Teoria sterowania 20142015 Sterowanie obserwatory zredukowane I Obserwatory

Teoria sterowania 2014/2015 Sterowanie – obserwatory zredukowane I Obserwatory zredukowane Pełny lub n-tego rzędu obserwator (Luenberger’a) – redundancja informacyjna Pewna liczba zmiennych stanu dostępna poprzez zakładany pomiar wyjść Będziemy zakładali, jak poprzednio Przypadek ciągły Wyprowadzenie I Zakładamy: q mierzonych wyjść są liniowo niezależne – macierz C ma rząd q Zakładamy też: macierz C o wymiarze qxn ma postać lub można ją sprowadzić do postaci (przez przekształcenie podobieństwa – zmianę bazy) Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 1

Teoria sterowania 2014/2015 Sterowanie – obserwatory zredukowane I Jeżeli opis systemu sterowanego nie jest początkowo w postaci różnej od podanej - przeprowadzamy transformację podobieństwa wybierając macierz T ’ tak, aby T było nieosobliwe ( miała macierz odwrotną) Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 2

Teoria sterowania 2014/2015 Sterowanie – obserwatory zredukowane I Możliwy sposób wyboru macierzy T ’ czyli Dowód poprawności wyboru – z metody eliminacji Gausa - Jordana Związki wynikające z przekształcenia podobieństwa: Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 3

Teoria sterowania 2014/2015 Sterowanie – obserwatory zredukowane I Dekompozycja Biorąc pod uwagę postać macierzy C można napisać równanie stanu w postaci Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 4

Teoria sterowania 2014/2015 Sterowanie – obserwatory zredukowane I lub Równanie wyjścia staje się oczywiście tożsamością (tautologią) Przy czym pamiętamy Wystarczy teraz estymować tylko v (n -q – elementów) Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 5

Teoria sterowania 2014/2015 Sterowanie – obserwatory zredukowane I Idea rekonstrukcji Ponieważ Wartość jest dostępne pomiarowo, to również jest mierzalna Podane równania możemy tratować jako równania stanu i równania pomiarów, w których - wektor stanu - wektor wejścia - wektor wyjścia (pomiaru) Równanie stanu i pomiaru zredukowanego systemu piszemy w postaci Odpowiada to równaniom: Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 6

Teoria sterowania 2014/2015 Sterowanie – obserwatory zredukowane I Budujemy pełny obserwator Luenbergera, ale rzędu n-q, który nazywamy obserwatorem zredukowanym Oznaczymy macierz wzmocnień obserwatora zredukowanego o wymiarze (n-q)xq Równanie stanu obserwatora zredukowanego przyjmujemy: Wyprowadzenie szczegółowej postaci obserwatora zredukowanego Bezpośrednio mierzy się y, występowanie pochodnej jest niekorzystne – wprowadza się zmienną Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 7

Teoria sterowania 2014/2015 Sterowanie – obserwatory zredukowane I Podstawiając do ostatniego wyniku otrzymamy nowe równanie obserwatora zredukowanego lub Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 8

Teoria sterowania 2014/2015 Sterowanie – obserwatory zredukowane I Odpowiada im schemat blokowy obserwatora zredukowanego Ponieważ v ma wymiar (n-q), więc również z ma wymiar (n-q) i jest dobrze określonym obserwatorem zredukowanym tego rzędu Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 9

Teoria sterowania 2014/2015 Sterowanie – obserwatory zredukowane I Warunki dla obliczenia macierzy wzmocnień obserwatora zredukowanego Jak poprzednio definiujemy błąd rekonstrukcji obserwatora (błąd estymacji) Warunek dobrego estymatora Weźmy zredukowane równanie stanu systemu i początkowe równanie obserwatora zredukowanego Równanie dynamiki błędu obserwatora zredukowanego Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 10

Teoria sterowania 2014/2015 Sterowanie – obserwatory zredukowane I Macierz stanu jednorodnego równania dynamiki błędu obserwatora Wymagana obserwowalność pary Lemat. Jeżeli para , to para też jest obserwowalna Twierdzenie. Mając dany liniowy stacjonarny system rzędu n, który posiada q liniowo niezależnych wyjść (pomiarów wyjść) i jest obserwowalny, można skonstruować obserwator rzędu (n-q) mający dowolne wartości własne Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 11

Teoria sterowania 2014/2015 Sterowanie – obserwatory zredukowane I Przeprowadzona konstrukcja wyznacza jeden obserwator tego typu, który posiada jako macierz systemu Inne wyprowadzenia II. Można też założyć: macierz C o wymiarze qxn ma postać lub można ją sprowadzić do postaci (przez przekształcenie podobieństwa – zmianę bazy) Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 12

Teoria sterowania 2014/2015 Sterowanie – obserwatory zredukowane I Wówczas, jeżeli opis systemu sterowanego nie jest początkowo w postaci różnej od podanej - przeprowadzamy transformację podobieństwa wybierając macierz T ’ tak, aby T było nieosobliwe ( miała macierz odwrotną) Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 13

Teoria sterowania 2014/2015 Sterowanie – obserwatory zredukowane I Możliwy sposób wyboru macierzy T ’ czyli Dowód poprawności wyboru – z metody eliminacji Gausa - Jordana Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 14

Teoria sterowania 2014/2015 Sterowanie – obserwatory zredukowane I Dekompozycja Biorąc pod uwagę inną postać macierzy C można teraz napisać równanie stanu w postaci Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 15

Teoria sterowania 2014/2015 lub Sterowanie – obserwatory zredukowane I Wystarczy teraz estymować tylko v (n -q – elementów) Równanie wyjścia staje się oczywiście tożsamością (tautologią) Przy czym pamiętamy Wystarczy teraz estymować tylko v (n -q – elementów) Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 16

Teoria sterowania 2014/2015 Sterowanie – obserwatory zredukowane I Zastosowana idea rekonstrukcji pozostaje taka sama i warunki dla obliczenia macierzy wzmocnień obserwatora zredukowanego wyprowadza się w analogiczny sposób Otrzymamy równanie obserwatora zredukowanego lub Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 17

Teoria sterowania 2014/2015 Sterowanie – obserwatory zredukowane I Macierz systemu obserwatora przyjmie postać III. Można zrezygnować z „częściowo jednostkowej” postaci macierzy C o wymiarze qxn i założyć jedynie, że macierz C ma jedną z postaci a. b. Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 18

Teoria sterowania 2014/2015 Sterowanie – obserwatory zredukowane I Weźmy przypadek a. Dekompozycja Biorąc pod uwagę postać macierzy C można teraz napisać równanie stanu w postaci Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 19

Teoria sterowania 2014/2015 Sterowanie – obserwatory zredukowane I Pełny obserwator Nie ma potrzeby rekonstruować górnej składowej wektora stanu – zakładając nieosobliwość C 1 można bowiem Dalej: zastosowana idea rekonstrukcji pozostaje taka sama i warunki dla obliczenia macierzy wzmocnień obserwatora zredukowanego wyprowadza się w analogiczny sposób Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 20

Teoria sterowania 2014/2015 Sterowanie – obserwatory zredukowane I Macierz systemu obserwatora przyjmie postać Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 21

Teoria sterowania 2014/2015 Sterowanie – obserwatory zredukowane I Obserwator zredukowany dla systemów z jednym wyjściem (system SISO) Przypadek ciągły Biorąc pod uwagę postać macierzy C Ograniczymy się do przypadku wyprowadzenia I Dekompozycja Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 22

Teoria sterowania 2014/2015 Sterowanie – obserwatory zredukowane I Macierze A oraz B mają postać Macierze c. T ma postać (lub sprowadzamy ją do postaci Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 23

Teoria sterowania 2014/2015 Sterowanie – obserwatory zredukowane I Macierze wzmocnień obserwatora redukuje się do wektora i oznaczymy go Postępując jak poprzednio otrzymamy równanie obserwatora zredukowanego lub Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 24

Teoria sterowania 2014/2015 Sterowanie – obserwatory zredukowane I Macierz systemu obserwatora przyjmie postać Projektowanie obserwatora zredukowanego dla systemów SISO gr określamy tak, aby macierz Fr miała n-1 wartości własnych, które spełniają postulowane równanie charakterystyczne Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 25

Teoria sterowania 2014/2015 Sterowanie – obserwatory zredukowane I Możliwości I. bezpośrednio – porównanie wartości współczynników II. wykorzystanie postaci kanonicznej obserwowalności wówczas Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 26

Teoria sterowania 2014/2015 Sterowanie – obserwatory zredukowane I Problem polega na znalezieniu takich, aby macierz miała wielomian charakterystyczny o postulowanej postaci Przywołując twierdzenie podane dla pełnego obserwatora i pamiętając o zmniejszeniu wymiaru o 1 oraz, że macierzy A odpowiada teraz A 11 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 27

Teoria sterowania 2014/2015 Sterowanie – obserwatory zredukowane I otrzymujemy rozwiązanie Zatem i równania obserwatora Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 28

Teoria sterowania 2014/2015 Sterowanie – obserwatory zredukowane I III. macierz A w dowolnej postaci – wykorzystanie dualnego twierdzenia Ackermann’a Twierdzenie dualne Ackermann’a Jeżeli system jest obserwowalny i jeżeli wymaga się, aby obserwator n – tego rzędu (Luenbergr’a) posiadał wielomian charakterystyczny to należy wybrać macierz wzmocnień obserwatora o wartościach gdzie jest ostatnią kolumną odwrotnej macierzy obserwowalności i jest określona lub Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 29

Teoria sterowania 2014/2015 Sterowanie – obserwatory zredukowane I Dualne twierdzenie Ackermann’a stosujemy do systemu zredukowanego, czyli ogólnie do systemu rzędu n-q danego równaniem stanu (wyprowadzenie I) i wyjścia Zatem w twierdzeniu Ackermann’a należy podstawić Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 30

Teoria sterowania 2014/2015 Sterowanie – obserwatory zredukowane I Przykład 1 (z W 10): System jednowymiarowy Zaprojektować pełny obserwator stanu dla systemu, mający podwójna wartość własną w Opis w przestrzeni stanu Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 31

Teoria sterowania 2014/2015 Sterowanie – obserwatory zredukowane I Ponieważ należy zbudować obserwator zredukowany dla Niech Ponieważ zatem system ma wymaganą postać dla wyprowadzenia I Ale nie jest w postaci kanonicznej obserwowalności – zastosujemy kolejno wyliczenie bezpośrednie i równanie dualne Ackermann’a Dekompozycja Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 32

Teoria sterowania 2014/2015 Wektor Sterowanie – obserwatory zredukowane I redukuje się do skalara Postulowany wielomian charakterystyczny Macierz systemu obserwatora Wielomian charakterystyczny macierzy systemu obserwatora zatem Porównanie zatem Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 33

Teoria sterowania 2014/2015 Sterowanie – obserwatory zredukowane I Równanie obserwatora Schemat blokowy systemu z obserwatorem Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 34

Teoria sterowania 2014/2015 Sterowanie – obserwatory zredukowane I Dualne równanie Ackermann’a stosujemy do systemu zredukowanego Para oznacza tutaj Macierz obserwowalności Postulowany wielomian charakterystyczny zatem I podobnie jak poprzednio Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 35

Teoria sterowania 2014/2015 Sterowanie – obserwatory zredukowane I Dziękuję za uczestnictwo w wykładzie i uwagę Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 36