Teoria sterowania SN Sterowanie ze sprzeniem od stanu

Teoria sterowania SN Sterowanie ze sprzężeniem od stanu 1 Systemy dynamiczne Systemy liniowe stacjonarne – modele różniczkowe i różnicowe W dziedzinie czasu relacja pomiędzy wejściem a wyjściem systemu liniowego stacjonarnego może być często opisana za pomocą: system ciągły – równania różniczkowe zwyczajne liniowe o stałych współczynnikach system dyskretny – równania różnicowe liniowe o stałych współczynnikach Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 1

Teoria sterowania SN Sterowanie ze sprzężeniem od stanu 1 Modele wejście – wyjście System ciągły; model wejście - wyjście: System dyskretny; model wejście - wyjście: Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 2

Teoria sterowania SN Sterowanie ze sprzężeniem od stanu 1 Modele przestrzeni stanu System ciągły; model przestrzeni stanu Jeżeli mamy p wejść, n stanów, q wyjść x – stany u – wejścia y - wyjścia – macierz stanu – macierz sterowania – macierz wyjścia – macierz bezpośredniego sterowania Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 3

Teoria sterowania SN Sterowanie ze sprzężeniem od stanu 1 System dyskretny; model przestrzeni stanu Jeżeli mamy p wejść, n stanów, q wyjść x – stany u – wejścia y - wyjścia – macierz stanu – macierz sterowania – macierz wyjścia – macierz bezpośredniego sterowania Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 4

Teoria sterowania SN Sterowanie ze sprzężeniem od stanu 1 System ciągły; model przestrzeni stanu (zmiennych stanu) - odpowiedzi Poszukujemy rozwiązań x – stany u – wejścia y - wyjścia Odpowiedź stanu – w dziedzinie czasu Składowa swobodna Składowa wymuszona Składowa przy zerowym stanie wymuszeniu (Zero Input ZI) początkowym (Zero State ZS) Odpowiedź wyjścia – w dziedzinie wyjścia Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 5

Teoria sterowania SN Sterowanie ze sprzężeniem od stanu 1 Odpowiedź stanu – w dziedzinie zmiennej zespolonej s Odpowiedź wyjścia – w dziedzinie zmiennej zespolonej s Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 6

Teoria sterowania SN Sterowanie ze sprzężeniem od stanu 1 Kluczowy problem – obliczenie - macierz tranzycji stanu, macierz fundamentalna I sposób – z definicji szeregu wykładniczego II sposób – z porównania odpowiadających składników odpowiedzi w dziedzinie czasu i zmiennej zespolonej s Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 7

Teoria sterowania SN Sterowanie ze sprzężeniem od stanu 1 Związki opisu w przestrzeni stanu z transmitancją Dla układu SISO: Odpowiedź wyjścia: Funkcja tranzycji stanu Funkcja przejścia transmitancja Otrzymujemy: Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 8

Teoria sterowania SN Sterowanie ze sprzężeniem od stanu 1 System dyskretny; model odpowiedzi Poszukujemy rozwiązań przestrzeni stanu (zmiennych stanu) – x – stany u – wejścia y - wyjścia Przyjmuje się: Odpowiedź stanu – w dziedzinie czasu Porównanie odpowiedzi stanu Składowa swobodna Składowa wymuszona Odpowiedź wyjścia – w dziedzinie czasu Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 9

Teoria sterowania SN Sterowanie ze sprzężeniem od stanu 1 Odpowiedź stanu – w dziedzinie zmiennej zespolonej z Odpowiedź wyjścia – w dziedzinie zmiennej zespolonej z Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 10

Teoria sterowania SN Sterowanie ze sprzężeniem od stanu 1 Obliczenie macierzy tranzycji stanu Jest to odpowiednik w dziedzinie czasu ciągłego macierzy I sposób – z rozwiązania odpowiedzi stanu II sposób – z porównania odpowiadających składników odpowiedzi w dziedzinie czasu i zmiennej zespolonej z Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 11

Teoria sterowania SN Sterowanie ze sprzężeniem od stanu 1 Związki opisu w przestrzeni stanu z transmitancją Dla warunku początkowego Wyjście Funkcja przejścia transmitancja Wejście Transmitancja systemu dyskretnego Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 12

Teoria sterowania SN Sterowanie ze sprzężeniem od stanu 1 Sterowanie ze sprzężeniem od stanu – metoda alokacji biegunów Stosowane dalej oznaczenia System MIMO Przy czym: wymiar wymiar oraz rząd ; rząd Przy ekstrapolacji zerowego rzędu i czasie zatrzaśnięcia T s jeżeli Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. istnieje Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 13

Teoria sterowania SN Sterowanie ze sprzężeniem od stanu 1 Sformułowanie problemu Zasadniczo rozważa się przypadki, kiedy : macierz systemu, stała, rzeczywista, wymiaru gdzie: , tzn. : wektor stanu, rzeczywisty, wymiaru , tzn. : wektor wejścia, rzeczywisty, wymiaru , tzn. : macierz wejścia, stała, rzeczywista, wymiaru tzn. : wektor wyjścia lub obserwacji, rzeczywisty, wymiaru , , tzn. : macierz wyjścia lub obserwacji, stała, rzeczywista, wymiaru tzn. Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania , 14

Teoria sterowania SN Sterowanie ze sprzężeniem od stanu 1 Zadanie sterowania: System będący w chwili początkowej początkowym ( dla systemów stacjonarnych) w stanie , należy przeprowadzić do pożądanego stanu końcowego, lub operacyjnego , zapewniając w stanie przejściowym spełnienie określonych wymagań dynamicznych takich jak np. czas narastania, przeregulowania, oscylacyjność …. Po osiągnięciu stanu operacyjnego , wartość wyjścia musi być zwykle równa narzuconej wartości zadanej Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 15

Teoria sterowania SN Sterowanie ze sprzężeniem od stanu 1 Propozycja rozwiązania – z zastosowaniem sprzężenia w przód: Na system działają dwie wielkości zewnętrzne - stan początkowy - sygnał wartości zadanej Przesłanie zwrotne wektora stanu na wejście z wykorzystaniem macierzy sprzężenia zwrotnego od stan - działanie regulacyjne Przesłanie w przód wektora wartości zadanej sprzężenia w przód - działanie śledzące Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. na wejście z wykorzystaniem macierzy Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 16

Teoria sterowania SN Sterowanie ze sprzężeniem od stanu 1 Rozwiązanie - struktura Przypadek ciągły: Macierz kompensacji wzmocnień statycznych (macierz sprzężenia w przód) Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Obiekt Sterownik (prawo sterowania) Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 17

Teoria sterowania SN Sterowanie ze sprzężeniem od stanu 1 Równania opisujące system zamknięty: Stąd: Równanie stanu systemu zamkniętego i macierz systemu zamkniętego CL – close loop oraz macierz wejścia Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 18

Teoria sterowania SN Sterowanie ze sprzężeniem od stanu 1 Przypomnienie: na system działają dwie wielkości zewnętrzne - stan początkowy - sygnał wartości zadanej Rozważamy systemy liniowe – zasada superpozycji upoważnia do rozdzielnego rozważania Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 19

Teoria sterowania SN Sterowanie ze sprzężeniem od stanu 1 Przypadek ciągły – działanie regulacyjne Działanie regulacyjne ma na celu przeprowadzenie wektora stanu systemu ze stanu początkowego do stanu operacyjnego (końcowego) przy zadanych warunkach tego przejścia i/lub osłabieniu wpływu zakłóceń tak, aby osiągnąć stan ustalony Będzie to wynikać z odpowiedniego doboru macierzy Dla obliczenia macierzy przyjmujemy (zgodnie z zasadą superpozycji) Równanie Redukuje się do postaci Wymaganie minimalne – stabilność: wszystkie wartości własne macierzy w lewej półpłaszczyźnie - zapewnienie odwracalności równowagi Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. i osiągnięcie stanu Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 20

Teoria sterowania SN Sterowanie ze sprzężeniem od stanu 1 Macierz jest stałą macierzą o wymiarze sterownika i nazywana jest macierzą wzmocnień Cechy: - w skrajnym przypadku ma elementów, - jako macierz stała związana ze stanem - poprzez związek pełni rolę sterownika proporcjonalnego pełni też rolę sterownika różniczkującego - nie daje sprzężenia o charakterze całkującym Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 21

Teoria sterowania SN Sterowanie ze sprzężeniem od stanu 1 Przypadek ciągły – działanie śledzące Działanie śledzące ma na celu uzyskanie w stanie ustalonym ( ) spełnienie warunku Równanie stanu systemu zamkniętego sprowadza się do stąd Równanie wyjścia systemu zamkniętego przyjmuje postać stąd - warunek jednostkowego wzmocnienia Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 22

Teoria sterowania SN Sterowanie ze sprzężeniem od stanu 1 Rozwiązanie - struktura Przypadek dyskretny: Obiekt Opóźnienie Macierz kompensacji wzmocnień statycznych (macierz sprzężenia w przód) Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Sterownik (prawo sterowania) Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 23

Teoria sterowania SN Sterowanie ze sprzężeniem od stanu 1 Równania opisujące system zamknięty: Stąd: Równanie stanu systemu zamkniętego i macierz systemu zamkniętego CL – close loop oraz macierz wejścia Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 24

Teoria sterowania SN Sterowanie ze sprzężeniem od stanu 1 Przypadek dyskretny – działanie regulacyjne Podobnie jak w przypadku ciągłym, przyjmujemy Problem sterowania sprowadza się do określenia sekwencji wartości otrzymywanych dla z zależności , która przeprowadzi system ze stanu początkowego Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. w stan końcowy Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 25

Teoria sterowania SN Sterowanie ze sprzężeniem od stanu 1 Przypadek dyskretny – działanie śledzące Działanie śledzące ma na celu uzyskanie w stanie ustalonym ( ) spełnienia warunku Równanie stanu systemu zamkniętego sprowadza się do stąd Równanie wyjścia systemu zamkniętego przyjmuje postać stąd - warunek jednostkowego wzmocnienia Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 26

Teoria sterowania SN Sterowanie ze sprzężeniem od stanu 1 Metody projektowania macierzy sterowania (sprzężenia zwrotnego) L Metody alokowania biegunów (metody rozmieszczania biegunów) Dane jest a priori rozmieszczenie biegunów systemu zamkniętego (na płaszczyźnie s lub z) i macierz L jest wyznaczana tak, aby system zamknięty posiadał rzeczywiście takie bieguny Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 27

Teoria sterowania SN Sterowanie ze sprzężeniem od stanu 1 Metoda alokacji biegunów Podstawy metody Metoda związana z działaniem regulacyjnym (związane z warunkiem początkowym przyjęciu Nie bierze się pod uwagę równania wyjścia projektowaniu macierz kompensacji wzmocnień , , gdyż brane jest ono pod uwagę przy lub lub Schemat sterowania systemu ze sprzężeniem od stanu Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 28

Teoria sterowania SN Sterowanie ze sprzężeniem od stanu 1 Projektowanie metodą alokacji biegunów polega znalezieniu stałej macierzy sprzężenia zwrotnego (od stanu) takiej, że wartości własne systemu zamkniętego zarówno systemu ciągłego jak i dyskretnego, znajdują się w danych położeniach na płaszczyźnie s lub z Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 29

Teoria sterowania SN Sterowanie ze sprzężeniem od stanu 1 Warunki istnienia macierzy Wszystkie wartości własne systemu mogą być przemieszczone do nowych dowolnych położeń wtedy i tylko wtedy, gdy system jest całkowicie sterowalny Sterowalność, warunki sterowalności, dekompozycja kanoniczna sterowalności Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 30

Teoria sterowania SN Sterowanie ze sprzężeniem od stanu 1 Ogólna procedura wyznaczania macierzy L Przy warunku równanie stanu systemu zamkniętego Wartości własne macierzy systemu zamkniętego , które zostały wybrane, są zerami wielomianu charakterystycznego systemu zamkniętego gdzie, oznacza, że współczynnik wielomianu zależy od elementów nieznanej macierzy Z drugiej strony, arbitralny wybór wartości własnych arbitralnemu wyborowi współczynników wielomianu, ponieważ Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. jest równoważny Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 31

Teoria sterowania SN Sterowanie ze sprzężeniem od stanu 1 Przyrównując do siebie współczynniki powyższych wielomianów, otrzymujemy układ równań ( ) t. j. układ n równań (określone ) o p x n niewiadomych (wymiar macierzy L) Konsekwencje: p = 1, system jednowymiarowy, układ określony, istnieje jednoznaczne rozwiązanie p > 1, system wielowymiarowy, układ niedookreślony, nie istnieje jednoznaczne rozwiązanie Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 32

Teoria sterowania SN Sterowanie ze sprzężeniem od stanu 1 Przykład – mały silnik p. s. z obciążeniem inercyjnym i pomijalną indukcyjnością obwodu twornika i sztywnym wałem k = , L = 0 Zmienne modelu: - zmienne stanu - zmienna wyjścia Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 33

Teoria sterowania SN Sterowanie ze sprzężeniem od stanu 1 Równania stanu w postaci macierzowej: Równania wyjścia w postaci macierzowej: Schemat blokowy analogowy modelu silnika PS Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 34

Teoria sterowania SN Sterowanie ze sprzężeniem od stanu 1 Silnik używany do sterowania położeniem kątowym lub liniowym Przykład – pozycjonowanie głowicy plotera Model w postaci nie-macierzowej Transformacja Laplace’a Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 35

Teoria sterowania SN Sterowanie ze sprzężeniem od stanu 1 Transmitancja operatorowa Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 36

Teoria sterowania SN gdzie, - wzmocnienie w torze napięcie – położenie, Sterowanie ze sprzężeniem od stanu 1 - stała czasowa silnika W wielu przypadkach Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 37

Teoria sterowania SN gdzie, - wzmocnienie w torze napięcie – położenie, Sterowanie ze sprzężeniem od stanu 1 - stała czasowa silnika W wielu przypadkach Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 38

Teoria sterowania SN Sterowanie ze sprzężeniem od stanu 1 Wówczas i Równania stanu dla tych warunków Chcemy umieścić wartości własne systemu zamkniętego w określonych miejscach Pożądany obszar alokacji biegunów systemu zamkniętego Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Linie stałej wartości współczynnika tłumienia i pulsacji drgań nietłumionych systemu rzędu drugiego Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 39

Teoria sterowania SN Sterowanie ze sprzężeniem od stanu 1 Wybierzmy Postulowany wielomian charakterystyczny systemu zamkniętego Jest to też wielomian charakterystyczny macierzy systemu zamkniętego Równania opisujące system zamknięty: Stąd Równanie stanu systemu zamkniętego i macierz systemu zamkniętego Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 40

Teoria sterowania SN Sterowanie ze sprzężeniem od stanu 1 Wielomian charakterystyczny macierzy systemu zamkniętego wyrażony przez parametry systemu W przykładzie Stąd Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 41

Teoria sterowania SN Sterowanie ze sprzężeniem od stanu 1 Z porównania dwóch wielomianów charakterystycznych i stąd Wybierając możemy określić Z klasycznej teorii: odwrotność stałej czasowej – pulsacja załamania Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 42

Teoria sterowania SN Sterowanie ze sprzężeniem od stanu 1 Dla systemu drugiego rzędu oraz Gdyby np. pulsacja drgań nietłumionych miałaby być pięciokrotnie większa od pulsacji załamania, a współczynnik tłumienia stąd i wzmocnienia Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 43

Teoria sterowania SN Sterowanie ze sprzężeniem od stanu 1 Schemat zbudowanego systemu sterowania Silnik Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 44

Teoria sterowania SN Sterowanie ze sprzężeniem od stanu 1 Propozycja rozwiązania – wykorzystanie działania całkującego Zastosowanie macierzy kompensacji M pozwala zapewnić wzmocnienie w torze wartość zadana – wartość aktualna wyjścia równą jeden, inaczej mówiąc równość tych dwóch wielkości Wada: rozwiązanie takie nie gwarantuje zerowej wartości uchybu ustalonego, np. w sytuacjach, kiedy model systemu nie jest dokładnie znany Alternatywa: dodanie jednego lub kilku integratorów (elementów całkujących) w pętli sterowania Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 45

Teoria sterowania SN Sterowanie ze sprzężeniem od stanu 1 Rozwiązanie - struktura Przypadek ciągły: Dla zlikwidowania uchybu ustalonego, - wprowadzamy integratory w liczbie na wyjściu komparatora (elementu porównującego) wartości zadanej (referencyjnej) i aktualnej wielkości wyjściowej systemu – po jednym dla każdej składowej wektora - poprzez macierz wielkości referencyjnej zamykamy sprzężenie zwrotne (ujemne) - sprzężenie od wektora stanu realizowane jest jak poprzednio za pomocą macierzy oznaczonej Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 46

Teoria sterowania SN Pojawiają się nowe zmienne stanu Sterowanie ze sprzężeniem od stanu 1 będące skutkiem wprowadzenia integratorów Niech system jest dany jako Nowe zmienne stanu Łącząc zmienne stanu otrzymujemy system rozszerzony Równania stanu systemu rozszerzonego Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 47

Teoria sterowania SN Sterowanie ze sprzężeniem od stanu 1 Pełny opis systemu rozszerzonego (otwartego) Macierze wzmocnień dla działania regulacyjnego wprowadzamy jak poprzednio Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 48

Teoria sterowania SN Sterowanie ze sprzężeniem od stanu 1 Równania stanu systemu po zamknięciu sprzężenia Pełny opis systemu po zamknięciu sprzężenia Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 49

Teoria sterowania SN Sterowanie ze sprzężeniem od stanu 1 Projektowanie sterowania ze sprzężeniem od stanu Opis systemu rozszerzonego może być dany gdzie Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 50

Teoria sterowania SN Sterowanie ze sprzężeniem od stanu 1 Problem polega teraz na określeniu rozszerzonej macierzy wzmocnień sprzężenia zwrotnego od stanu tak, aby system zamknięty realizujący prawo sterowania i mający macierz systemu posiadał wymagane własności dynamiczne Rozwiązanie problemu – jak dla podejścia ze sprzężeniem w przód Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 51

Teoria sterowania SN Sterowanie ze sprzężeniem od stanu 1 Rozwiązanie – struktura Przypadek dyskretny: Opóźnienie Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Opóźnienie Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 52

Teoria sterowania SN Sterowanie ze sprzężeniem od stanu 1 Wyście integratora (dyskretnego) gdzie, zmienne reprezentują dodatkowych zmiennych stanu Równania systemu rozszerzonego Pełny opis systemu rozszerzonego (otwartego) Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 53

Teoria sterowania SN Sterowanie ze sprzężeniem od stanu 1 Sterowanie przez sprzężenie zwrotne od stanu Prawo sterowania System z zamkniętą pętlą sterowania Uchyb sterowania w stanie równowagi Stan równowagi Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 54

Teoria sterowania SN Sterowanie ze sprzężeniem od stanu 1 Dziękuję za uczestnictwo w wykładzie i uwagę Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 55