Przygotowanie do Teorii Sterowania (I) Korzystając z własności transformaty z możemy dokonać transformacji dyskretnego równania stanu i znaleźć jego odpowiednik w dziedzinie zmiennej z otrzymamy Ostatnie równanie może być rozwiązane względem transformaty X(z) Wprowadzając oznaczenie Możemy to rozwiązanie zapisać w postaci © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 23

Teoria sterowania 2015/2016 Przygotowanie do Teorii Sterowania (I) Równanie wyjścia w dziedzinie zmiennej z © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 24

Teoria sterowania 2015/2016 Przygotowanie do Teorii Sterowania (I) Przez porównanie rozwiązania równania stanu i wyjścia Możemy napisać © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 25

Teoria sterowania 2015/2016 Przygotowanie do Teorii Sterowania (I) Dla skorzystania z tej ostatniej zależności potrzebna jest umiejętność przeprowadzania transformacji odwrotnej Z, czyli znajdowania wartości funkcji w chwilach próbkowania Transformacja odwrotna znajduje tylko wartości funkcji w chwilach próbkowania, ale nie umożliwia znalezienia okresu próbkowania Wartości funkcji w chwilach próbkowania – sekwencji wartości, praktycznie znajduje się wykorzystując: dzielenie wielomianów rozkład na ułamki Dodatek D – przykład znajdowania odpowiedzi układu dyskretnego przez dzielenie wielomianów © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 26

Teoria sterowania 2015/2016 Przygotowanie do Teorii Sterowania (I) rozkład na ułamki Metoda prawie identyczna to metody używanej w odwrotnej transformacji Laplace’a Ponieważ większość funkcji z ma składnik z w liczniku, jest czasem dogodniej przeprowadzać rozkład na ułamki proste dla F(z)/z niż dla F(z) Procedura 1. znaleźć rozkład na ułamki proste F(z)/z lub F(z) 2. określ odwrotną transformatę f[k] korzystając z tablic transformat Dodatek E – przykłady znajdowania odpowiedzi układu dyskretnego przez rozkład na ułamki proste © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 27

Teoria sterowania 2015/2016 Przygotowanie do Teorii Sterowania (I) Wyprowadziliśmy uprzednio równanie stanu i równanie wyjścia dla systemu dyskretnego Odwrotna transformacja Z wyprowadzonych równań © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 28

Teoria sterowania 2015/2016 Przygotowanie do Teorii Sterowania (I) Dla warunku początkowego Wyjście Funkcja przejścia transmitancja Wejście Transmitancja systemu dyskretnego Transformata wyjścia systemu dyskretnego © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 29

Teoria sterowania 2015/2016 Przygotowanie do Teorii Sterowania (I) Dziękuję za uwagę – koniec materiału prezentowanego podczas wykładu © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 30

Teoria sterowania 2015/2016 Przygotowanie do Teorii Sterowania (I) Dodatek A © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 31

Teoria sterowania 2015/2016 Przygotowanie do Teorii Sterowania (I) Przykład 1: Model części mechanicznej silnika prądu stałego, przy zaniedbaniu dynamiki obwodu twornika, wpływu na ten odwód obwodu wzbudzenia i pominięciu momentu obciążenia zewnętrznego można zapisać Przyjmując: otrzymamy Przyjmijmy rachunków: dla uproszczenia oraz © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 32

Teoria sterowania 2015/2016 Przygotowanie do Teorii Sterowania (I) Policzmy potęgi A: © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 33

Teoria sterowania 2015/2016 Przygotowanie do Teorii Sterowania (I) Korzystamy z definicji Czasem nie ma potrzeby liczenia granicy szeregu Przykład 2: © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 34

Teoria sterowania 2015/2016 Przygotowanie do Teorii Sterowania (I) Policzmy potęgi A: © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 35

Teoria sterowania 2015/2016 Przygotowanie do Teorii Sterowania (I) Szereg potęgowy zawiera skończoną liczbę wyrazów © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 36

Teoria sterowania 2015/2016 Przygotowanie do Teorii Sterowania (I) Wynik ten można uogólnić na dowolne n © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 37

Teoria sterowania 2015/2016 Przygotowanie do Teorii Sterowania (I) Dodatek B © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 38

Teoria sterowania 2015/2016 Przygotowanie do Teorii Sterowania (I) Przykład 3: macierz dołączona wyznacznik © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 39

Teoria sterowania 2015/2016 Przygotowanie do Teorii Sterowania (I) Otrzymujemy: © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 40

Teoria sterowania 2015/2016 Przygotowanie do Teorii Sterowania (I) Rozkład na ułamki proste elementów macierzy Podobnie © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 41

Teoria sterowania 2015/2016 Przygotowanie do Teorii Sterowania (I) Otrzymujemy Ostatecznie macierz tranzycji © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 42

Teoria sterowania 2015/2016 Przygotowanie do Teorii Sterowania (I) Przykład 4: Policzymy odpowiedzi układu przy zadanych warunkach początkowych na jednostkowe wymuszenie skokowe Policzmy najpierw: © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 43

Teoria sterowania 2015/2016 Przygotowanie do Teorii Sterowania (I) Stąd: Stąd bezpośrednio: © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 44

Teoria sterowania 2015/2016 Przygotowanie do Teorii Sterowania (I) Dla podanych warunków początkowych składowa swobodna odpowiedzi stanu i wyjścia : © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 45

Teoria sterowania 2015/2016 Przygotowanie do Teorii Sterowania (I) Dla skokowego jednostkowego wejścia transformata Laplace’a składowej wymuszonej odpowiedzi stanu i wyjścia (w dziedzinie zmiennej s) © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 46

Teoria sterowania 2015/2016 Przygotowanie do Teorii Sterowania (I) Dla skokowego jednostkowego wejścia składowa wymuszona odpowiedzi stanu i wyjścia Pełna odpowiedź stanu i wyjścia © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 47

Teoria sterowania 2015/2016 Przygotowanie do Teorii Sterowania (I) Dodatek C © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 48

Teoria sterowania 2015/2016 Przygotowanie do Teorii Sterowania (I) Przykład 5: Transmitancja układu z przykładu 4: Odpowiedź impulsowa: © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 49

Teoria sterowania 2015/2016 Przygotowanie do Teorii Sterowania (I) Dodatek D © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 50

Teoria sterowania 2015/2016 Przygotowanie do Teorii Sterowania (I) Przykład 6 Znaleźć f[k] - dzielimy licznik i mianownik przez największa potęgę z © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 51

Teoria sterowania 2015/2016 Przygotowanie do Teorii Sterowania (I) - dzielimy licznik przez mianownik © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 52

Teoria sterowania 2015/2016 Przygotowanie do Teorii Sterowania (I) - obliczamy wartość początkową Otrzymaliśmy © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 53

Teoria sterowania 2015/2016 Przygotowanie do Teorii Sterowania (I) Dodatek E © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 54

Teoria sterowania 2015/2016 Przygotowanie do Teorii Sterowania (I) Przykład 7 Przypadek: pojedyncze pierwiastki rzeczywiste Znaleźć transformatę odwrotną funkcji: z dzieleniem F(z)/z - rozkład na ułamki proste © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 55

Teoria sterowania 2015/2016 Przygotowanie do Teorii Sterowania (I) stąd - spojrzenie w tablice Można zauważyć zatem © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 56

Teoria sterowania 2015/2016 Przygotowanie do Teorii Sterowania (I) bez dzielenia F(z) - rozkład na ułamki proste stąd © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 57

Teoria sterowania 2015/2016 Przygotowanie do Teorii Sterowania (I) - spojrzenie w tablice zatem © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 58

Teoria sterowania 2015/2016 Przygotowanie do Teorii Sterowania (I) Koniec zestawu slajdów © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 59