Teoria sterowania 20162017 Sterowanie metoda alokacji biegunw III

Teoria sterowania 2016/2017 Sterowanie – metoda alokacji biegunów III Teoria sterowania Automatyka i Robotyka - studia stacjonarne II stopnia Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. , prof. nadzw. PG Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Materiał wykładowy 7 - 2016/2017 Sterowanie systemem dynamicznym – metoda alokacji biegunów III © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. , prof. nadzw. PG Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 1

Teoria sterowania 2016/2017 Sterowanie – metoda alokacji biegunów III Przykład 2 System trzeciego rzędu System SISO Wartości własne systemu (bieguny systemu) Złożenie: człon pierwszego rzędu inercyjny, człon drugiego rzędu oscylacyjny Parametry: - człon pierwszego rzędu inercyjny: stała czasowa bezwładności - człon drugiego rzędu oscylacyjny: pulsacja drgań własnych nietłumionych współczynnik tłumienia © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. , prof. nadzw. PG Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 2

Teoria sterowania 2016/2017 Sterowanie – metoda alokacji biegunów III System jednowymiarowy – sprawdzenie sterowalności przez sprawdzenie wyznacznika macierzy sterowalności Kalmana Wartość wyznacznika niezerowa – system jest sterowalny (policzyć!) Należy zaprojektować sterownik od stanu, regulacyjny taki, aby otrzymać system zamknięty z wartościami własnymi rzeczywistymi jednakowymi dającymi stałe czasowe bezwładności około 1. 5 s. Zatem wartości własne Stąd Zaprojektujemy sterownik korzystając z postaci kanonicznej sterowalności systemu © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. , prof. nadzw. PG Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 3

Teoria sterowania 2016/2017 Sterowanie – metoda alokacji biegunów III Skorzystamy z Twierdzenia D 1 (poprzedni wykład) Z otrzymanego układu trzech równań liniowych z trzema niewiadomymi obliczymy © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. , prof. nadzw. PG Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 4

Teoria sterowania 2016/2017 Sterowanie – metoda alokacji biegunów III Możemy obliczyć macierz przekształcenia podobieństwa Otrzymamy © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. , prof. nadzw. PG Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 5

Teoria sterowania 2016/2017 Sterowanie – metoda alokacji biegunów III Stąd lub czyli używając oznaczeń odnoszących się do postaci kanonicznej sterowalności © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. , prof. nadzw. PG Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 6

Teoria sterowania 2016/2017 Sterowanie – metoda alokacji biegunów III Możemy obliczyć macierz wzmocnień © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. , prof. nadzw. PG Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 7

Teoria sterowania 2016/2017 Sterowanie – metoda alokacji biegunów III Możemy obliczyć wartości własne systemu zamkniętego Niezbyt dokładnie to, co chcieliśmy – zbyt duże błędy zaokrągleń Symulacja systemu zamkniętego Warunki początkowe zerowe, yr – skok jednostkowy © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. , prof. nadzw. PG Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 8

Teoria sterowania 2016/2017 Sterowanie – metoda alokacji biegunów III Wyjście Przeregulowania (około 12%) !!! © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. , prof. nadzw. PG Sterowanie (wejście) Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 9

Teoria sterowania 2016/2017 Sterowanie – metoda alokacji biegunów III Transmitancja systemu otwartego Zero systemu powodem oscylacji © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. , prof. nadzw. PG Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 10

Teoria sterowania 2016/2017 Sterowanie – metoda alokacji biegunów III Pytanie: co dzieje się z zerami systemu podczas przemieszczania biegunów w pożądane położenie za pomocą sprzężenia zwrotnego od stanu? Twierdzenie: Zera systemu (otwartego) nie zmieniają się po dodaniu sprzężenia zwrotnego od stanu. Innymi słowy, zera systemu, który został zamknięty przez macierz wzmocnień L sprzężenia zwrotnego od stanu są zerami pierwotnego systemu © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. , prof. nadzw. PG Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 11

Teoria sterowania 2016/2017 Sterowanie – metoda alokacji biegunów III Przykład 3 – system niesterowalny lecz stabilizowalny Wartości własne System jest stabilny Macierz sterowalności Kalmana System jest niesterowalny © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. , prof. nadzw. PG Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 12

Teoria sterowania 2016/2017 Sterowanie – metoda alokacji biegunów III Dwie pierwsze kolumny - liniowo niezależne Rząd macierzy sterowalności wynosi 2 Propozycja macierzy przekształcenia podobieństwa potrzebnej do dekompozycji na podprzestrzenie sterowalne i niesterowalne © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. , prof. nadzw. PG Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 13

Teoria sterowania 2016/2017 Sterowanie – metoda alokacji biegunów III Przekształcenie podobieństwa Otrzymujemy macierze © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. , prof. nadzw. PG Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 14

Teoria sterowania 2016/2017 Sterowanie – metoda alokacji biegunów III Sterowalna część systemu opisana jest macierzami: Niesterowalna część systemu opisana jest macierzami: Macierz sterowalności części sterowalnej Macierz wzmocnień – dwie części © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. , prof. nadzw. PG Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 15

Teoria sterowania 2016/2017 Sterowanie – metoda alokacji biegunów III Część sterowalna – rząd drugi dwie wartości własne (bieguny) mogą być umieszczone w dowolnym położeniu Niech Aby znaleźć macierz wzmocnień zastosujemy wzór Ackermann’a © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. , prof. nadzw. PG Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 16

Teoria sterowania 2016/2017 Sterowanie – metoda alokacji biegunów III Trzeci element macierzy wzmocnień nie ma wpływu na położenie wartości własnych systemu zamkniętego i może być wybrany dowolnie, na przykład równy zero © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. , prof. nadzw. PG Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 17

Teoria sterowania 2016/2017 Sterowanie – metoda alokacji biegunów III Dokonując retransformacji Niejednoznaczność wyznaczenia macierzy L !!! © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. , prof. nadzw. PG Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 18

Teoria sterowania 2016/2017 Sterowanie – metoda alokacji biegunów III Koniec slajdów wykorzystanych podczas wykładu Dziękuję za uczestnictwo w wykładzie i uwagę © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. , prof. nadzw. PG Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 19