Zagadnienie transportowe Optymalizacja w procesach biznesowych Wykad 2

Zagadnienie transportowe Optymalizacja w procesach biznesowych Wykład 2 2021 -02 -23 1

prof. dr hab. inż. Joanna Józefowska Plan wykładu Przykład zagadnienia transportowego Sformułowanie problemu Własności zagadnienia transportowego Metoda potencjałów Metody wyznaczania rozwiązań początkowych Metoda północno-zachodniego narożnika Metoda minimalnego elementu macierzy kosztów Metoda Vogla (VAM) Postępowanie w przypadku degeneracji rozwiązania Interpretacja rozwiązania 2021 -02 -23 2

prof. dr hab. iż. Joanna Józefowska Przykład Firma produkująca nawozy sztuczne ma trzy zakłady produkcyjne zlokalizowane w Kluczborku, Białymstoku i Pile. Kwartalna produkcja poszczególnych zakładów wynosi odpowiednio: 5000 kg, 6000 kg, i 2500 kg. Firma ma cztery centra dystrybucji, zlokalizowane w Lublinie, Elblągu, Łodzi i Opolu. Przewidywany popyt na nawozy w poszczególnych centrach dystrybucji wynosi odpowiednio: 6000 kg, 4000 kg, 2000 kg oraz 1500 kg. Jednostkowe koszty transportu (w zł/kg) z każdego zakładu do poszczególnych centrów dystrybucji podano w tablicy. Tablica 1. Jednostkowe koszty transportu [zł/kg] Lublin Elbląg Łódź Opole Kluczbork 3 2 7 6 Białystok 7 5 2 3 Piła 2 5 4 5 Znaleźć plan transportu minimalizujący koszty. 2021 -02 -23 3

prof. dr hab. inż. Joanna Józefowska Przykład Lublin Elbląg Łódź Opole Kluczbork 3 2 7 6 Białystok 7 5 2 3 Piła 2 5 4 5 3 5000 Kluczbork Białystok 2 Piła Elbląg 4000 Łódź 2000 Opole 1500 7 7 2500 6000 2 6 6000 Lublin 5 2 3 5 4 5 DECYZJA? 2021 -02 -23 DOSTAWCY ODBIORCY 4

prof. dr hab. iż. Joanna Józefowska Sformułowanie problemu n Zmienna decyzyjna n xij – ilość towaru przewieziona od dostawcy i, i = 1, …, 3, do odbiorcy j, j = 1, …, 4. n Funkcja celu n Minimalizacja kosztów transportu 2021 -02 -23 5

prof. dr hab. inż. Joanna Józefowska Koszty transportu 3 x 11 5000 Kluczbork Lublin 6000 Elbląg 4000 Łódź 2000 Opole 1500 2 x 12 6 x 14 7 x 13 7 x 21 5 x 22 6000 2 x 23 3 x 24 5 x Białystok 32 2 x 31 2500 2021 -02 -23 Piła 4 x 33 5 x 34 6

prof. dr hab. inż. Joanna Józefowska 2021 -02 -23 Sformułowanie problemu zminimalizować: z = 3 x 11 + 2 x 12 + 7 x 13 + 6 x 14 + 7 x 21 + 5 x 22 + 2 x 23 + 3 x 24 + 2 x 31 + 5 x 32 + 4 x 33 + 5 x 34 7

prof. dr hab. iż. Joanna Józefowska Sformułowanie problemu n Zmienna decyzyjna n xij – ilość towaru przewieziona od dostawcy i do odbiorcy j, i = 1, …, 3; j = 1, …, 4. n Funkcja celu n Minimalizacja kosztów transportu n Ograniczenia n Dostawcy: nie można wysłać więcej niż Dostawcy wynosi zapas 2021 -02 -23 8

prof. dr hab. inż. Joanna Józefowska Koszty transportu x 11 5000 Kluczbork x 21 x 31 2021 -02 -23 4000 Łódź 2000 Opole 1500 x 22 x 23 Białystok Piła Elbląg x 13 x 24 2500 6000 x 12 x 14 6000 Lublin x 32 x 33 x 34 9

prof. dr hab. inż. Joanna Józefowska 2021 -02 -23 Sformułowanie problemu zminimalizować: z = 3 x 11 + 2 x 12 + 7 x 13 + 6 x 14 + 7 x 21 + 5 x 22 + 2 x 23 + 3 x 24 + 2 x 31 + 5 x 32 + 4 x 33 + 5 x 34 przy ograniczeniach: x 11+x 12+x 13+x 14 5000 x 21+x 22+x 23+x 24 6000 x 31+x 32+x 33+x 34 2500 10

prof. dr hab. iż. Joanna Józefowska Sformułowanie problemu n Zmienna decyzyjna n xij – ilość towaru przewieziona od dostawcy i do odbiorcy j, i = 1, …, 3; j = 1, …, 4. n Funkcja celu n Minimalizacja kosztów transportu n Ograniczenia n Dostawcy: nie można wysłać więcej niż Dostawcy wynosi zapas n Odbiorcy: trzeba dostarczyć co najmniej tyle Odbiorcy ile wynosi zapotrzebowanie 2021 -02 -23 11

prof. dr hab. inż. Joanna Józefowska Koszty transportu x 11 5000 Kluczbork x 21 x 31 2021 -02 -23 4000 Łódź 2000 Opole 1500 x 22 x 23 Białystok Piła Elbląg x 13 x 24 2500 6000 x 12 x 14 6000 Lublin x 32 x 33 x 34 12

prof. dr hab. inż. Joanna Józefowska Sformułowanie problemu zminimalizować: z = 3 x 11 + 2 x 12 + 7 x 13 + 6 x 14 + 7 x 21 + 5 x 22 + 2 x 23 + 3 x 24 + 2 x 31 + 5 x 32 + 4 x 33 + 5 x 34 przy ograniczeniach: x 11+x 12+x 13+x 14 5000 x 21+x 22+x 23+x 24 6000 x 31+x 32+x 33+x 34 2500 x 11 +x 21 +x 31 = 6000 x 12 +x 22 +x 32 = 4000 x 13 +x 23 +x 33 = 2000 x 14 +x 24 +x 34 = 1500 xij 0, i=1, 2, 3; j=1, 2, 3, 4 2021 -02 -23 13

prof. dr hab. inż. Joanna Józefowska 2021 -02 -23 Sformułowanie problemu c = [3 2 7 6 7 5 2 3 2 5 4 5] 14

prof. dr hab. inż. Joanna Józefowska Ogólny model zagadnienia transportowego zminimalizować całkowity koszt zapotrzebowanie przy ograniczeniach zapas xij 0, i = 1, 2, …, m, j = 1, 2, …, n nieujemny przesył gdzie: i - indeks dostawcy, i = 1, …, n j - indeks odbiorcy, j = 1, …, m xij - liczba jednostek przesłanych od dostawcy i do odbiorcy j cij - koszt jednostkowy transportu od dostawcy i do odbiorcy j ai - zapas dostawcy i bi - zapotrzebowanie odbiorcy j 2021 -02 -23 15

prof. dr hab. iż. Joanna Józefowska Warianty zagadnienia transportowego n całkowita podaż nie jest równa Dodajemy „sztucznego” dostawcę lub odbiorcę. całkowitemu popytowi (zadanie niezbilansowane) n maksymalizacja funkcji celu Mnożymy przez (-1). n minimalne i maksymalne pojemności dróg n niedopuszczalne połączenia Dodajemy ograniczenia. Obciążamy bardzo dużymi kosztami. 2021 -02 -23 16

prof. dr hab. iż. Joanna Józefowska 2021 -02 -23 Własności zagadnienia transportowego n Zadanie transportowe jest sformułowane jako zadanie programowania liniowego zatem można je rozwiązać stosując np. metodę simplex. n Ze względu na szczególne własności zadania transportowego istnieją inne algorytmy, o mniejszej złożoności obliczeniowej, które można zastosować do rozwiązania tego zadania. 17

prof. dr hab. iż. Joanna Józefowska Własności zagadnienia transportowego 1 =[1 … 1] n 0 n =[0 … 0] n Każde zbilansowane zadanie transportowe posiada skończone rozwiązanie optymalne. 1 n 0 n 0 n. . . 0 n 0 n 1 n 0 n. . . 0 n En = A = . . . . 0 n 0 n 0 n 1 n En En En. . . En n Rozwiązanie bazowe zadania transportowego składa się dokładnie z (m + n – 1) zmiennych bazowych. n Jeżeli wszystkie ai i bj są liczbami całkowitymi, to każde rozwiązanie bazowe (a więc również optymalne) jest utworzone z liczb całkowitych. 2021 -02 -23 18

prof. dr hab. iż. Joanna Józefowska Własności zagadnienia transportowego n Każdemu rozwiązaniu zadania transportowego można przyporządkować pewien graf rozwiązania zbudowany w sposób następujący: n n 2021 -02 -23 wierzchołkami są węzły (i, j), dla których xij > 0 każda para wierzchołków sąsiednich jest połączona krawędzią, przy czym parą wierzchołków sąsiednich są takie dwa wierzchołki (i 1, j 1) (i 2, j 2), że albo i 1 = i 2 albo j 1 = j 2 oraz pomiędzy nimi nie ma innych wierzchołków ij 1 2 3 4 5 1 2 0 1 3 0 2 0 0 4 3 2 5 0 4 0 19

prof. dr hab. iż. Joanna Józefowska 2021 -02 -23 Własności zagadnienia transportowego n Rozwiązanie dopuszczalne zadania transportowego jest rozwiązaniem bazowym wtedy i tylko wtedy, gdy odpowiadający mu graf jest grafem spójnym i bez cykli. n Na to, aby graf rozwiązania zadania transportowego był grafem spójnym i bez cykli potrzeba i wystarcza, aby zawierał dokładnie (m + n – 1) wierzchołków. ij 1 2 3 4 5 1 2 0 1 0 0 2 0 0 4 3 2 5 0 4 0 20

prof. dr hab. iż. Joanna Józefowska Własności zagadnienia transportowego n Niech x. B będzie dowolnym dopuszczalnym rozwiązaniem bazowym. Jeżeli przez B oznaczymy zbiór par (i, j), takich że xij jest zmienną bazową, to spełniony jest następujący układ równań: cij + ui +vj = 0 dla (i, j) B gdzie zmienne ui i vj noszą nazwę potencjałów. n Macierz C 0 = [(cij – zij)] = [cij + ui +vj], i=1, . . m, j=1, . . , n, nazywamy równoważną macierzą zerową rozwiązania bazowego x. B. n Na to, aby rozwiązanie bazowe x. B zadania transportowego było optymalne potrzeba i wystarcza, aby jego równoważna macierz zerowa była nieujemna. 2021 -02 -23 21

prof. dr hab. iż. Joanna Józefowska Własności zagadnienia transportowego n Układ równań: cij + ui +vj = 0 dla (i, j) B ma nieskończenie wiele rozwiązań, ale wszystkie one wyznaczają tę samą równoważną macierz zerową. n Jeżeli macierz C 0 zawiera elementy ujemne, to odpowiadające jej rozwiązanie jest rozwiązaniem optymalnym. n Każde zbilansowane zadanie transportowe ma rozwiązanie dopuszczalne. 2021 -02 -23 22

prof. dr hab. iż. Joanna Józefowska Własności zagadnienia transportowego n Przez cykl g(k, l) oznaczamy cykl w grafie rozwiązania, który powstaje po dołączeniu zmiennej (k, l) do rozwiązania bazowego. ij 1 2 3 4 5 1 2 1 0 2 0 0 3 2 0 0 0 2 4 3 2 4 5 0 4 01 Niech (k, l) = (3, 5) gn((3, 5) = {(3, 5), (2, 2)} gp((3, 5) = {(3, 2), (2, 5)} n Wierzchołki grafu numerujemy kolejno, zaczynając od 2021 -02 -23 wierzchołka (k, l). n Przez gp(k, l) oznaczamy zbiór wierzchołków o numerach parzystych, a przez gn(k, l) o numerach nieparzytych. 23

prof. dr hab. iż. Joanna Józefowska Metoda potencjałów 1. 2. Znaleźć wstępne rozwiązanie bazowe zadania zbilansowanego. Rozwiązać układ równań: cij + ui + vj = 0 dla (i, j) B 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. Wyznaczyć równoważną macierz zerową C 0. Zbadać, czy C 0 0. Jeśli tak, to aktualne rozwiązanie jest optymalne - zakończ. Wprowadzić do bazy zmienną xkl taką, że . Wyznaczyć cykl gn(k, l) oraz gp(k, l). Usunąć z bazy zmienną xrs taką, że Wyznaczyć nowe rozwiązanie bazowe: 10. Wrócić do kroku 2. 2021 -02 -23 24

prof. dr hab. inż. Joanna Józefowska Wyznaczanie rozwiązań bazowych • Metoda kąta północno-zachodniego • Metoda minimalnego elementu macierzy kosztów • Metoda VAM (Vogel’s Approximation Method) • ri, i = 1, 2, . . . , m - różnica między dwoma najmniejszymi elementami wiersza i w zredukowanej macierzy C, • dj, j = 1, 2, . . . , n - różnica między dwoma najmniejszymi elementami kolumny j w zredukowanej macierzy C, • max(ri, dj) • ckl = min {ckj} albo ckl = min {cil} 2021 -02 -23 25

prof. dr hab. inż. Joanna Józefowska Metoda kąta północno-zachodniego Lublin 1 Elbląg 2 Łódź 3 Opole 4 1. Kluczbork 3 2 7 6 5000 2. Białystok 7 5 2 3 6000 3. Piła 2 5 4 5 2500 6000 4000 2000 1500 0 1000 Ile towaru można maksymalnie przesłać tą trasą? 2021 -02 -23 26

prof. dr hab. inż. Joanna Józefowska Metoda kąta północno-zachodniego Lublin 1 Elbląg 2 Łódź 3 Opole 4 1. Kluczbork 5000 2 7 6 0 2. Białystok 7 5 2 3 6000 3. Piła 2 5 4 5 2500 1000 4000 2000 1500 5000 0 Ile towaru można maksymalnie przesłać tą trasą? 2021 -02 -23 27

prof. dr hab. inż. Joanna Józefowska Metoda kąta północno-zachodniego Lublin 1 Elbląg 2 Łódź 3 Opole 4 1. Kluczbork 5000 2 7 6 0 2. Białystok 1000 5 2 3 5000 2 5 4 5 2500 0 4000 2000 1500 3. Piła 1000 0 Ile towaru można maksymalnie przesłać tą trasą? 2021 -02 -23 28

prof. dr hab. inż. Joanna Józefowska Metoda kąta północno-zachodniego Lublin 1 Elbląg 2 Łódź 3 Opole 4 1. Kluczbork 5000 2 7 6 0 2. Białystok 1000 4000 2 3 1000 2 5 4 5 2500 0 0 2000 1500 3. Piła 0 1000 Ile towaru można maksymalnie przesłać tą trasą? 2021 -02 -23 29

prof. dr hab. inż. Joanna Józefowska Metoda kąta północno-zachodniego Lublin 1 Elbląg 2 Łódź 3 Opole 4 1. Kluczbork 5000 2 7 6 0 2. Białystok 1000 4000 1000 3 1000 2 5 4 5 2500 0 0 1000 1500 3. Piła 1500 0 Ile towaru można maksymalnie przesłać tą trasą? 2021 -02 -23 30

prof. dr hab. inż. Joanna Józefowska Metoda kąta północno-zachodniego Lublin 1 Elbląg 2 Łódź 3 Opole 4 1. Kluczbork 5000 2 7 6 0 2. Białystok 1000 4000 1000 3 0 2 5 1000 5 1500 0 1500 3. Piła 0 0 Ile towaru można maksymalnie przesłać tą trasą? 2021 -02 -23 31

prof. dr hab. inż. Joanna Józefowska Metoda kąta północno-zachodniego Lublin 1 Elbląg 2 Łódź 3 Opole 4 ai 1. Kluczbork 5000 0 5000 2. Białystok 1000 4000 1000 0 6000 0 0 1000 1500 2500 6000 4000 2000 1500 3. Piła bj Czy jest to rozwiązanie bazowe? Rozwiązanie dopuszczalne zadania transportowego jest rozwiązaniem bazowym wtedy i tylko wtedy, gdy odpowiadający mu graf jest grafem spójnym i bez cykli. 2021 -02 -23 Na to, aby graf rozwiązania zadania transportowego był grafem spójnym i bez cykli potrzeba i wystarcza, aby zawierał dokładnie (m + n – 1) wierzchołków. 32

prof. dr hab. inż. Joanna Józefowska Wyznaczanie potencjałów Lublin 1 Elbląg 2 Łódź 3 Opole 4 1. Kluczbork 3 2 7 6 2. Białystok 7 5 2 3 3. Piła 2 5 4 5 ui vj cij + ui +vj = 0 dla (i, j) B u 1 = 0 2021 -02 -23 33

prof. dr hab. inż. Joanna Józefowska Wyznaczanie potencjałów Lublin 1 Elbląg 2 Łódź 3 Opole 4 ui 1. Kluczbork 3 2 7 6 0 2. Białystok 7 5 2 3 3. Piła 2 5 4 5 vj cij + ui +vj = 0 dla (i, j) B 3 + 0 + v 1 = 0 2021 -02 -23 34

prof. dr hab. inż. Joanna Józefowska Wyznaczanie potencjałów Lublin 1 Elbląg 2 Łódź 3 Opole 4 ui 1. Kluczbork 3 2 7 6 0 2. Białystok 7 5 2 3 3. Piła 2 5 4 5 vj – 3 cij + ui +vj = 0 dla (i, j) B 3 + 0 + v 1 = 0 2021 -02 -23 35

prof. dr hab. inż. Joanna Józefowska Wyznaczanie potencjałów Lublin 1 Elbląg 2 Łódź 3 Opole 4 ui 1. Kluczbork 3 2 7 6 0 2. Białystok 7 5 2 3 3. Piła 2 5 4 5 vj – 3 cij + ui +vj = 0 dla (i, j) B 7 + u 2 + (– 3) = 0 2021 -02 -23 36

prof. dr hab. inż. Joanna Józefowska Wyznaczanie potencjałów Lublin 1 Elbląg 2 Łódź 3 Opole 4 ui 1. Kluczbork 3 2 7 6 0 2. Białystok 7 5 2 3 – 4 3. Piła 2 5 4 5 vj – 3 cij + ui +vj = 0 dla (i, j) B 5 + (– 4) + v 2 = 0 2021 -02 -23 37

prof. dr hab. inż. Joanna Józefowska Wyznaczanie potencjałów Lublin 1 Elbląg 2 Łódź 3 Opole 4 ui 1. Kluczbork 3 2 7 6 0 2. Białystok 7 5 2 3 – 4 3. Piła 2 5 4 5 – 3 – 1 vj cij + ui +vj = 0 dla (i, j) B 2 + (– 4) + v 3 = 0 2021 -02 -23 38

prof. dr hab. inż. Joanna Józefowska Wyznaczanie potencjałów Lublin 1 Elbląg 2 Łódź 3 Opole 4 ui 1. Kluczbork 3 2 7 6 0 2. Białystok 7 5 2 3 – 4 3. Piła 2 5 4 5 – 3 – 1 2 vj cij + ui +vj = 0 dla (i, j) B 4 + u 3 + 2 = 0 2021 -02 -23 39

prof. dr hab. inż. Joanna Józefowska Wyznaczanie potencjałów Lublin 1 Elbląg 2 Łódź 3 Opole 4 ui 1. Kluczbork 3 2 7 6 0 2. Białystok 7 5 2 3 – 4 3. Piła 2 5 4 5 – 6 – 3 – 1 2 vj cij + ui +vj = 0 dla (i, j) B 5 + (– 6) + v 4 = 0 2021 -02 -23 40

prof. dr hab. inż. Joanna Józefowska Wyznaczanie równoważnej macierzy zerowej Lublin 1 Elbląg 2 Łódź 3 Opole 4 ui 1. Kluczbork 3 2 7 6 0 2. Białystok 7 5 2 3 – 4 3. Piła 2 5 4 5 – 6 – 3 – 1 2 1 vj c 0 ij = cij + ui +vj c 0 ij = 0 dla (i, j) B 2021 -02 -23 41

prof. dr hab. inż. Joanna Józefowska Wyznaczanie równoważnej macierzy zerowej Lublin 1 Elbląg 2 Łódź 3 Opole 4 ui 1. Kluczbork 3 2 7 6 0 2. Białystok 7 5 2 3 – 4 3. Piła 2 5 4 5 – 6 – 3 – 1 2 1 vj c 0 ij = cij + ui +vj Równoważna macierz zerowa Lublin 1 1. Kluczbork 0 2. Białystok 0 Elbląg 2 2021 -02 -23 – 3 Opole 4 ui 0 0 3. Piła vj Łódź 3 – 1 0 – 4 0 0 2 1 – 6 42

prof. dr hab. inż. Joanna Józefowska Wyznaczanie równoważnej macierzy zerowej Lublin 1 Elbląg 2 Łódź 3 Opole 4 ui 1. Kluczbork 3 2 7 6 0 2. Białystok 7 5 2 3 – 4 3. Piła 2 5 4 5 – 6 – 3 – 1 2 1 vj c 0 ij = cij + ui +vj Równoważna macierz zerowa Lublin 1 1. Kluczbork 0 2. Białystok 0 Elbląg 2 2021 -02 -23 – 3 Opole 4 ui 0 0 3. Piła vj Łódź 3 – 1 0 – 4 0 0 2 1 – 6 43

prof. dr hab. inż. Joanna Józefowska Wyznaczanie równoważnej macierzy zerowej Lublin 1 Elbląg 2 Łódź 3 Opole 4 ui 1. Kluczbork 3 2 7 6 0 2. Białystok 7 5 2 3 – 4 3. Piła 2 5 4 5 – 6 – 3 – 1 2 1 vj c 0 ij = cij + ui +vj Równoważna macierz zerowa Lublin 1 2021 -02 -23 1. Kluczbork 0 2. Białystok 0 3. Piła – 7 vj – 3 Elbląg 2 Łódź 3 Opole 4 ui 0 0 – 1 0 – 4 0 0 2 1 – 6 44

prof. dr hab. inż. Joanna Józefowska Wyznaczanie równoważnej macierzy zerowej Lublin 1 Elbląg 2 Łódź 3 Opole 4 ui 1. Kluczbork 3 2 7 6 0 2. Białystok 7 5 2 3 – 4 3. Piła 2 5 4 5 – 6 – 3 – 1 2 1 vj c 0 ij = cij + ui +vj Równoważna macierz zerowa Lublin 1 2021 -02 -23 1. Kluczbork 0 2. Białystok 0 3. Piła – 7 vj – 3 Elbląg 2 Łódź 3 Opole 4 ui 0 0 – 1 0 – 4 0 0 2 1 – 6 45

prof. dr hab. inż. Joanna Józefowska Wyznaczanie równoważnej macierzy zerowej Lublin 1 Elbląg 2 Łódź 3 Opole 4 ui 1. Kluczbork 3 2 7 6 0 2. Białystok 7 5 2 3 – 4 3. Piła 2 5 4 5 – 6 – 3 – 1 2 1 vj c 0 ij = cij + ui +vj Równoważna macierz zerowa 2021 -02 -23 Lublin 1 Elbląg 2 1. Kluczbork 0 1 2. Białystok 0 0 3. Piła – 7 vj – 3 – 1 Łódź 3 Opole 4 ui 0 0 – 4 0 0 2 1 – 6 46

prof. dr hab. inż. Joanna Józefowska Wyznaczanie równoważnej macierzy zerowej Lublin 1 Elbląg 2 Łódź 3 Opole 4 ui 1. Kluczbork 3 2 7 6 0 2. Białystok 7 5 2 3 – 4 3. Piła 2 5 4 5 – 6 – 3 – 1 2 1 vj c 0 ij = cij + ui +vj Równoważna macierz zerowa 2021 -02 -23 Lublin 1 Elbląg 2 Łódź 3 Opole 4 ui 1. Kluczbork 0 1 9 7 0 2. Białystok 0 0 – 4 3. Piła – 7 – 2 0 0 – 6 vj – 3 – 1 2 1 47

prof. dr hab. inż. Joanna Józefowska Sprawdzanie czy rozwiązanie jest optymalne Lublin 1 Elbląg 2 Łódź 3 Opole 4 ui 1. Kluczbork 0 1 9 7 0 2. Białystok 0 0 – 4 3. Piła – 7 – 2 0 0 – 6 vj – 3 – 1 2 1 Zbadać, czy C 0 0. Jeśli tak, to aktualne rozwiązanie jest optymalne - zakończ 2021 -02 -23 48

prof. dr hab. iż. Joanna Józefowska Metoda potencjałów 1. 2. Znaleźć wstępne rozwiązanie bazowe zadania zbilansowanego. Rozwiązać układ równań: cij + ui + vj = 0 dla i, j B 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. Wyznaczyć równoważną macierz zerową C 0. Zbadać, czy C 0 0. Jeśli tak, to aktualne rozwiązanie jest optymalne - zakończ. Wprowadzić do bazy zmienną xkl taką, że . Wyznaczyć cykl gn(k, l) oraz gp(k, l). Usunąć z bazy zmienną xrs taką, że Wyznaczyć nowe rozwiązanie bazowe: 10. Wrócić do kroku 2. 2021 -02 -23 49

prof. dr hab. inż. Joanna Józefowska Zmiana bazy Lublin 1 Elbląg 2 Łódź 3 Opole 4 ui 1. Kluczbork 0 1 9 7 0 2. Białystok 0 0 – 4 3. Piła – 7 – 2 0 0 – 6 vj – 3 – 1 2 1 Wprowadzić do bazy zmienną xkl taką, że 2021 -02 -23 50

prof. dr hab. iż. Joanna Józefowska Metoda potencjałów 1. 2. Znaleźć wstępne rozwiązanie bazowe zadania zbilansowanego. Rozwiązać układ równań: cij + ui + vj = 0 dla i, j B 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. Wyznaczyć równoważną macierz zerową C 0. Zbadać, czy C 0 0. Jeśli tak, to aktualne rozwiązanie jest optymalne - zakończ. Wprowadzić do bazy zmienną xkl taką, że . Wyznaczyć cykl gn(k, l) oraz gp(k, l). Usunąć z bazy zmienną xrs taką, że Wyznaczyć nowe rozwiązanie bazowe: 10. Wrócić do kroku 2. 2021 -02 -23 51

prof. dr hab. inż. Joanna Józefowska Wyznaczanie cyklu Lublin 1 Elbląg 2 Łódź 3 Opole 4 ui 0 04 1 9 7 0 0 30 0 – 4 3. Piła 1 – 7 – 2 20 0 – 6 vj – 3 – 1 2 1 1. Kluczbork 2. Białystok Wyznaczyć cykl gp(k, l), gn(k, l). 2021 -02 -23 52

prof. dr hab. iż. Joanna Józefowska Metoda potencjałów 1. 2. Znaleźć wstępne rozwiązanie bazowe zadania zbilansowanego. Rozwiązać układ równań: cij + ui + vj = 0 dla i, j B 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. Wyznaczyć równoważną macierz zerową C 0. Zbadać, czy C 0 0. Jeśli tak, to aktualne rozwiązanie jest optymalne - zakończ. Wprowadzić do bazy zmienną xkl taką, że . Wyznaczyć cykl gn(k, l) oraz gp(k, l). Usunąć z bazy zmienną xrs taką, że Wyznaczyć nowe rozwiązanie bazowe: 10. Wrócić do kroku 2. 2021 -02 -23 53

prof. dr hab. inż. Joanna Józefowska Zmiana bazy Lublin 1 Elbląg 2 Łódź 3 Opole 4 ui 1. Kluczbork 0 1 9 7 0 2. Białystok 0 0 – 4 3. Piła – 7 – 2 0 0 – 6 vj – 3 – 1 2 1 Usunąć z bazy zmienną xrs, taką, że q = 1000 2021 -02 -23 Lublin Elbląg Łódź Opole 1. Kluczbork 5000 0 2. Białystok 1000 4000 1000 1500 3. Piła 54

prof. dr hab. iż. Joanna Józefowska Metoda potencjałów 1. 2. Znaleźć wstępne rozwiązanie bazowe zadania zbilansowanego. Rozwiązać układ równań: cij + ui + vj = 0 dla i, j B 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. Wyznaczyć równoważną macierz zerową C 0. Zbadać, czy C 0 0. Jeśli tak, to aktualne rozwiązanie jest optymalne - zakończ. Wprowadzić do bazy zmienną xkl taką, że . Wyznaczyć cykl gn(k, l) oraz gp(k, l). Usunąć z bazy zmienną xrs taką, że Wyznaczyć nowe rozwiązanie bazowe: 10. Wrócić do kroku 2. 2021 -02 -23 55

prof. dr hab. inż. Joanna Józefowska Zmiana bazy Lublin 1 Elbląg 2 Łódź 3 Opole 4 1. Kluczbork 5000 0 2. Białystok 1000 4000 1000 1500 3. Piła q = 1000 Lublin 1 Elbląg 2 Łódź 3 Opole 4 1. Kluczbork 5000 0 2. Białystok 0 4000 2000 0 1000 0 0 1500 3. Piła 2021 -02 -23 56

prof. dr hab. inż. Joanna Józefowska Rozwiązanie zdegenerowane Lublin 1 Elbląg 2 Łódź 3 Opole 4 1. Kluczbork 5000 0 2. Białystok 0 4000 2000 0 1000 0 0 1500 3. Piła Czy jest to rozwiązanie bazowe? Rozwiązanie dopuszczalne zadania transportowego jest rozwiązaniem bazowym wtedy i tylko wtedy, gdy odpowiadający mu graf jest grafem spójnym i bez cykli. 2021 -02 -23 Na to, aby graf rozwiązania zadania transportowego był grafem spójnym i bez cykli potrzeba i wystarcza, aby zawierał dokładnie (m + n – 1) wierzchołków. 57

prof. dr hab. iż. Joanna Józefowska 2021 -02 -23 Postępowanie w przypadku degeneracji rozwiązania n Jeżeli graf rozwiązania zawiera mniej niż (n + m – 1) wierzchołków, to mamy do czynienia z rozwiązaniem zdegenerowanym, w którym co najmniej jedna zmienna bazowa jest równa zero. n Postępowanie w takim przypadku polega na dołączeniu brakującej liczby zmiennych bazowych z wartościami zerowymi. n Wybór zmiennych powinien gwarantować uzyskanie grafu spójnego i bez cykli. 58

prof. dr hab. inż. Joanna Józefowska Rozwiązanie zdegenerowane Lublin 1 Elbląg 2 Łódź 3 Opole 4 1. Kluczbork 5000 0 2. Białystok 0 4000 2000 0 1000 0 0 1500 3. Piła 2021 -02 -23 59

prof. dr hab. iż. Joanna Józefowska Metoda potencjałów 1. 2. Znaleźć wstępne rozwiązanie bazowe zadania zbilansowanego. Rozwiązać układ równań: cij + ui + vj = 0 dla i, j B 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. Wyznaczyć równoważną macierz zerową C 0. Zbadać, czy C 0 0. Jeśli tak, to aktualne rozwiązanie jest optymalne - zakończ. Wprowadzić do bazy zmienną xkl taką, że . Wyznaczyć cykl gn(k, l) oraz gp(k, l). Usunąć z bazy zmienną xrs taką, że Wyznaczyć nowe rozwiązanie bazowe: 10. Wrócić do kroku 2. 2021 -02 -23 60

prof. dr hab. inż. Joanna Józefowska Wyznaczanie potencjałów Lublin 1 Elbląg 2 Łódź 3 Opole 4 ui 1. Kluczbork 3 2 7 6 0 2. Białystok 7 5 2 3 3 3. Piła 2 5 4 5 1 vj – 3 – 8 – 5 – 6 cij + ui +vj = 0 dla (i, j) B u 1 = 0 2021 -02 -23 61

prof. dr hab. inż. Joanna Józefowska Wyznaczanie potencjałów Lublin 1 Elbląg 2 Łódź 3 Opole 4 ui 1. Kluczbork 3 2 7 6 0 2. Białystok 7 5 2 3 3 3. Piła 2 5 4 5 1 vj – 3 – 8 – 5 – 6 cij + ui +vj = 0 dla (i, j) B u 1 = 0 2021 -02 -23 62

prof. dr hab. inż. Joanna Józefowska Wyznaczanie równoważnej macierzy zerowej Lublin 1 Elbląg 2 Łódź 3 Opole 4 ui 1. Kluczbork 3 2 7 6 0 2. Białystok 7 5 2 3 3 3. Piła 2 5 4 5 1 vj – 3 – 8 – 5 – 6 c 0 ij = cij + ui +vj 2021 -02 -23 Lublin 1 Elbląg 2 Łódź 3 Opole 4 ui 1. Kluczbork 0 – 6 2 0 0 2. Białystok 7 0 0 0 3 3. Piła 0 – 2 0 0 1 vj – 3 – 8 – 5 – 6 63

prof. dr hab. inż. Joanna Józefowska Zmiana bazy Lublin 1 Elbląg 2 Łódź 3 Opole 4 ui 1. Kluczbork 0 – 6 2 0 0 2. Białystok 7 0 0 0 3 3. Piła 0 – 2 0 0 1 vj – 3 – 8 – 5 – 6 Wprowadzić do bazy zmienną xkl taką, że 2021 -02 -23 64

prof. dr hab. inż. Joanna Józefowska Wyznaczanie cyklu Lublin 1 Elbląg 2 Łódź 3 Opole 4 ui 1. Kluczbork 0 6 1 – 6 2 0 0 2. Białystok 7 0 2 0 3 3. Piła 0 5 – 3 – 2 0 0 4 1 – 8 – 5 – 6 vj Wyznaczyć cykl gp(k, l), gn(k, l). 2021 -02 -23 65

prof. dr hab. inż. Joanna Józefowska Zmiana bazy Lublin 1 Elbląg 2 Łódź 3 Opole 4 ui 1. Kluczbork 0 – 6 2 0 0 2. Białystok 7 0 0 0 3 3. Piła 0 – 2 0 0 1 vj – 3 – 8 – 5 – 6 Usunąć z bazy zmienną xrs, taką, że q = 1500 2021 -02 -23 Lublin Elbląg Łódź Opole 1. Kluczbork 5000 0 2. Białystok 0 4000 2000 0 1000 0 0 1500 3. Piła 66

prof. dr hab. inż. Joanna Józefowska Zmiana bazy Lublin 1 Elbląg 2 Łódź 3 Opole 4 1. Kluczbork 5000 0 2. Białystok 0 4000 2000 0 1000 0 0 1500 3. Piła q = 1500 Lublin 1 Elbląg 2 Łódź 3 Opole 4 1. Kluczbork 3500 1500 0 0 2. Białystok 0 2500 2000 1500 2500 0 3. Piła 2021 -02 -23 67

prof. dr hab. inż. Joanna Józefowska Wyznaczanie potencjałów Lublin 1 Elbląg 2 Łódź 3 Opole 4 ui 1. Kluczbork 3 2 7 6 0 2. Białystok 7 5 2 3 – 3 3. Piła 2 5 4 5 1 vj – 3 – 2 1 0 cij + ui +vj = 0 dla (i, j) B u 1 = 0 2021 -02 -23 68

prof. dr hab. inż. Joanna Józefowska Wyznaczanie równoważnej macierzy zerowej Lublin 1 Elbląg 2 Łódź 3 Opole 4 ui 1. Kluczbork 3 2 7 6 0 2. Białystok 7 5 2 3 – 3 3. Piła 2 5 4 5 1 vj – 3 – 2 1 0 c 0 ij = cij + ui +vj 2021 -02 -23 Lublin 1 Elbląg 2 Łódź 3 Opole 4 ui 1. Kluczbork 0 0 8 6 0 2. Białystok 1 0 0 0 – 3 3. Piła 0 0 6 0 1 vj – 3 – 2 1 0 69

prof. dr hab. inż. Joanna Józefowska Rozwiązanie Lublin 1 Elbląg 2 Łódź 3 Opole 4 ui 1. Kluczbork 0 0 8 6 0 2. Białystok 1 0 0 0 – 3 3. Piła 0 0 6 0 1 vj – 3 – 2 1 0 Równoważna macierz zerowa jest nieujemna – rozwiązanie jest optymalne. Lublin 1 Elbląg 2 Łódź 3 Opole 4 1. Kluczbork 3500 1500 0 0 2. Białystok 0 2500 2000 1500 2500 0 3. Piła 2021 -02 -23 70

prof. dr hab. inż. Joanna Józefowska Koszty transportu X 11=3500 5000 Kluczbork Lublin 6000 Elbląg 4000 Łódź 2000 Opole 1500 X 12=1500 X 22=2500 6000 Białystok X 31=2500 2021 -02 -23 Piła X 23=2000 X 24=1500 71

prof. dr hab. inż. Joanna Józefowska Rozwiązanie optymalne Odbiorca Dostawca Zmienna Ilość Koszt jednostkowy całkowity Kluczbork Lublin x 11 3 500 3 10 500 Kluczbork Elbląg x 12 1 500 2 3 000 Białystok Elbląg x 22 2 500 5 12 500 Białystok Łódź x 23 2 000 2 4 000 Białystok Opole x 24 1 500 3 4 500 Piła Lublin x 31 2 500 2 5 000 Razem 2021 -02 -23 39 500 72

prof. dr hab. inż. Joanna Józefowska Wyznaczanie rozwiązań bazowych • Metoda kąta północno-zachodniego • Metoda minimalnego elementu macierzy kosztów • Metoda VAM (Vogel’s Approximation Method) • ri, i = 1, 2, . . . , m - różnica między dwoma najmniejszymi elementami wiersza i w zredukowanej macierzy C, • dj, j = 1, 2, . . . , n - różnica między dwoma najmniejszymi elementami kolumny j w zredukowanej macierzy C, • max(ri, dj) • ckl = min {ckj} albo ckl = min {cil} 2021 -02 -23 73

prof. dr hab. iż. Joanna Józefowska Metoda minimalnego elementu macierzy kosztów n Postępujemy podobnie, jak w metodzie północno- zachodniego narożnika, ale wybieramy, jako kolejny, wierzchołek odpowiadający najmniejszemu nieskreślonemu elementowi macierzy kosztów. 2021 -02 -23 74

prof. dr hab. inż. Joanna Józefowska Metoda minimalnego elementu macierzy kosztów Lublin 1 Elbląg 2 Łódź 3 Opole 4 1. Kluczbork 3 2 7 6 5000 2. Białystok 7 5 2 3 6000 3. Piła 2 5 4 5 2500 6000 4000 2000 1500 1000 0 Ile towaru można maksymalnie przesłać tą trasą? 2021 -02 -23 75

prof. dr hab. inż. Joanna Józefowska Metoda minimalnego elementu macierzy kosztów Lublin 1 Elbląg 2 Łódź 3 Opole 4 1. Kluczbork 3 4000 7 6 1000 2. Białystok 7 5 2 3 6000 3. Piła 2 5 4 5 2500 6000 0 2000 1500 0 3500 Ile towaru można maksymalnie przesłać tą trasą? 2021 -02 -23 76

prof. dr hab. inż. Joanna Józefowska Metoda minimalnego elementu macierzy kosztów Lublin 1 Elbląg 2 Łódź 3 Opole 4 1. Kluczbork 3 4000 7 6 1000 2. Białystok 7 5 2 3 6000 2500 5 4 5 0 3500 0 2000 0 1500 3. Piła 4000 Ile towaru można maksymalnie przesłać tą trasą? 2021 -02 -23 77

prof. dr hab. inż. Joanna Józefowska Metoda minimalnego elementu macierzy kosztów Lublin 1 Elbląg 2 Łódź 3 Opole 4 1. Kluczbork 3 4000 7 6 1000 2. Białystok 7 5 2000 3 4000 2500 5 4 5 0 3500 0 0 1500 3. Piła 2500 0 Ile towaru można maksymalnie przesłać tą trasą? 2021 -02 -23 78

prof. dr hab. inż. Joanna Józefowska Metoda minimalnego elementu macierzy kosztów Lublin 1 Elbląg 2 Łódź 3 Opole 4 1. Kluczbork 3 4000 7 6 1000 2. Białystok 7 5 2000 1500 2500 5 4 5 0 3500 0 3. Piła 0 2500 Ile towaru można maksymalnie przesłać tą trasą? 2021 -02 -23 79

prof. dr hab. inż. Joanna Józefowska Metoda minimalnego elementu macierzy kosztów Lublin 1 Elbląg 2 Łódź 3 Opole 4 1. Kluczbork 1000 4000 7 6 1000 2. Białystok 7 5 2000 1500 2500 5 4 5 0 2500 0 3. Piła 0 0 Ile towaru można maksymalnie przesłać tą trasą? 2021 -02 -23 80

prof. dr hab. inż. Joanna Józefowska 2021 -02 -23 Metoda minimalnego elementu macierzy kosztów Lublin 1 Elbląg 2 Łódź 3 Opole 4 1. Kluczbork 1000 4000 0 0 5000 2. Białystok 2500 0 2000 1500 6000 3. Piła 2500 0 2500 6000 4000 2000 1500 81

prof. dr hab. iż. Joanna Józefowska Metoda Vogla 1. Oznaczmy przez ri (i = 1, …, m) różnicę między dwoma 2. 3. 4. 5. 2021 -02 -23 najmniejszymi elementami i-tego wiersza macierzy kosztów zredukowanej o dostawców, których zapas został już wyczerpany i o odbiorców, których zapotrzebowanie zostało już zaspokojone. Oznaczmy przez dj (i = 1, …, n) różnicę między dwoma najmniejszymi elementami j-tej kolumny zredukowanej macierzy kosztów. Wybierz a = max{ri, dj}. Jeżeli a = ri, to wybierz element w wierszu k = i oraz kolumnie l, takiej że ckl = min{ckj}. Jeżeli a = dj, to wybierz element w kolumnie l = j oraz wierszu k, takim że ckl = min{cil}. 82

prof. dr hab. inż. Joanna Józefowska Metoda Vogla Lublin 1 Elbląg 2 Łódź 3 Opole 4 1. Kluczbork 3 2 7 6 2. Białystok 7 5 2 3 3. Piła 2 5 4 5 ri dj 2021 -02 -23 83

prof. dr hab. inż. Joanna Józefowska Metoda Vogla Lublin 1 Elbląg 2 Łódź 3 Opole 4 ri 1. Kluczbork 3 2 7 6 1 2. Białystok 7 5 2 3 3. Piła 2 5 4 5 dj 2021 -02 -23 84

prof. dr hab. inż. Joanna Józefowska Metoda Vogla Lublin 1 Elbląg 2 Łódź 3 Opole 4 ri 1. Kluczbork 3 2 7 6 1 2. Białystok 7 5 2 3 3. Piła 2 5 4 5 dj 2021 -02 -23 85

prof. dr hab. inż. Joanna Józefowska Metoda Vogla Lublin 1 Elbląg 2 Łódź 3 Opole 4 ri 1. Kluczbork 3 2 7 6 1 2. Białystok 7 5 2 3 1 3. Piła 2 5 4 5 dj 2021 -02 -23 86

prof. dr hab. inż. Joanna Józefowska Metoda Vogla Lublin 1 Elbląg 2 Łódź 3 Opole 4 ri 1. Kluczbork 3 2 7 6 1 2. Białystok 7 5 2 3 1 3. Piła 2 5 4 5 dj 2021 -02 -23 87

prof. dr hab. inż. Joanna Józefowska Metoda Vogla Lublin 1 Elbląg 2 Łódź 3 Opole 4 ri 1. Kluczbork 3 2 7 6 1 2. Białystok 7 5 2 3 1 3. Piła 2 5 4 5 2 dj 2021 -02 -23 88

prof. dr hab. inż. Joanna Józefowska 2021 -02 -23 Metoda Vogla Lublin 1 Elbląg 2 Łódź 3 Opole 4 ri 1. Kluczbork 3 2 7 6 1 2. Białystok 7 5 2 3 1 3. Piła 2 5 4 5 2 dj 1 89

prof. dr hab. inż. Joanna Józefowska Metoda Vogla Lublin 1 Elbląg 2 Łódź 3 Opole 4 ri 1. Kluczbork 3 2 7 6 1 2. Białystok 7 5 2 3 1 3. Piła 2 5 4 5 2 dj 1 3 2 2 3 a = max{ri, dj} 2021 -02 -23 90

prof. dr hab. inż. Joanna Józefowska Metoda Vogla Lublin 1 Elbląg 2 Łódź 3 Opole 4 ri 1. Kluczbork 3 2 7 6 1 2. Białystok 7 5 2 3 1 3. Piła 2 5 4 5 2 dj 1 3 2 2 3 a = max{ri, dj} ckl = min{cil} 2021 -02 -23 91

prof. dr hab. inż. Joanna Józefowska Metoda Vogla Lublin 1 Elbląg 2 Łódź 3 Opole 4 1. Kluczbork 3 2 7 6 5000 2. Białystok 7 5 2 3 6000 3. Piła 2 5 4 5 2500 6000 4000 2000 1500 1000 0 Ile towaru można maksymalnie przesłać tą trasą? 2021 -02 -23 92

prof. dr hab. inż. Joanna Józefowska Metoda Vogla Lublin 1 Elbląg 2 Łódź 3 Opole 4 1. Kluczbork 3 2 7 6 2. Białystok 7 5 2 3 3. Piła 2 5 4 5 ri dj 2021 -02 -23 93

prof. dr hab. inż. Joanna Józefowska Metoda Vogla Lublin 1 Elbląg 2 Łódź 3 Opole 4 ri 1. Kluczbork 3 2 7 6 3 2. Białystok 7 5 2 3 3. Piła 2 5 4 5 dj 2021 -02 -23 94

prof. dr hab. inż. Joanna Józefowska 2021 -02 -23 Metoda Vogla Lublin 1 Elbląg 2 Łódź 3 Opole 4 ri 1. Kluczbork 3 2 7 6 3 2. Białystok 7 5 2 3 1 3. Piła 2 5 4 5 2 dj 1 2 2 3 95

prof. dr hab. inż. Joanna Józefowska Metoda Vogla Lublin 1 Elbląg 2 Łódź 3 Opole 4 ri 1. Kluczbork 3 2 7 6 3 2. Białystok 7 5 2 3 1 3. Piła 2 5 4 5 2 dj 1 2 2 3 ckl = min{ckj} 2021 -02 -23 96

prof. dr hab. inż. Joanna Józefowska Metoda Vogla Lublin 1 Elbląg 2 Łódź 3 Opole 4 1. Kluczbork 3 4000 7 6 1000 2. Białystok 7 5 2 3 6000 3. Piła 2 5 4 5 2500 6000 0 2000 1500 0 5000 Ile towaru można maksymalnie przesłać tą trasą? 2021 -02 -23 97

prof. dr hab. inż. Joanna Józefowska 2021 -02 -23 Metoda Vogla Lublin 1 Elbląg 2 Łódź 3 Opole 4 ri 1. Kluczbork 3 2 7 6 2. Białystok 7 5 2 3 1 3. Piła 2 5 4 5 2 dj 5 2 2 5 98

prof. dr hab. inż. Joanna Józefowska Metoda Vogla Lublin 1 Elbląg 2 Łódź 3 Opole 4 1. Kluczbork 1000 4000 7 6 0 2. Białystok 7 5 2 3 6000 3. Piła 2 5 4 5 2500 5000 0 2000 1500 0 2500 Ile towaru można maksymalnie przesłać tą trasą? 2021 -02 -23 99

prof. dr hab. inż. Joanna Józefowska Metoda Vogla Lublin 1 Elbląg 2 Łódź 3 Opole 4 1. Kluczbork 1000 4000 7 6 0 2. Białystok 7 5 2 3 6000 2500 5 4 5 0 2500 0 2000 1500 3. Piła 4000 0 Ile towaru można maksymalnie przesłać tą trasą? 2021 -02 -23 100

prof. dr hab. inż. Joanna Józefowska Metoda Vogla Lublin 1 Elbląg 2 Łódź 3 Opole 4 1. Kluczbork 1000 4000 7 6 0 2. Białystok 7 5 2000 3 4000 2500 5 4 5 0 2500 0 0 1500 3. Piła 2500 0 Ile towaru można maksymalnie przesłać tą trasą? 2021 -02 -23 101

prof. dr hab. inż. Joanna Józefowska Metoda Vogla Lublin 1 Elbląg 2 Łódź 3 Opole 4 1. Kluczbork 1000 4000 7 6 0 2. Białystok 7 5 2000 1500 2500 5 4 5 0 2500 0 3. Piła 0 0 Ile towaru można maksymalnie przesłać tą trasą? 2021 -02 -23 102

prof. dr hab. inż. Joanna Józefowska 2021 -02 -23 Metoda Vogla Lublin 1 Elbląg 2 Łódź 3 Opole 4 1. Kluczbork 1000 4000 7 6 5000 2. Białystok 2500 5 2000 1500 6000 3. Piła 2500 5 4 5 0 6000 4000 2000 1500 103