Teoria sterowania 20152016 Przygotowanie do Teorii Sterowania III

Teoria sterowania 2015/2016 Przygotowanie do Teorii Sterowania (III) Teoria sterowania Automatyka i Robotyka - studia stacjonarne II stopnia Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. Inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Wykład 3 - 2015/2016 Przygotowanie do teorii sterowania III Obserwowalność systemu dynamicznego © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 1

Teoria sterowania 2015/2016 Przygotowanie do Teorii Sterowania (III) Obserwowalność i odtwarzalność System ciągły System dyskretny Obserwowalność/odtwarzalność określa możliwość jednoznacznego określenia stanu systemu w oparciu pomiary sygnałów wejścia i wyjścia przez skończony przedział czasu Znaczenie: znajomość stanu początkowego i wejścia systemu pozwala zrekonstruować całą trajektorię stanu w oparciu o równania stanu © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 2

Teoria sterowania 2015/2016 Przygotowanie do Teorii Sterowania (III) Systemy ciągłe Obserwowalność stanu Stan obserwowalny Stan systemu liniowego jest obserwowalny jeżeli można go określić znając wyjście skończonego przedziału, dla chwil ze Jeżeli każdy stan jest obserwowalny, mówimy, że system jest całkowicie obserwowalny lub krócej obserwowalny © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 3

Teoria sterowania 2015/2016 Przygotowanie do Teorii Sterowania (III) Obserwowalność systemu ciągłego liniowego stacjonarnego Twierdzenie OSC LS 1 System liniowy stacjonarny jest obserwowalny wtedy i tylko wtedy, gdy macierz obserwowalności, nazywana macierzą obserwowalności Kalmana ma rząd n, tzn. rząd systemu © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 4

Teoria sterowania 2015/2016 Przygotowanie do Teorii Sterowania (III) Wymiar macierzy obserwowalnośći: nqxn; n – wymiar stanu, q – wymiar wyjścia Dla q=1 macierz obserwowalności jest macierzą kwadratową i dla sprawdzenia obserwowalności wystarczy sprawdzić nieosobliwość macierzy obserwowalności © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 5

Teoria sterowania 2015/2016 Przygotowanie do Teorii Sterowania (III) Inne testy obserwowalności systemów ciągłych Patrz: Dodatek A © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 6

Teoria sterowania 2015/2016 Przygotowanie do Teorii Sterowania (III) Obserwowalność a przekształcenia podobieństwa Obserwowalność podobieństwa © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. zostaje zachowana podczas transformacji Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 7

Teoria sterowania 2015/2016 Przygotowanie do Teorii Sterowania (III) Odtwarzalność stanu Stan odtwarzalny Stan systemu liniowego jest odtwarzalny jeżeli można go określić znając wyjście skończonego przedziału, dla chwil ze Jeżeli każdy stan jest odtwarzalny, mówimy, że system jest całkowicie odtwarzalny lub krócej odtwarzalny © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 8

Teoria sterowania 2015/2016 Przygotowanie do Teorii Sterowania (III) Dla systemów ciągłych obserwowalność i odtwarzalność są równoważne Odtwarzalność systemu ciągłego liniowego stacjonarnego Twierdzenie Ot. SC LS 1 System liniowy stacjonarny jest odtwarzalny wtedy i tylko wtedy, gdy macierz odtwarzalności, nazywana macierzą odtwarzalności Kalmana ma rząd n, tzn. rząd systemu © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 9

Teoria sterowania 2015/2016 Przygotowanie do Teorii Sterowania (III) Systemy dyskretne Obserwowalność stanu Stan obserwowalny Stan systemu liniowego jest obserwowalny jeżeli można go określić znając wyjście skończonego przedziału, dla chwil ze Jeżeli każdy stan jest obserwowalny, mówimy, że system jest całkowicie obserwowalny lub krócej obserwowalny © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 10

Teoria sterowania 2015/2016 Przygotowanie do Teorii Sterowania (III) Obserwowalność systemu dyskretnego liniowego stacjonarnego Twierdzenie OSD LS 1 System liniowy stacjonarny jest obserwowalny wtedy i tylko wtedy, gdy macierz obserwowalności, nazywana macierzą obserwowalności Kalmana ma rząd n, tzn. rząd systemu © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 11

Teoria sterowania 2015/2016 Przygotowanie do Teorii Sterowania (III) Inne testy obserwowalności systemów dyskretnych Patrz: Dodatek B © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 12

Teoria sterowania 2015/2016 Przygotowanie do Teorii Sterowania (III) Dla systemów dyskretnych obserwowalność i odtwarzalność nie są równoważne Odtwarzalność systemu dyskretnego liniowego stacjonarnego Twierdzenie Ot. SD LS 1 System liniowy stacjonarny jest odtwarzalny wtedy, gdy macierz odtwarzalności, nazywana macierzą odtwarzalności Kalmana ma rząd n, tzn. rząd systemu © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 13

Teoria sterowania 2015/2016 Przygotowanie do Teorii Sterowania (III) Dekompozycja Kalmana systemów niesterowalnych i nieobserwowalnych Przykład 1 Mamy system Liniowy, stacjonarny, 1 – wejście, 1 - wyjście © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 14

Teoria sterowania 2015/2016 Przygotowanie do Teorii Sterowania (III) Transmitancja Zera i bieguny transmitancji Transmitancja po redukcji © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 15

Teoria sterowania 2015/2016 Przygotowanie do Teorii Sterowania (III) Schemat analogowy modelu przestrzeni stanu © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 16

Teoria sterowania 2015/2016 Przygotowanie do Teorii Sterowania (III) Transformacja do postaci diagonalnej Schemat analogowy modelu w nowej przestrzeni stanu © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 17

Teoria sterowania 2015/2016 Przygotowanie do Teorii Sterowania (III) Cztery różne statusy zmiennych stanu: - v 1 można na niego wpływać sterowaniem u i można go obserwować z wyjścia y - v 2 nie można na niego wpływać sterowaniem u, ale można go obserwować z wyjścia y - v 3 można na niego wpływać sterowaniem u, ale nie można go obserwować z wyjścia y - v 4 nie można na niego wpływać sterowaniem u, ani nie można go obserwować z wyjścia y © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 18

Teoria sterowania 2015/2016 Przygotowanie do Teorii Sterowania (III) Można wyróżnić cztery podsystemy: - związany ze zmienną stanu v 1 sterowalny i obserwowalny - związany ze zmienną stanu v 2 niesterowalny, ale obserwowalny - związany ze zmienną stanu v 3 sterowalny, ale nieobserwowalny - związany ze zmienną stanu v 4 niesterowalny i nieobserwowalny Stany niesterowalne i nieobserwowalne mogą być alb stabilne, albo niestabilne System, którego wszystkie stany niesterowalne są stabilne jest nazywany stabilizowalnym System, którego wszystkie stany nieobserwowalne są stabilne jest nazywany wykrywalnym © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 19

Teoria sterowania 2015/2016 Przygotowanie do Teorii Sterowania (III) Dekompozycja na podprzestrzenie sterowalne/osiągalne Jeżeli system jest niesterowalny/nieosiągalny można go zdekomponować na część sterowalną i niesterowalną Twierdzenie o dekompozycji na podprzestrzenie sterowalne Jeżeli system liniowy stacjonarny o macierzach A, B i C nie jest sterowalny (tzn. A jest wymiaru nxn i rank(Mc = p < n) wówczas może być znalezione przekształcenie podobieństwa takie, że macierze systemu po transformacji mają postać gdzie, , a para macierzy {AC, BC} jest sterowalna, oraz © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 20

Teoria sterowania 2015/2016 Przygotowanie do Teorii Sterowania (III) Sposób znajdowania macierzy przekształcenia podobieństwa i przykład Patrz: Dodatek C © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 21

Teoria sterowania 2015/2016 Przygotowanie do Teorii Sterowania (III) Dekompozycja na podprzestrzenie obserwowalne/odtwarzalne Jeżeli system jest nieobserwowalny można go zdekomponować na część obserwowalną i nieobserwowalną Twierdzenie o dekompozycji na podprzestrzenie obserwowalna Jeżeli system liniowy stacjonarny o macierzach A, B i C nie jest obserwowalny (tzn. A jest wymiaru nxn i rank(Mo = p < n) wówczas może być znalezione przekształcenie podobieństwa takie, że macierze systemu po transformacji mają postać gdzie, , , a para macierzy {Ao, Bo} jest obserwowalna, oraz © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 22

Teoria sterowania 2015/2016 Przygotowanie do Teorii Sterowania (III) Sposób znajdowania macierzy przekształcenia podobieństwa i przykład Patrz: Dodatek D © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 23

Teoria sterowania 2015/2016 Przygotowanie do Teorii Sterowania (III) Dziękuję za uczestnictwo w wykładzie i uwagę © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 24

Teoria sterowania 2015/2016 Przygotowanie do Teorii Sterowania (III) Dodatek A Inne testy sterowalności systemów ciągłych © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 25

Teoria sterowania 2015/2016 Przygotowanie do Teorii Sterowania (III) Twierdzenie OSC LS 2 System liniowy stacjonarny jest obserwowalny wtedy i tylko wtedy, gdy nie istnieje żadem prawostronny wektor własny macierz A, taki że co oznacza, że żaden wektor własny macierz A nie jest ortogonalny do wszystkich kolumn macierz C © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 26

Teoria sterowania 2015/2016 Przygotowanie do Teorii Sterowania (III) Twierdzenie OSC LS 3 System liniowy stacjonarny jest obserwowalny wtedy i tylko wtedy, gdy macierz o wymiarze (r+n)xn ma rząd n dla dowolnego zespolonego skalara s Test obserwowalności w oparciu o twierdzenia 2 i 3 nosi nazwę testu Popov’a – Belevitch’a-Hautus’a © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 27

Teoria sterowania 2015/2016 Przygotowanie do Teorii Sterowania (III) Twierdzenie OSC LS 4 Diagonalny system liniowy stacjonarny z jednokrotnymi wartościami własnymi jest obserwowalny wtedy i tylko wtedy, gdy macierz C nie ma kolumn zerowych © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 28

Teoria sterowania 2015/2016 Przygotowanie do Teorii Sterowania (III) Dodatek B Inne testy obserwowalności systemów dyskretnych © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 29

Teoria sterowania 2015/2016 Przygotowanie do Teorii Sterowania (III) Twierdzenie OSD LS 2 System liniowy stacjonarny jest obserwowalny wtedy i tylko wtedy, gdy nie istnieje żadem prawostronny wektor własny macierz AD , taki że co oznacza, że żaden wektor własny macierz AD nie jest ortogonalny do wszystkich kolumn macierz CD © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 30

Teoria sterowania 2015/2016 Przygotowanie do Teorii Sterowania (III) Twierdzenie OSD LS 3 System liniowy stacjonarny jest obserwowalny wtedy i tylko wtedy, gdy macierz o wymiarze (r+n)xn ma rząd n dla dowolnego zespolonego skalara z Test sterowalności w oparciu o twierdzenia 2 i 3 nosi nazwę testu Popov’a – Belevitch’a-Hautus’a © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 31

Teoria sterowania 2015/2016 Przygotowanie do Teorii Sterowania (III) Twierdzenie OSD LS 4 Diagonalny system liniowy stacjonarny z jednokrotnymi wartościami własnymi jest obserwowalny wtedy i tylko wtedy, gdy macierz CD nie ma kolumn zerowych © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 32

Teoria sterowania 2015/2016 Przygotowanie do Teorii Sterowania (III) Dodatek C Sposób znajdowania macierzy przekształcenia podobieństwa i przykład © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 33

Teoria sterowania 2015/2016 Przygotowanie do Teorii Sterowania (III) Macierz transformacji Q może być utworzona w następujący sposób: Macierz MC ma wymiar n x nm, a ponieważ jest rządu p, można spośród jej kolumn wybrać p kolumn liniowo niezależnych Załóżmy, że będą to kolumny Następnie wybieramy n – p wektorów tak, aby macierz była nieosobliwa © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 34

Teoria sterowania 2015/2016 Przygotowanie do Teorii Sterowania (III) Przykład 1. Rozważamy system dwuwymiarowy ( dwa wejścia, dwa wyjścia) Macierz sterowalności Kalmana Rząd macierzy Kalmana System jest niesterowalny © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 35

Teoria sterowania 2015/2016 Przygotowanie do Teorii Sterowania (III) Dwie pierwsze kolumny macierzy sterowalności są liniowo niezależne, dobierzemy wektor Wówczas oraz Macierze systemu po transformacji podobieństwa © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 36

Teoria sterowania 2015/2016 Przygotowanie do Teorii Sterowania (III) Macierze podsystemu sterowalnego Niesterowalna część systemu opisana równaniem stanu Macierz transmitancji systemu przed i po transformacji © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 37

Teoria sterowania 2015/2016 Przygotowanie do Teorii Sterowania (III) Związki pomiędzy zmiennymi stanu Wartość własna części niesterowalne wynosi System jest stabilizowalny © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 38

Teoria sterowania 2015/2016 Przygotowanie do Teorii Sterowania (III) Dodatek D Sposób znajdowania macierzy przekształcenia podobieństwa i przykład © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 39

Teoria sterowania 2015/2016 Przygotowanie do Teorii Sterowania (III) Macierz transformacji P może być utworzona w następujący sposób: Macierz Mo ma wymiar nr x n, a ponieważ jest rządu p, można spośród jej wierszy wybrać p wierszy liniowo niezależnych Załóżmy, że będą to kolumny Następnie wybieramy n – p wektorów tak, aby macierz n x n była nieosobliwa © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 40

Teoria sterowania 2015/2016 Przygotowanie do Teorii Sterowania (III) Przykład 2. Rozważamy system dwuwymiarowy ( 2 wejścia, dwa wyjścia) System jest sterowalny lecz nieobserwowalny – macierz obserwowalności Kalmana Rząd macierzy Kalmana System jest nieobserwowalny © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 41

Teoria sterowania 2015/2016 Przygotowanie do Teorii Sterowania (III) Dwa pierwsze wiersze macierzy obserwowalności są liniowo niezależne, dobierzemy wektor Wówczas oraz Macierze systemu po transformacji podobieństwa © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 42

Teoria sterowania 2015/2016 Przygotowanie do Teorii Sterowania (III) Macierze podsystemu obserwowalnego Macierz transmitancji systemu przed i po transformacji © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 43

Teoria sterowania 2015/2016 Przygotowanie do Teorii Sterowania (III) Wartości własne systemu oryginalnego Podsystemu obserwowalnego Wartość własna części nieobserwowalnej wynosi System jest niewykrywalny © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 44

Teoria sterowania 2015/2016 Przygotowanie do Teorii Sterowania (III) Koniec zestawu slajdów © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 45