Teoria sterowania 20142015 Sterowanie uycie obserwatorw penych I

Teoria sterowania 2014/2015 Sterowanie – użycie obserwatorów pełnych I Sterowanie – użycie obserwatorów pełnych Zastosowanie sprzężenia zwrotnego od stanu wymaga dostępu do wektora stanu w przypadku systemu ciągłego lub w przypadku systemu dyskretnego Nie zawsze jest to możliwe – konieczna staje się rekonstrukcja stanu w oparciu o wszystko, co jest dostępne Dwa punkty widzenia zasługują na rozważenie 1. Czysto deterministyczny 2. Stochastyczny Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 1

Teoria sterowania 2014/2015 Sterowanie – użycie obserwatorów pełnych I 1. Deterministyczne podejście Rozważać będziemy jak poprzednio dwa przypadki Przypadek ciągły Dlaczego np. nie wyznaczyć wektora bo oraz Przypadek dyskretny z równania wyjścia są dostępne? Powody: 1. Odwracalność 2. Istnienie szumów pomiarowych Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 2

Teoria sterowania 2014/2015 Sterowanie – użycie obserwatorów pełnych I Sformułowanie problemu: Korzystając z posiadanej wiedzy o systemie, konkretnie z znajomości parametrów systemu lub znaleźć system liniowy, który w oparciu o znane wartości i będzie dostarczał przybliżoną (aproksymowaną) wartość estymatę stanu , System taki nazywany jest rekonstruktorem stanu lub obserwatorem Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 3

Teoria sterowania 2014/2015 Sterowanie – użycie obserwatorów pełnych I 2. Stochastyczne podejście Przyjmujemy, że system podlega działaniu szumów pomiarowych oraz przypadkowych zakłóceń Rozważać będziemy jak poprzednio dwa przypadki Przypadek ciągły gdzie, Przypadek dyskretny - wektor przypadkowych zakłóceń wpływających na zmienne stanu, a - wektor przypadkowych szumów wpływających na pomiary Stan systemu i wyjście systemu stają się procesami stochastycznymi lub sekwencjami stochastycznymi wskutek występowania odpowiednio w równaniach stanu i wyjścia składników przypadkowych Notacja: duże pogrubione litery odnoszące się do sygnałów takie jaki oznaczają zmienne przypadkowe, małe pogubione litery odnoszące się do sygnałów takie jak oznaczają szczególne deterministyczne ich realizacje Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 4

Teoria sterowania 2014/2015 Sterowanie – użycie obserwatorów pełnych I Problem rekonstrukcji stanu w tym podejściu nazywany jest problemem filtracji liniowej Sformułowanie problemu: Korzystając z posiadanej wiedzy o systemie, konkretnie z znajomości parametrów systemu lub oraz danych statystycznych szumach i zakłóceniach (rozkłady prawdopodobieństwa, średnie, wariancje) i znaleźć system liniowy o wejściach i , który na wyjściu da estymatę tak bliską jak to możliwe nieznanemu stanowi System taki nazywany jest filtrem. Optymalne rozwiązanie tak sformułowanego problemu w sensie minimalnej wariancji błędu estymacji jest nazywane filtrem Kalman’a Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 5

Teoria sterowania 2014/2015 Sterowanie – użycie obserwatorów pełnych I Pełny lub n-tego rzędu obserwator (Luenberger’a) Idea pełnego obserwatora Będziemy zakładali, jak poprzednio Przypadek ciągły Podstawowa idea obserwatora Luenberger’a polega na dołączeniu do rozważanego stacjonarnego systemu liniowego, innego stacjonarnego systemu liniowego na który podawane są sygnały oraz i który musi dostarczać na swoim wyjściu przybliżoną wartość stanu Przyjmuje się następującą postać obserwatora gdzie, - macierz wzmocnień obserwatora o wymiarach Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 6

Teoria sterowania 2014/2015 Zadaniem składnika błędu Sterowanie – użycie obserwatorów pełnych I jest powodować zdążanie estymaty stanu do jej rzeczywistej wartości Nie ma powodu, aby wymagać, że w chwili stan początkowy obserwatora był równy stanowi początkowemu obserwowanego systemu, czyli Wymagać należy, aby Zdefiniujemy błąd estymacji Wielkość będzie dobrą estymatą jeżeli Dla oceny wpływu tego wymagania na wybór macierzy tworzymy równanie dynamiki błędu estymacji Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. , o wymiarze (nxq) , obserwatora Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 7

Teoria sterowania 2014/2015 Warunek Sterowanie – użycie obserwatorów pełnych I generuje wymaganie asymptotycznej stabilności dla systemu błędu estymacji Równanie dynamiki błędu estymacji możemy zapisać gdzie, Rozwiązanie równania dynamiki błędu estymacji Jeżeli wartości własne macierzy zespolonej, to leżą w lewej półpłaszczyźnie płaszczyzny i przybliżona wartość zdąża asymptotycznie do wartości rzeczywistej Tak skonstruowany obserwator nosi nazwę obserwatora Luenberger’a (ciągłego) Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 8

Teoria sterowania 2014/2015 Sterowanie – użycie obserwatorów pełnych I Schemat blokowy systemu i jego obserwatora System Obserwator Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 9

Teoria sterowania 2014/2015 Sterowanie – użycie obserwatorów pełnych I Przypadek dyskretny Dla systemu Przyjmuje się następującą postać obserwatora gdzie, - macierz wzmocnień obserwatora o wymiarach Zdefiniujemy błąd estymacji oraz równanie dynamiki błędu estymacji Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 10

Teoria sterowania 2014/2015 Sterowanie – użycie obserwatorów pełnych I Równanie dynamiki błędu estymacji możemy zapisać gdzie, Rozwiązanie równani dynamiki błędu estymacji Jeżeli wartości własne macierzy zespolonej, to leżą w okręgu jednostkowym płaszczyzny i przybliżona wartość zdąża asymptotycznie do wartości rzeczywistej Tak skonstruowany obserwator nosi nazwę obserwatora Luenberger’a (dyskretnego) Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 11

Teoria sterowania 2014/2015 Sterowanie – użycie obserwatorów pełnych I Synteza pełnego obserwatora Projekt obserwatora obejmuje dwa kroki 1. Wartości własne macierzy są wybierane: a. dla przypadku ciągłego w lewej półpłaszczyźnie płaszczyzny zespolonej; ogólnie na lewo od tych jakie zostały wybrane przy projektowaniu sterowania ze sprzężeniem zwrotnym od stanu, czyli na lewo od wartości własnych , aby zapewnić szybsze zanikanie procesów przejściowych obserwatora niż systemu zamkniętego; wybrane wartości własne nie powinny jednak dawać zbyt szybkich procesów przejściowych, gdyż wówczas obserwator będzie miał tendencję wzmacniania wysokoczęstotliwościowych szumów b. dla przypadku dyskretnego w wewnątrz okręgu jednostkowego płaszczyzny zespolonej; ogólnie bliżej początku układu współrzędnych niż te jakie zostały wybrane przy projektowaniu sterowania ze sprzężeniem zwrotnym od stanu, czyli bliżej od wartości własnych , aby zapewnić szybsze zanikanie procesów przejściowych obserwatora niż systemu zamkniętego; wybrane wartości własne nie powinny jednak dawać zbyt szybkich procesów przejściowych, gdyż wówczas obserwator będzie miał tendencję wzmacniania wysokoczęstotliwościowych szumów Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 12

Teoria sterowania 2014/2015 2. Macierz Sterowanie – użycie obserwatorów pełnych I jest tak wyznaczana, aby rzeczywiście a. dla przypadku ciągłego macierz b. dla przypadku dyskretnego macierz miała wartości własne wybrane w kroku 1 Niech wielomian a. dla przypadku ciągłego: b. dla przypadku dyskretnego: będzie wielomianem charakterystycznym tej macierzy mającym takie wartości własne Dalej dla skrócenia będziemy kontynuować rozważanie tylko przypadku ciągłego Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 13

Teoria sterowania 2014/2015 Musimy zatem wyznaczyć macierz Sterowanie – użycie obserwatorów pełnych I tak, aby a zatem Ponieważ dla dowolnej macierzy zachodzi możemy napisać Wyznaczanie macierzy L Podobieństwo z problemem wyznaczania macierzy wzmocnień sprzężenia zwrotnego od stanu Synteza sterowania ze sprzężeniem zwrotnym od stanu Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Synteza obserwatora Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 14

Teoria sterowania 2014/2015 Sterowanie – użycie obserwatorów pełnych I Korzystając z tego podobieństwa Ponieważ dla dowolnej macierzy zachodzi możemy napisać co dokładnie oznacza: Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 15

Teoria sterowania 2014/2015 Sterowanie – użycie obserwatorów pełnych I Możemy podać warunki istnienia macierzy wzmocnień obserwatora Synteza sterowania ze sprzężeniem zwrotnym od stanu Synteza obserwatora Macierz wzmocnień istnieje, jeżeli system jest sterowalny jest obserwowalny Problem syntezy obserwatora jest problemem dualnym do problemu syntezy sterowania ze sprzężeniem zwrotnym od stanu Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 16

Teoria sterowania 2014/2015 Sterowanie – użycie obserwatorów pełnych I Projektowanie obserwatora dla systemów SISO Dla systemów SISO projektowanie obserwatora posiada jednoznaczne rozwiązanie System SISO Obserwator Macierz równania jednorodnego dynamiki błędu estymacji W oparciu o dualność problemów sterowania i obserwowania Ostatni wiersz ostatni wiersz możemy przenieść stosowanie metod projektowania sterownika na projektowanie obserwatora Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 17

Teoria sterowania 2014/2015 Sterowanie – użycie obserwatorów pełnych I a. System w postaci kanonicznej obserwowalności Jeżeli założyć, że system dany jest w postaci kanonicznej obserwowalności z wielomianem charakterystycznym i jeżeli postulować wartości własne macierzy obserwatora Luenberger’a tak, że odpowiadający im wielomian charakterystyczny jest to macierz wzmocnień obserwatora musi mieć następujące wartości Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 18

Teoria sterowania 2014/2015 Sterowanie – użycie obserwatorów pełnych I Macierze systemu w postaci kanonicznej obserwowalności zatem Obserwator też reprezentowany obserwowalności Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. jest w tym przypadku w postaci kanonicznej Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 19

Teoria sterowania 2014/2015 Sterowanie – użycie obserwatorów pełnych I Transformacja opisu systemu do postaci kanonicznej obserwowalności Przypomnienie z Mi. I Sposób: zastosowanie przekształcenia podobieństwa gdzie, P – nieosobliwa macierz stałych (liczbowa) o wymiarze nxn Zbudowany model: Korzystając z przekształcenia podobieństwa tworzymy model systemu wyrażony z użyciem nowych zmiennych stanu gdzie, Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 20

Teoria sterowania 2014/2015 Jak wyznaczyć , aby Sterowanie – użycie obserwatorów pełnych I miały postać dającą model w postaci kanonicznej obserwowalności? Ograniczymy się do przypadku SISO i bez dowodu Niech wielomian charakterystyczny macierzy A Jeżeli para (A, c) jest obserwowalna, można utworzyć zbiór liniowo niezależnych wektorów n-wymiarowych Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 21

Teoria sterowania 2014/2015 Sterowanie – użycie obserwatorów pełnych I Utworzona z tych wektorów macierz P o wymiarach nxn wykorzystana jako macierz przekształcenia podobieństwa Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 22

Teoria sterowania 2014/2015 Sterowanie – użycie obserwatorów pełnych I doprowadzi do uzyskania Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 23

Teoria sterowania 2014/2015 Sterowanie – użycie obserwatorów pełnych I b. System w postaci dowolnej – wykorzystanie wzoru Ackermann’a Ponownie skorzystamy z dualności problemów sterowania i obserwowania Możemy napisać Stąd dostajemy po transformacji twierdzenie dualne do twierdzenia Ackermann’a Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 24

Teoria sterowania 2014/2015 Sterowanie – użycie obserwatorów pełnych I Twierdzenie dualne Ackermann’a Jeżeli system jest obserwowalny i jeżeli wymaga się, aby obserwator n – tego rzędu (Luenbergr’a) posiadał wielomian charakterystyczny to należy wybrać macierz wzmocnień obserwatora o wartościach gdzie jest ostatnią kolumną odwrotnej macierzy obserwowalności i jest określona lub Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 25

Teoria sterowania 2014/2015 Sterowanie – użycie obserwatorów pełnych I Przykład 1: System jednowymiarowy Zaprojektować pełny obserwator stanu dla systemu, mający podwójna wartość własną w Opis w przestrzeni stanu Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 26

Teoria sterowania 2014/2015 Sterowanie – użycie obserwatorów pełnych I Wykorzystamy wzór Ackermann’a Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 27

Teoria sterowania 2014/2015 Sterowanie – użycie obserwatorów pełnych I Zatem Równanie obserwatora lub Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 28

Teoria sterowania 2014/2015 Sterowanie – użycie obserwatorów pełnych I Przykład 2: Zaprojektować obserwator dla systemu trzeciego rzędu System w postaci kanonicznej sterowalności Wielomian charakterystyczny systemu Wartości własne Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 29

Teoria sterowania 2014/2015 Sterowanie – użycie obserwatorów pełnych I Postulowane wartości własne obserwatora Wielomian charakterystyczny obserwatora Sprawdzenie obserwowalności systemu Do obliczenia macierzy wzmocnień obserwatora zastosujemy wzór Ackermann’a Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 30

Teoria sterowania 2014/2015 Sterowanie – użycie obserwatorów pełnych I Wielomian charakterystyczny macierzy stanu Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 31

Teoria sterowania 2014/2015 Sterowanie – użycie obserwatorów pełnych I Zatem Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 32

Teoria sterowania 2014/2015 Sterowanie – użycie obserwatorów pełnych I Wyniki symulacji Warunki początkowe Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 33

Teoria sterowania 2014/2015 Sterowanie – użycie obserwatorów pełnych I Wyniki symulacji – c. d. System Obserwator Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 34

Teoria sterowania 2014/2015 Sterowanie – użycie obserwatorów pełnych I Przykład 3. (przykład rozważany na poprzednich wykładach dla ilustracji działania całkującego) Dany jest system opisany macierzami Opis – postać kanoniczna sterowalności Wielomian charakterystyczny systemu otwartego Wartości własne wielomianu charakterystycznego systemu otwartego Stabilny asymptotyczne, słabo tłumiony system rzędu trzeciego Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 35

Teoria sterowania 2014/2015 Sterowanie – użycie obserwatorów pełnych I Dla zaprojektowania sterowania ze sprzężeniem od stanu, położenie wartości własnych zostało wybrane: Dominujące wartości własne (człon drugiego rzędu oscylacyjny) - Przeregulowanie procentowe: 6% - Czas ustalania się 2%: 3 [s] Postulowane wartości własne odpowiadające tym parametrom Trzecia wartość własna (człon pierwszego rzędu) - ujemna, dziesięć razy większa od części rzeczywistej dominujących wartości własnych Wielomian charakterystyczny systemu zamkniętego Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 36

Teoria sterowania 2014/2015 Sterowanie – użycie obserwatorów pełnych I Dla zaprojektowania obserwatora przeskalujmy podane wartości własne Wielomian charakterystyczny dla dynamiki błędu obserwatora Porównanie Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 37

Teoria sterowania 2014/2015 Sterowanie – użycie obserwatorów pełnych I Sprawdzenie obserwowalności System jest obserwowalny Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 38

Teoria sterowania 2014/2015 Sterowanie – użycie obserwatorów pełnych I Macierz A postaci kanonicznej obserwowalności Zatem macierz wzmocnień obserwatora „Szybkie” wartości własne obserwatora prowadzą do dużych wzmocnień obserwatora – należy znaleźć kompromis pomiędzy szybką zbieżnością obserwatora i możliwymi wzmocnieniami obserwatora Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 39

Teoria sterowania 2014/2015 Sterowanie – użycie obserwatorów pełnych I Dziękuję za uczestnictwo w wykładzie i uwagę Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 40