Teoria sterowania 20142015 Sterowanie metody alokacji biegunw II

Teoria sterowania 2014/2015 Sterowanie – metody alokacji biegunów II Metody projektowania macierzy sterowania (sprzężenia zwrotnego) L Dwie grupy metod: Klasyczne metody alokowania biegunów (metody rozmieszczania biegunów) Dane jest a priori rozmieszczenie biegunów systemu zamkniętego (na płaszczyźnie s lub z) i macierz L jest wyznaczana tak, aby system zamknięty posiadał rzeczywiście takie bieguny Metody specyficzne dla systemów MIMO Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 1

Teoria sterowania 2014/2015 Sterowanie – metody alokacji biegunów II Metoda alokacji biegunów Podstawy metody Metoda związana z działaniem regulacyjnym (związane z warunkiem początkowym przyjęciu Nie bierze się pod uwagę równania wyjścia projektowaniu macierz kompensacji wzmocnień , , gdyż brane jest ono pod uwagę przy lub lub Schemat sterowania systemu ze sterowaniem od stanu Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 2

Teoria sterowania 2014/2015 Sterowanie – metody alokacji biegunów II Projektowanie metodą alokacji biegunów polega znalezieniu stałej macierzy sprzężenia zwrotnego (od stanu) takiej, że wartości własne systemu zamkniętego zarówno systemu ciągłego jak i dyskretnego, znajdują się w danych położeniach na płaszczyźnie s lub z Warunki istnienia macierzy Wszystkie wartości własne systemu mogą być przemieszczone do nowych dowolnych położeń wtedy i tylko wtedy, gdy system jest całkowicie sterowalny Sterowalność, warunki sterowalności, dekompozycja kanoniczna sterowalności - poprzednie wykłady System niesterowalny (niecałkowicie sterowalny) Przez przekształcenie podobieństwa znajdujemy postać dekompozycyjną kanoniczną sterowalności systemu Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 3

Teoria sterowania 2014/2015 Sterowanie – metody alokacji biegunów II Dekompozycyjna postać kanoniczna sterowalności System ciągły System dyskretny gdzie - sterowalne zmienne stanu nowego wektora stanu - niesterowalne zmienne stanu nowego wektora stanu Sterowanie ze sprzężeniem od stanu System ciągły Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. System dyskretny Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 4

Teoria sterowania 2014/2015 Sterowanie – metody alokacji biegunów II daje system zamknięty o równaniu stanu System ciągły System dyskretny Blokowo – diagonalna macierz systemu zamkniętego ma wartości będące połączeniem wartości własnych macierzy System ciągły System dyskretny Wybór wartości własnych systemu zamkniętego nie jest w tym przypadku arbitralny, ponieważ musi on zawierać wartości własne (system ciągły) lub (system dyskretny) Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 5

Teoria sterowania 2014/2015 Sterowanie – metody alokacji biegunów II Ogólna procedura wyznaczania macierzy L Przy warunku równanie stanu systemu zamkniętego Wartości własne macierzy systemu zamkniętego , które zostały wybrane, są zerami wielomianu charakterystycznego systemu zamkniętego gdzie, oznacza, że współczynnik wielomianu zależy od elementów nieznanej macierzy Z drugiej strony, arbitralny wybór wartości własnych arbitralnemu wyborowi współczynników wielomianu, ponieważ Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. jest równoważny Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 6

Teoria sterowania 2014/2015 Sterowanie – metody alokacji biegunów II Przyrównując do siebie współczynniki powyższych wielomianów, otrzymujemy układ równań ( ) t. j. układ n równań (określone ) o p x n niewiadomych (wymiar macierzy L) Konsekwencje: p = 1, system jednowymiarowy, układ określony, istnieje jednoznaczne rozwiązanie p > 1, system wielowymiarowy, układ niedookreślony, nie istnieje jednoznaczne rozwiązanie Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 7

Teoria sterowania 2014/2015 Sterowanie – metody alokacji biegunów II Systemy jednowymiarowe Dla p = 1 macierz redukuje się do wiersza Prawo sterowania, staje się skalarem Dla systemów niskiego rzędu (do 4 – tego) lub gdy macierz systemu zamkniętego jest rzadka (mało elementów niezerowych) układ równań ( ) można rozwiązywać bezpośrednio dla otrzymania System dany w postaci kanonicznej sterowalności Jeżeli system dany w postaci kanonicznej sterowalności (patrz wykłady Mi. I) – macierz systemu zamkniętego CCF – Controllability Canonical Form Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 8

Teoria sterowania 2014/2015 Przypomnienie: macierz Sterowanie – metody alokacji biegunów II oraz wektor Stąd Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 9

Teoria sterowania 2014/2015 Sterowanie – metody alokacji biegunów II Macierz ma nadal strukturę kanoniczną sterowalności – współczynniki wielomianu charakterystycznego otrzymujemy bez obliczeń Współczynniki wielomianu charakterystycznego = elementy ostatniego wiersza macierzy systemu zamkniętego w postaci kanonicznej sterowalności ze znakiem przeciwnym Twierdzenie 1: Załóżmy, że system sterowania ciągłego, jednowymiarowego jest dany w postaci kanonicznej sterowalności z wielomianem charakterystycznym i że dla systemu zamkniętego wielomian charakterystyczny jest postulowany. Wówczas macierz Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. dająca taki wielomian dana jest Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 10

Teoria sterowania 2014/2015 Sterowanie – metody alokacji biegunów II System dany w dowolnej postaci – wzór Ackermann’a Jeżeli system jest sterowalny, to zawsze można go przekształcić do postaci kanonicznej sterowalności stosując przekształcenie podobieństwa gdzie jest wektorem stanu odpowiadającym postaci kanonicznej oraz macierz odwrotna przekształcenia jest dana wzorem gdzie wiersz jest ostatnim wierszem odwrotnej macierzy sterowalności Dla postaci kanonicznej sterowalności prawo sterowania ma postać co daje Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 11

Teoria sterowania 2014/2015 Macierz Sterowanie – metody alokacji biegunów II dająca postulowany wielomian charakterystyczny Dalej wykorzystywane jest twierdzenie Cayley’a-Hamiltona Twierdzenie Cayley’a-Hamiltona: Każda macierz kwadratowa wymiaru spełnia swoje równanie charakterystyczne. Innymi słowy, jeżeli równanie charakterystyczne macierzy jest wówczas zachodzi też Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 12

Teoria sterowania 2014/2015 Sterowanie – metody alokacji biegunów II Macierze podobne mają takie same wartości własne, w przypadku rozważanym są to macierze oraz Macierz te mają zatem też jednakowe wielomiany charakterystyczne Zgodnie z twierdzeniem Cayley’a-Hamiltona macierzy musi zatem spełniać równanie Równanie charakterystyczne macierzy daje mnożąc lewostronnie przez Podstawiając ten wynik do dostajemy twierdzenie Ackermann’a Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 13

Teoria sterowania 2014/2015 Sterowanie – metody alokacji biegunów II Twierdzenie 2: Jeżeli system jest sterowalny i postulowany jest wielomian charakterystyczny systemu zamkniętego postaci to macierz sterowania należy wybrać jako gdzie jest ostatnim wierszem odwrotnej macierzy sterowalności a zatem jest określony Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 14

Teoria sterowania 2014/2015 Sterowanie – metody alokacji biegunów II Przykład 1: System jednowymiarowy Zaprojektować sterowanie ze sprzężeniem zwrotnym od stanu, tzn. wyznaczyć , które są elementami macierzy sterowań Bieguny (wartości własne) systemu zamkniętego powinny być ulokowane w punktach Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 15

Teoria sterowania 2014/2015 Sterowanie – metody alokacji biegunów II Opis w przestrzeni stanu Wielomian charakterystyczny systemu zamkniętego Najpierw Macierz systemu zamkniętego Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 16

Teoria sterowania 2014/2015 Sterowanie – metody alokacji biegunów II Stąd wielomian charakterystyczny systemu zamkniętego Pożądany wielomian charakterystyczny systemu zamkniętego Stąd układ równań Rozwiązanie Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 17

Teoria sterowania 2014/2015 Sterowanie – metody alokacji biegunów II Prawo sterowania Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 18

Teoria sterowania 2014/2015 Sterowanie – metody alokacji biegunów II Zastosowanie wzoru Ackermann’a Macierz sterowalności W przykładzie – system jednowymiarowy Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 19

Teoria sterowania 2014/2015 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Sterowanie – metody alokacji biegunów II Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 20

Teoria sterowania 2014/2015 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Sterowanie – metody alokacji biegunów II Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 21

Teoria sterowania 2014/2015 Sterowanie – metody alokacji biegunów II Pożądany wielomian charakterystyczny systemu zamkniętego Prawo sterowania Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 22

Teoria sterowania 2014/2015 Sterowanie – metody alokacji biegunów II Koniec slajdów wykorzystanych podczas wykładu Dziękuję za uczestnictwo w wykładzie i uwagę Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 23

Teoria sterowania 2014/2015 Sterowanie – metody alokacji biegunów II Dodatek 1 System jednowymiarowy ciągły Postać kanoniczna sterowalności Macierz sterowalności (dla dowolnej postaci) Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 24

Teoria sterowania 2014/2015 Sterowanie – metody alokacji biegunów II Przekształcenia podobieństwa Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 25

Teoria sterowania 2014/2015 Sterowanie – metody alokacji biegunów II Przekształcenie do postaci kanonicznej sterowalności Twierdzenie D 1: Jeżeli system pomocą przekształcenia sterowalności jest sterowalny, wówczas jest możliwe za przedstawić go w postaci kanonicznej gdzie, i gdzie macierz odwrotna przekształcenia, Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 26

Teoria sterowania 2014/2015 Sterowanie – metody alokacji biegunów II Przy czym wiersz jest ostatnim wierszem odwrotnej macierzy sterowalności i może zatem być obliczony z następującego układu równań to znaczy, że zachodzi również Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 27