Metody Numeryczne wiczenia 12 Cakowanie numeryczne funkcji UWAGA

Metody Numeryczne Ćwiczenia 12 Całkowanie numeryczne funkcji. UWAGA ! II Kolokwium dnia 18, 19, 23. 01. 2006 na zajęciach. Materiał: rozwiązywanie równań liniowych oraz całkowanie.

Algorytm prostokątów Przedział całkowania <xp, xk> funkcji f(x) dzielimy na n równo odległych punktów x 1, x 2, . . . , xn. Punkty te wyznaczamy wg wzoru: xi = xp + (xk - xp) i/n dla i = 1, 2, . . . , n Obliczamy odległość między dwoma sąsiednimi punktami - podstawa prostokąta: dx = (xk – xp )/n Dla wyznaczonych punktów obliczamy wartość funkcji f(x): fi = f(xi), dla i = 1, 2, . . . , n Obliczamy sumę iloczynów wyznaczonych wartości funkcji przez odległość dx między dwoma sąsiednimi punktami - suma pól prostokątów ograniczonych wykresem funkcji: S = f 1 dx + f 2 dx +. . . + fn dx lub S = dx (f 1 + f 2 +. . . + fn) Otrzymana suma jest przybliżoną wartością całki oznaczonej funkcji f(x) w przedziale <xp, xk>.

Algorytm trapezów I Przedział całkowania <xp, xk> funkcji f(x) dzielimy na n+1 równo odległych punktów x 0, x 1, x 2, . . . , xn. Punkty te wyznaczamy wg wzoru: xi = xp + (xk - xp) i/n dla i = 0, 1, 2, . . . , n Obliczamy odległość między dwoma sąsiednimi punktami - podstawa prostokąta: dx = (xk – xp_)/n Dla wyznaczonych punktów obliczamy wartość funkcji f(x): fi = f(xi), dla i = 0, 1, 2, . . . , n Pole pod wykresem funkcji przybliżane jest polami n trapezów. Pole i-tego trapezu obliczamy wg wzoru: dla i=1, 2, . . . , n Pi = dx (fi-1 + fi)/2 Przybliżona wartość całki jest sumą pól wszystkich otrzymanych w ten sposób trapezów: czyli s = P 1 + P 2 +. . . + Pn

Algorytm trapezów II Przekształcając uzyskujemy: Ogólny wzór opisujący przybliżoną wartość całki funkcji metodą trapezów:

Algorytm parabol-Simpsona I Dzielimy przedział całkowania i obliczamy wartości punktów xi oraz odległości między dwoma sąsiednimi punktami dx podobnie jak w metodzie trapezów. Dla każdych dwóch sąsiednich punktów wyznaczamy punkt środkowy ti wg wzoru: ti = (xi-1 + xi)/2, dla i = 1, 2, . . . , n Następnie obliczamy wartości funkcji f(xi) oraz f(ti) w punktach podziału i środkowych. fi = f(xi), dla i = 0, 1, 2, . . . , n oraz fti = f(ti) dla i = 1, 2, . . . , n W każdym podprzedziale <xi-1, xi> przybliżamy funkcję za pomocą paraboli g(x) o następującej postaci: gi(x) = aix 2 + bix + ci, x <xi-1, xi> dla i = 1, 2, . . . , n Parabola gi(x) musi przechodzić przez punkty: (xi-1, fi-1), (ti, fti), (xi, fi). Współczynniki ai, bi i ci wyznaczymy zatem z układu trzech równań: dla i = 1, 2, . . . , n

Algorytm parabol-Simpsona II Pole pod parabolą w przedziale <xi-1, xi> będzie równe całce oznaczonej: dla i = 1, 2, . . . , n Po obliczeniach oraz przekształceniach uzyskujemy wzór, który pozwala wyliczyć pole obszaru pod parabolą aproksymującą funkcję f(x) w przedziale <xi-1, xi>. Wartość całej całki otrzymamy sumując te pola, czyli: do obliczeń komputerowych stosujemy efektywniejszy wzór otrzymywania powyższej sumy:

Zadanie Wykonać całkowanie dla n=5 funkcji f(x)= 4. 40*sin(x) za pomocą algorytmów : prostokątów, trapezów, parabol. Simpsona w przedziale < 0. 30; 1. 10 >.

Następne zajęcia II Kolokwium dnia (18, 19, 23). 01. 2006 r. • na zajęciach • Materiał: rozwiązywanie równań liniowych oraz całkowanie.