Automatyka Wykad 3 Modele matematyczne opis matematyczny liniowych

Automatyka Wykład 3 Modele matematyczne (opis matematyczny) liniowych jednowymiarowych (o jednym wejściu i jednym wyjściu) obiektów, elementów i układów regulacji. y y y = k u y = f(u) 0 u u 1

u(t) Obiekt y(t) • Równanie wejścia – wyjścia • Transmitancja operatorowa i widmowa • Równania stanu i równanie wyjścia 2

Równanie wejścia – wyjścia określa związek zachodzący między sygnałem wejściowym u(t) obiektu a jego sygnałem wyjściowym y(t) i wynika z prawa równowagi dynamicznej ( prawo Newtona, prawa Kirchchoffa itd. ) Transmitancję operatorową uzyskuje się z równania wejścia - wyjścia po jego przekształceniu wg. Laplace’a. Transmitancja widmowa opisuje obiekt w dziedzinie częstotliwości. Ma istotne znaczenie dla sygnałów sinusoidalnych. Równania stanu uzyskuje się z równania wejścia – wyjścia. Stan obiektu w każdej chwili określają zmienne stanu związane z magazynami energii występującymi w obiekcie. Równanie wyjścia określa zależność sygnału wyjściowego y(t) od zmiennych stanu x 1(t), x 2(t), …. 3

Równanie wejścia – wyjścia obiektu (1) Transmitancja operatorowa obiektu Zakładając zerowe warunki początkowe i przekształcając równanie (1) wg. Laplace’a otrzymujemy (2) (3) (4) 4

Transmitancja widmowa obiektu regulacji 5

Obiekt liniowy 6

Równania stanu i równanie wyjścia Równania stanu Równanie wyjścia 7

Zapis wektorowo-macierzowy równań stanu i równania wyjścia - równanie stanu - równanie wyjścia - wektor stanu o składowych - sygnał sterujący (sterowanie) A – macierz obiektu o wymiarach b – macierz kolumnowa wejścia o wymiarach n x 1 - sygnał wyjściowy (odpowiedź) c. T – macierz wyjścia o wymiarach 8

9

Wyznaczanie transmitancji operatorowej na podstawie równania stanu i równania wyjścia - równanie stanu - równanie wyjścia Schemat blokowy zmiennych stanu u(t) b x(t) bu Ax A y(t) = c. Tx(t) c. T x 10

- równanie stanu - równanie wyjścia 11

Obiekty regulacji 1. Obiekty statyczne: inercyjne i oscylacyjne y 2. Obiekty astatyczne (całkujące) t y 0 t 12

Obiekty statyczne Obiekty inercyjne Obiekt inercyjny pierwszego rzędu Równanie wejścia – wyjścia: T – stała czasowa, k - wzmocnienie Transmitancja operatorowa: Transmitancja widmowa: 13

Równanie stanu: Równanie wyjścia: 14

Czwórnik RC jako przykład obiektu inercyjnego I rzędu i(t) R i(t) uwe(t) C uwy(t) • Równanie wejścia – wyjścia: • Transmitancja operatorowa: 15

• Transmitancja widmowa: • Równanie stanu: zmienna stanu 16

Obiekt inercyjny drugiego rzędu Równanie wejścia – wyjścia: Transmitancja operatorowa: 17

Podwójny czwórnik RC jako przykład obiektu inercyjnego II rzędu i(t) R 1 uwe(t) i 2 R 2 i 1 C 1 u 1 i 2 C 2 uwy(t) • Równanie wejścia – wyjścia: Na podstawie praw Kirchhoffa mamy Zatem: . 18

- stałe czasowe. . 19

• Transmitancja operatorowa: • Transmitancja widmowa: 20

• Równania stanu: Zmienne stanu: 21

Obiekt dwuinercyjny i 1(t) uwe(t) R 1 i 2(t) R 2 i 1(t) C 1 Wzmacniacz separujący i 2(t) C 2 uwy(t) Obiekt inercyjny z opóźnieniem Równanie wejścia – wyjścia: Transmitancja operatorowa: 22

Obiekt oscylacyjny II rzędu Równanie wejścia – wyjścia: n - pulsacja drgań nietłumionych, - współczynnik tłumienia. Transmitancja operatorowa: 23

Transmitancja widmowa: 24

Równania stanu: Zmienne stanu: równania stanu Równanie wyjścia: 25

Przykład: i(t) R L i(t) uwe(t) C uwy(t) 26

Transmitancja operatorowa czwórnika RLC 27

Równania stanu i równanie wyjścia czwórnika RLC i(t) R L i(t) uwe(t) C uwy(t) Zmiennymi stanu są: równania stanu Równanie wyjścia: 28

Wyznaczanie transmitancji operatorowej na podstawie równań stanu i równania wyjścia - równanie stanu - równanie wyjścia 29