Teoria sterowania 20162017 Sterowanie metoda alokacji biegunw I

Teoria sterowania 2016/2017 Sterowanie – metoda alokacji biegunów I Teoria sterowania Automatyka i Robotyka - studia stacjonarne II stopnia Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. , prof. nadzw. PG Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Materiał wykładowy 5 - 2016/2017 Sterowanie systemem dynamicznym – metoda alokacji biegunów © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. , prof. nadzw. PG Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 1

Teoria sterowania 2016/2017 Sterowanie – metoda alokacji biegunów I Systemy liniowe stacjonarne Sterowanie – metody alokacji biegunów Stosowane dalej oznaczenia System MIMO Przy czym: wymiar oraz wymiar wymiar rząd ; rząd Przy ekstrapolacji zerowego rzędu i czasie zatrzaśnięcia Ts jeżeli © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. , prof. nadzw. PG istnieje Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 2

Teoria sterowania 2016/2017 Sterowanie – metoda alokacji biegunów I Sformułowanie problemu Będziemy rozważali zasadniczo przypadki, kiedy : macierz systemu, stała, rzeczywista, wymiaru gdzie: , tzn. : wektor stanu, rzeczywisty, wymiaru , : wektor wejścia, rzeczywisty, wymiaru tzn. , tzn. : macierz wejścia, stała, rzeczywista, wymiaru tzn. : wektor wyjścia lub obserwacji, rzeczywisty, wymiaru , , tzn. : macierz wyjścia lub obserwacji, stała, rzeczywista, wymiaru tzn. © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. , prof. nadzw. PG Katedra Inżynierii Systemów Sterowania , 3

Teoria sterowania 2016/2017 Sterowanie – metoda alokacji biegunów I Sformułowanie zadania sterowania: Dla systemu będącego w chwili początkowej stanie początkowym , należy: ( dla systemów stacjonarnych) w przeprowadzić go do pożądanego stanu końcowego, lub operacyjnego , zapewniając w stanie przejściowym spełnienie określonych wymagań dynamicznych takich jak np. czas narastania, przeregulowania, oscylacyjność …. – zadanie 1 a po osiągnięciu stanu operacyjnego , wartość wyjścia poziomie , narzuconej wartości zadanej - zadanie 2 starać się utrzymać na Propozycja rozwiązania: Na system działają dwie wielkości zewnętrzne - stan początkowy - sygnał wartości zadanej Zadanie 1. Przesłanie zwrotne wektora stanu na wejście z wykorzystaniem macierzy sprzężenia zwrotnego od stan - działanie regulacyjne Zadanie 2. Przesłanie w przód wektora wartości zadanej sprzężenia w przód - działanie śledzące © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. , prof. nadzw. PG na wejście z wykorzystaniem macierzy Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 4

Teoria sterowania 2016/2017 Sterowanie – metoda alokacji biegunów I Rozwiązanie Przypadek ciągły: Obiekt Macierz kompensacji wzmocnień statycznych (macierz sprzężenia w przód) Obiekt ciągły (system otwarty): © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. , prof. nadzw. PG Sterownik (prawo sterowania) Prawo sterowania: Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 5

Teoria sterowania 2016/2017 Sterowanie – metoda alokacji biegunów I Równania opisujące system zamknięty: Stąd: Równanie stanu systemu zamkniętego i macierz dynamiki systemu zamkniętego CL – close loop oraz macierz wejścia Przypomnienie: na system działają dwie wielkości zewnętrzne - stan początkowy - sygnał wartości zadanej © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. , prof. nadzw. PG Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 6

Teoria sterowania 2016/2017 Sterowanie – metoda alokacji biegunów I Rozważamy systemy liniowe – zasada superpozycji upoważnia do rozdzielnego rozważania zadania 1 i 2 Przypadek ciągły – działanie regulacyjne Działanie regulacyjne ma na celu przeprowadzenie wektora stanu systemu ze stanu początkowego do stanu operacyjnego (końcowego) przy zadanych warunkach tego przejścia i/lub osłabieniu wpływu zakłóceń tak, aby osiągnąć stan ustalony Będzie to wynikać z odpowiedniego doboru macierzy Dla obliczenia macierzy przyjmujemy (zgodnie z zasadą superpozycji) Równanie Redukuje się do postaci Wymaganie minimalne – stabilność: wszystkie wartości własne macierzy w lewej półpłaszczyźnie - zapewnienie odwracalności © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. , prof. nadzw. PG i osiągnięcie stanu równowagi Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 7

Teoria sterowania 2016/2017 Sterowanie – metoda alokacji biegunów I Macierz jest stałą macierzą o wymiarze sterownika i nazywana jest macierzą wzmocnień Cechy: - w skrajnym przypadku ma elementów, - jako macierz stała związana ze stanem - poprzez związek pełni rolę sterownika proporcjonalnego pełni też rolę sterownika różniczkującego - nie daje sprzężenia o charakterze całkującym © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. , prof. nadzw. PG Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 8

Teoria sterowania 2016/2017 Sterowanie – metoda alokacji biegunów I Przypadek ciągły – działanie śledzące Działanie śledzące ma na celu uzyskanie w stanie ustalonym ( ) spełnienie warunku Równanie stanu systemu zamkniętego sprowadza się do stąd Równanie wyjścia systemu zamkniętego przyjmuje postać stąd - warunek jednostkowego wzmocnienia © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. , prof. nadzw. PG Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 9

Teoria sterowania 2016/2017 Sterowanie – metoda alokacji biegunów I Przypadek p = q (wymiar p wektora sterowań u = wymiar q wektora wyjścia y) Macierz kwadratowa i jeżeli odwracalna Uwaga 1: macierz wzmocnień jest równa odwrotności wzmocnienia statycznego systemu zamkniętego (liczonego od u. M do y) Równania opisujące system zamknięty od u. M do y : Stąd: Równanie stanu tego systemu zamkniętego i macierz tego systemu zamkniętego oraz macierz wejścia © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. , prof. nadzw. PG Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 10

Teoria sterowania 2016/2017 Sterowanie – metoda alokacji biegunów I Macierz transmitancji systemu opisywanego równaniem stanu określona jest U nas , , stąd Wzmocnienie statyczne © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. , prof. nadzw. PG Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 11

Teoria sterowania 2016/2017 Sterowanie – metoda alokacji biegunów I Uwaga 2: Macierz kompensacji wzmocnienia statycznego jest idealna tylko, jeżeli parametry systemu, których zależy, są dokładnie znane i nie zmieniają się w czasie. Kompensacja niespełnienia tych dwóch wymagań – dodanie członu całkującego w pętli sterowania (później !!!) © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. , prof. nadzw. PG Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 12

Teoria sterowania 2016/2017 Sterowanie – metoda alokacji biegunów I Przypadek p q (wymiar p wektora sterowań u wymiar q wektora wyjścia y) Najczęściej: p < q Macierz nie może być określona poprzez obliczenie macierzy odwrotnej Wymaganie jednostkowości wzmocnienia określonego zależnością można zastosować jedynie do dostępnych sterowań i odpowiadających wyjść i wartości zadanych Gdy: p > q Można przeciwnie odrzucić stosowanie wymagania jednostkowości dla p – q dostępnych sterowań © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. , prof. nadzw. PG Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 13

Teoria sterowania 2016/2017 Sterowanie – metoda alokacji biegunów I Rozwiązanie Przypadek dyskretny: Obiekt Opóźnienie Macierz kompensacji wzmocnień statycznych (macierz sprzężenia w przód) Obiekt dyskretny (system otwarty): © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. , prof. nadzw. PG Sterownik (prawo sterowania) Prawo sterowania: Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 14

Teoria sterowania 2016/2017 Sterowanie – metoda alokacji biegunów I Równania opisujące system zamknięty: Stąd: Równanie stanu systemu zamkniętego i macierz systemu zamkniętego CL – close loop oraz macierz wejścia © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. , prof. nadzw. PG Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 15

Teoria sterowania 2016/2017 Sterowanie – metoda alokacji biegunów I Przypadek dyskretny – działanie regulacyjne Podobnie jak w przypadku ciągłym, przyjmujemy Problem sterowania sprowadza się do określenia sekwencji wartości otrzymywanych dla z zależności , która przeprowadzi system ze stanu początkowego w stan końcowy © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. , prof. nadzw. PG Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 16

Teoria sterowania 2016/2017 Sterowanie – metoda alokacji biegunów I Przypadek dyskretny – działanie śledzące Działanie śledzące ma na celu uzyskanie w stanie ustalonym ( ) spełnienia warunku Równanie stanu systemu zamkniętego sprowadza się do stąd Równanie wyjścia systemu zamkniętego przyjmuje postać stąd - warunek jednostkowego wzmocnienia © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. , prof. nadzw. PG Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 17

Teoria sterowania 2016/2017 Sterowanie – metoda alokacji biegunów I Przypadek p = q (wymiar p wektora sterowań u = wymiar q wektora wyjścia y) Podobnie: macierz wzmocnień jest równa odwrotności wzmocnienia statycznego systemu zamkniętego (liczonego od u. M do y) Wzmocnienie statyczne Przypadek p q (wymiar p wektora sterowań u wymiar q wektora wyjścia y) Postępowanie też jak dla systemu ciągłego © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. , prof. nadzw. PG Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 18

Teoria sterowania 2016/2017 Sterowanie – metoda alokacji biegunów I Przykład 1 – mały silnik p. s. z obciążeniem inercyjnym i pomijalną indukcyjnością obwodu twornika i sztywnym wałem (patrz budowa modelu – wykład z Mi. I) k = , L = 0 Zmienne modelu: - zmienne stanu - zmienna wyjścia © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. , prof. nadzw. PG Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 19

Teoria sterowania 2016/2017 Sterowanie – metoda alokacji biegunów I Równania stanu w postaci macierzowej: Równania wyjścia w postaci macierzowej: Schemat blokowy analogowy modelu silnika PS © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. , prof. nadzw. PG Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 20

Teoria sterowania 2016/2017 Sterowanie – metoda alokacji biegunów I Silnik używany do sterowania położeniem kątowym lub liniowym Przykład – pozycjonowanie głowicy plotera Model w postaci nie-macierzowej Transformacja Laplace’a © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. , prof. nadzw. PG Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 21

Teoria sterowania 2016/2017 Sterowanie – metoda alokacji biegunów I Transmitancja operatorowa © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. , prof. nadzw. PG Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 22

Teoria sterowania 2016/2017 gdzie, - wzmocnienie w torze napięcie – położenie, Sterowanie – metoda alokacji biegunów I - stała czasowa silnika W wielu przypadkach © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. , prof. nadzw. PG Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 23

Teoria sterowania 2016/2017 Sterowanie – metoda alokacji biegunów I Wówczas i Równania stanu dla tych warunków Chcemy umieścić wartości własne systemu zamkniętego w określonych miejscach Pożądany obszar alokacji biegunów systemu zamkniętego © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. , prof. nadzw. PG Linie stałej wartości współczynnika tłumienia i pulsacji drgań nietłumionych systemu rzędu drugiego Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 24

Teoria sterowania 2016/2017 Sterowanie – metoda alokacji biegunów I Wybierzmy Postulowany wielomian charakterystyczny systemu zamkniętego Jest to też wielomian charakterystyczny macierzy systemu zamkniętego w uzależnieniu od pożądanego położenia jego biegunów Równania opisujące system zamknięty: Stąd Równanie stanu systemu zamkniętego i macierz systemu zamkniętego © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. , prof. nadzw. PG Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 25

Teoria sterowania 2016/2017 Sterowanie – metoda alokacji biegunów I Wielomian charakterystyczny macierzy systemu zamkniętego w uzależnieniu od parametrów tego systemu – w szczególności wzmocnień L W przykładzie Stąd © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. , prof. nadzw. PG Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 26

Teoria sterowania 2016/2017 Sterowanie – metoda alokacji biegunów I Z porównania dwóch wielomianów charakterystycznych i stąd Wybierając możemy określić Z klasycznej teorii: odwrotność stałej czasowej – pulsacja załamania © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. , prof. nadzw. PG Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 27

Teoria sterowania 2016/2017 Sterowanie – metoda alokacji biegunów I Dla systemu drugiego rzędu oraz Gdyby np. pulsacja drgań nietłumionych miałaby być pięciokrotnie większa od pulsacji załamania, a współczynnik tłumienia stąd i wzmocnienia © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. , prof. nadzw. PG Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 28

Teoria sterowania 2016/2017 Sterowanie – metoda alokacji biegunów I Schemat zbudowanego systemu sterowania Silnik © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. , prof. nadzw. PG Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 29

Teoria sterowania 2016/2017 Sterowanie – metoda alokacji biegunów I Przykład 2 – system mechaniczny rzędu drugiego Model - masa - współczynnik sprężystości - współczynnik tłumienia - siła zewnętrzna Zmienne stanu Równania stanu © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. , prof. nadzw. PG Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 30

Teoria sterowania 2016/2017 Sterowanie – metoda alokacji biegunów I Jeżeli przyjąć jako wejście przyśpieszenie ruchu – macierz systemu i macierz wejścia Wyprowadzając jak w Przykładzie 1 transmitancję współczynnik tłumienia wyniosą © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. , prof. nadzw. PG - pulsacja drgań nietłumionych i Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 31

Teoria sterowania 2016/2017 Sterowanie – metoda alokacji biegunów I Postępując dalej podobnie jak w przykładzie 1 - wielomian charakterystyczny z drugiej strony gdzie Z porównania dwóch wielomianów charakterystycznych © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. , prof. nadzw. PG Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 32

Teoria sterowania 2016/2017 Sterowanie – metoda alokacji biegunów I Jeżeli chcemy, aby system zamknięty był „wolniejszy” od systemu oryginalnego Wartość będzie ujemna Obliczenia numeryczne dla danych Macierz systemu i macierz wejścia Wartości własne, pulsacja drgań nietłumionych i współczynnik tłumienia © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. , prof. nadzw. PG Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 33

Teoria sterowania 2016/2017 Sterowanie – metoda alokacji biegunów I System bardzo słabo tłumiony – celem sterowania może być zwiększenie tłumienia Jeżeli przyjąć wówczas © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. , prof. nadzw. PG Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 34

Teoria sterowania 2016/2017 Sterowanie – metoda alokacji biegunów I Schemat zbudowanego systemu sterowania © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. , prof. nadzw. PG Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 35

Teoria sterowania 2016/2017 Sterowanie – metoda alokacji biegunów I Wyniki symulacji Bez sprzężenia Ze sprzężeniem © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. , prof. nadzw. PG Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 36

Teoria sterowania 2016/2017 Sterowanie – metoda alokacji biegunów I Koniec zestawu slajdów wykorzystanych podczas wykładu Dziękuję za uczestnictwo w wykładzie i uwagę © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. , prof. nadzw. PG Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 37