Teoria sterowania 20142015 Przykad 2 Sterowanie metody alokacji

Teoria sterowania 2014/2015 Przykład 2 Sterowanie – metody alokacji biegunów III System trzeciego rzędu System SISO Wartości własne systemu (bieguny systemu) Złożenie: człon pierwszego rzędu inercyjny, człon drugiego rzędu oscylacyjny Parametry: - człon pierwszego rzędu inercyjny: stała czasowa bezwładności - człon drugiego rzędu oscylacyjny: pulsacja drgań własnych nietłumionych współczynnik tłumienia Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 1

Teoria sterowania 2014/2015 Sterowanie – metody alokacji biegunów III System jednowymiarowy – sprawdzenie sterowalności przez sprawdzenie wyznacznika macierzy sterowalności Kalmana Wartość wyznacznika niezerowa – system jest sterowalny (policzyć!) Należy zaprojektować sterownik od stanu, regulacyjny taki, aby otrzymać system zamknięty z wartościami własnymi rzeczywistymi jednakowymi dającymi stałe czasowe bezwładności około 1. 5 s. Zatem wartości własne Stąd Zaprojektujemy sterownik korzystając z postaci kanonicznej sterowalności systemu Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 2

Teoria sterowania 2014/2015 Sterowanie – metody alokacji biegunów III Skorzystamy z Twierdzenia D 1 (poprzedni wykład) Z otrzymanego układu trzech równań liniowych z trzema niewiadomymi obliczymy Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 3

Teoria sterowania 2014/2015 Sterowanie – metody alokacji biegunów III Możemy obliczyć macierz przekształcenia podobieństwa Otrzymamy Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 4

Teoria sterowania 2014/2015 Sterowanie – metody alokacji biegunów III Stąd lub czyli używając oznaczeń odnoszących się do postaci kanonicznej sterowalności Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 5

Teoria sterowania 2014/2015 Sterowanie – metody alokacji biegunów III Możemy obliczyć macierz wzmocnień Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 6

Teoria sterowania 2014/2015 Sterowanie – metody alokacji biegunów III Możemy obliczyć wartości własne systemu zamkniętego Niezbyt dokładnie to, co chcieliśmy – zbyt duże błędy zaokrągleń Symulacja systemu zamkniętego Warunki początkowe zerowe, yr – skok jednostkowy Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 7

Teoria sterowania 2014/2015 Sterowanie – metody alokacji biegunów III Wyjście Przeregulowania (około 12%) !!! Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Sterowanie (wejście) Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 8

Teoria sterowania 2014/2015 Sterowanie – metody alokacji biegunów III Transmitancja systemu otwartego Zero systemu powodem oscylacji Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 9

Teoria sterowania 2014/2015 Sterowanie – metody alokacji biegunów III Pytanie: co dzieje się z zerami systemu podczas przemieszczania biegunów w pożądane położenie za pomocą sprzężenia zwrotnego od stanu? Twierdzenie: Zera systemu (otwartego) nie zmieniają się po dodaniu sprzężenia zwrotnego od stanu. Innymi słowy, zera systemu, który został zamknięty przez macierz wzmocnień L sprzężenia zwrotnego od stanu są zerami pierwotnego systemu Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 10

Teoria sterowania 2014/2015 Sterowanie – metody alokacji biegunów III Przykład 3 – system niesterowalny lecz stabilizowalny Wartości własne System jest stabilny Macierz sterowalności Kalmana System jest niesterowalny Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 11

Teoria sterowania 2014/2015 Sterowanie – metody alokacji biegunów III Dwie pierwsze kolumny - liniowo niezależne Rząd macierzy sterowalności wynosi 2 Propozycja macierzy przekształcenia podobieństwa potrzebnej do dekompozycji na podprzestrzenie sterowalne i niesterowalne Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 12

Teoria sterowania 2014/2015 Sterowanie – metody alokacji biegunów III Przekształcenie podobieństwa Otrzymujemy macierze Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 13

Teoria sterowania 2014/2015 Sterowanie – metody alokacji biegunów III Sterowalna część systemu opisana jest macierzami: Niesterowalna część systemu opisana jest macierzami: Macierz sterowalności części sterowalnej Macierz wzmocnień – dwie części Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 14

Teoria sterowania 2014/2015 Sterowanie – metody alokacji biegunów III Część sterowalna – rząd drugi dwie wartości własne (bieguny) mogą być umieszczone w dowolnym położeniu Niech Aby znaleźć macierz wzmocnień zastosujemy wzór Ackermann’a Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 15

Teoria sterowania 2014/2015 Sterowanie – metody alokacji biegunów III Trzeci element macierzy wzmocnień nie ma wpływu na położenie wartości własnych systemu zamkniętego i może być wybrany dowolnie, na przykład równy zero Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 16

Teoria sterowania 2014/2015 Sterowanie – metody alokacji biegunów III Dokonując retransformacji Niejednoznaczność wyznaczenia macierzy L !!! Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 17

Teoria sterowania 2014/2015 Sterowanie – metody alokacji biegunów III Dziękuję za uczestnictwo w wykładzie i uwagę Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 18