Optymalizacja liniowa Andrzej Torj Ekonometria 1 Problem decyzyjny

Optymalizacja liniowa Andrzej Torój, Ekonometria 1

Problem decyzyjny Która decyzja (z tych możliwych do podjęcia) jest najlepsza? co to znaczy „decyzja”? zmienne decyzyjne X 1, X 2, . . . , Xn decyzja: x*=(x 1*, x 2*, . . . , xn*) kiedy decyzja jest możliwa do podjęcia? warunki ograniczające co to znaczy „najlepsza”? funkcja celu max zbiór decyzji dopuszczalnych Andrzej Torój, Ekonometria min kryterium optymalizacji 2

Przykład Kubuś Puchatek lubi miód i chce go jeść jak najwięcej. Niestety, musi sobie na tę przyjemność zapracować. Są dwie możliwości: hodowanie pszczółek w ulu w ogródku lub zakup miodu w sklepie za pieniądze otrzymane za brawurową rolę w kreskówce. Za każdą godzinę opieki dziennie pszczoły odwdzięczają mu się 0, 2 l miodu. Praca pozwala Kubusiowi zarobić 5 zł za godzinę, a miód w sklepie kosztuje 10 zł za litr. Kubuś jest leniwym misiem i nie może pracować (czy to zarobkowo, czy przy ulu) dłużej niż 8 godzin dziennie. Kubuś nie spędzi jednak na planie dłużej niż 5 godzin dziennie, bo będzie tęsknił za Prosiaczkiem i zechce wrócić do domu. Pszczoły po 7 godzinach z Kubusiem mają go dość i zaczynają go atakować. Jak zachowa się Kubuś, by mieć jak najwięcej miodu do dyspozycji? Andrzej Torój, Ekonometria 3

Zmienne decyzyjne • x 1 – czas pracy w serialu • x 2 – czas pracy przy ulu Decyzja x*=(x 1*, x 2*) gdzie x 1*, x 2* to konkretne wartości przyjęte przez zmienne x 1, x 2. Andrzej Torój, Ekonometria 4

Funkcja celu • cel: maksymalizacja konsumpcji miodu • f(x)=f(x 1, x 2) → max • Jak czas pracy przekłada się na ilość miodu do dyspozycji? – 1 h z pszczołami to 0, 2 l miodu – 1 h na planie serialu to 5 zł, a 1 l miodu kosztuje 10 zł – stąd ilość miodu do dyspozycji Kubusia (w litrach) zależy od jego decyzji w następujący sposób: 5/10 *x 1 + 0, 2*x 2 • funkcja celu: f(x 1, x 2)=0, 5 x 1+0, 2 x 2 Andrzej Torój, Ekonometria 5

Warunki ograniczające (1) (2) (3) (4) (5) x 1 + x 2 ≤ 8 x 1 ≤ 5 x 2 ≤ 7 x 1 ≥ 0 x 2 ≥ 0 warunki nieujemności Andrzej Torój, Ekonometria 6

Ilustracja graficzna (1) 8 (2) (3) (4) (5) x 2 7 zbiór decyzji dopuszczalnych (D) 5 8 Andrzej Torój, Ekonometria x 1 + x 2 ≤ 8 x 1 ≤ 5 x 2 ≤ 7 x 1 ≥ 0 x 2 ≥ 0 x 1 7

Gdzie jest decyzja optymalna? f(x 1, x 2) = 2 10 f(x 1, x 2) = 1 x 2 decyzja optymalna! 7 f(x 1, x 2) = 0, 5 x 1 + 0, 2 x 2 Warstwica funkcji celu: f(x 1, x 2) = 1 f(x 1, x 2) = 2 itd. Gradient funkcji celu: kierunek najszybszego wzrostu jej wartości; pochodna funkcji celu względem zmiennych decyzyjnych 5 2 4 5 x 1 Andrzej Torój, Ekonometria 8

Warunki luźne i napięte 8 warunki napięte x 2 (spełnione dla rozwiązania optymalnego jako równość) 7 (1) (2) (3) (4) (5) x 1 + x 2 ≤ 8 x 1 ≤ 5 x 2 ≤ 7 x 1 ≥ 0 x 2 ≥ 0 warunki luźne 5 8 x 1 (spełnione dla rozwiązania optymalnego jako nierówność ostra) Andrzej Torój, Ekonometria 9

Decyzja optymalna Decyzja x* jest optymalna, jeżeli: • jest decyzją dopuszczalną, tzn. • f(x*) ≥f(x) dla dowolnej decyzji przy maksymalizacji funkcji celu ALBO f(x*) ≤ f(x) dla dowolnej decyzji przy minimalizacji funkcji celu Andrzej Torój, Ekonometria 10

Zadanie programowania liniowego (PL) szczególny przypadek zadania programowania matematycznego 1. wszystkie zmienne decyzyjne ciągłe 2. wszystkie warunki ograniczające w postaci równań lub słabych nierówności liniowych 3. funkcja celu liniową funkcją zmiennych decyzyjnych Andrzej Torój, Ekonometria 11

Możliwe wyniki – rozwiązanie optymalne istnieje x 2 x 1 jedno rozwiązanie optymalne x 1 alternatywne rozwiązania optymalne Andrzej Torój, Ekonometria 12

Możliwe wyniki – rozwiązanie optymalne nie istnieje x 2 x 1 zadanie sprzeczne x 1 funkcja celu nieograniczona z góry (z dołu) Andrzej Torój, Ekonometria 13

Własności zadań PL (1) 1. Jeżeli zbiór D jest niepusty i ograniczony, to istnieje rozwiązanie optymalne. 2. W zadaniu PL o nieujemnych zmiennych decyzyjnych i niepustym zbiorze rozwiązań optymalnych przynajmniej jeden wierzchołek zbioru D jest rozwiązaniem optymalnym. 3. Zbiór rozwiązań dopuszczalnych i rozwiązań optymalnych zadania PL są zbiorami wypukłymi. 4. Wynik procesu rozwiązywania zadania PL nie ulega zmianie przy zastąpieniu funkcji celu f(x) funkcją a*f(x) (gdy a jest dowolną liczbą dodatnią) lub f(x)+b (gdy b jest ustaloną liczbą rzeczywistą). Andrzej Torój, Ekonometria 14

Własności zadań PL (2) 5. Wynik procesu rozwiązywania zadania PL nie ulega zmianie przy zastąpieniu funkcji celu f(x) funkcją -f(x) i jednoczesnej zmianie kryterium optymalizacji na przeciwne. 6. Wierzchołek x* niepustego zbioru rozwiązań dopuszczalnych D jest rozwiązaniem optymalnym zadania PL z maksymalizacją funkcji celu f(x) wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego rozwiązania dopuszczalnego x na prostej warunku napiętego w x* zachodzi f(x*) ≥ f(x). 7. Wierzchołek x* niepustego i ograniczonego zbioru rozwiązań dopuszczalnych D jest rozwiązaniem optymalnym zadania PL z maksymalizacją funkcji celu f(x) wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego sąsiedniego wierzchołka zachodzi f(x*) ≥ f(x). Andrzej Torój, Ekonometria 15

Solver Plik – Opcje – Dodatki – Dodatek Solver Andrzej Torój, Ekonometria 16

wybieramy kryterium optymalizacji funkcji celu: maksimum, minimum lub osiągnięcie konkretnej wartości tutaj wpisujemy adres komórki zawierającej formułę funkcji celu; formuła powinna zawierać zmienne decyzyjne zdefiniowane w innych, zmienianych przez program komórkach tutaj wpisujemy adres zakresu zmiennych decyzyjnych na zajęciach rozwiązujemy graficznie problemy z max. 2 zmiennymi decyzyjnymi, w Excelu wybieramy metodę numeryczną naciskając „Dodaj”, przechodzimy do okna definiowania warunku ograniczającego po lewej stronie wpisujemy adres komórki zawierającej funkcję zmiennych decyzyjnych; w środku – charakter ograniczenia; po prawej – wyraz wolny warunku ograniczającego Andrzej Torój, Ekonometria 17

Zadanie programowania liniowego – pytania. . . czy zmiana wyrazu wolnego sprawi, że zestaw warunków napiętych zmieni się? czy po zmianie współczynnika funkcji celu obecne rozwiązanie optymalne nadal będzie optymalne? jak zmiana wyrazu wolnego warunku jak wpłynie na rozwiązanie optymalne ograniczającego wpłynie na optymalną usunięcie/dodanie jednego warunku wartość funkcji celu (cena dualna)? ograniczającego? Andrzej Torój, Ekonometria 18

Problem Kubusia Puchatka przypomnienie 8 x 2 f(x 1, x 2)=0, 5 x 1+0, 2 x 2 7 (1) (2) (3) (4) (5) 5 Andrzej Torój, Ekonometria 8 x 1 + x 2 ≤ 8 x 1 ≤ 5 x 2 ≤ 7 x 1 ≥ 0 x 2 ≥ 0 x 1 19

Zmiana współczynnika funkcji celu (1) • w naszym przypadku: – zmiana wydajności pszczół (0, 2 l miodu na godzinę pracy Kubusia) – zmiana płacy realnej w serialu (0, 5 l miodu za godzinę) 8 7 5 Andrzej Torój, Ekonometria 8 20

Zmiana współczynnika funkcji celu (2) dla rozwiązania optymalnego (x 1, x 2)=(5, 3): dla sąsiednich wierzchołków: (x 1, x 2)=(5, 0): (x 1, x 2)=(1, 7): Decyzja (x 1, x 2)=(5, 3) pozostanie optymalna tak długo, jak spełnione będą warunki: – przedział stabilności c 2 Andrzej Torój, Ekonometria 21

Zmiana wyrazu wolnego warunku ograniczającego (1) w naszym przypadku: • zmiana poziomu pracowitości Kubusia (mało prawdopodobna ) 8 7 • zmiana odporności Prosiaczka na tęsknotę za Kubusiem (jeszcze mniej prawdopodobna ) • zmiana odporności pszczół na obecność Kubusia 5 Andrzej Torój, Ekonometria 8 22

Zmiana wyrazu wolnego warunku ograniczającego (2) • jeżeli prostą 0*x 1+1*x 2=7 przesuniemy dowolnie wysoko (0*x 1+1*x 2=7+Db 1, Db 1>0), rozwiązanie optymalne nie zmieni się • jeżeli przesuniemy ją tak, by „przechodziła przez” dotychczasową decyzję optymalną (0*x 1+1*x 2=7+Db 1 dla x 1=5, x 2 =3, stąd Db 1=-4), decyzja optymalna nie zmieni się, ale warunek tej prostej stanie się napięty • gdy Db 1<-4, zmieni się decyzja optymalna i zbiór warunków napiętych (przestanie być napięty warunek oznaczony brązową linią) Andrzej Torój, Ekonometria 23

Zmiana wyrazu wolnego warunku ograniczającego (3) • struktura bazowa rozwiązania optymalnego – zbiór napiętych warunków ograniczających • przedział stabilności struktury bazowej rozwiązania optymalnego względem wyrazu wolnego bi – przedział zmienności bi, w którym nie nastąpi zmiana zestawu warunków napiętych – dla warunku luźnego – pytanie podobne do tego, jakie stawialiśmy sobie przy zmianie współczynnika funkcji celu (jak wielka zmiana możliwa bez zmiany decyzji optymalnej? ) – dla warunku napiętego takie pytanie miałoby w gruncie rzeczy sensu (każde przesunięcie linii ograniczenia powodowałoby zmianę decyzji optymalnej) Andrzej Torój, Ekonometria 24

Zmiana wyrazu wolnego warunku ograniczającego (4) 8 7 (1) (2) (3) x 1 + x 2 ≤ 8 x 1 ≤ 5 x 2 ≤ 7 (1) 5 ≤ b 1 ≤ 12 1 ≤ b 2 ≤ 8 3 ≤ b 3 (2) (3) 3 5 8 Andrzej Torój, Ekonometria przedziały stabilności struktury bazowej rozwiązania optymalnego 25

Cena dualna (1) • jak wpływa zmiana wyrazu wolnego warunku ograniczającego na wartość funkcji celu? warunek luźny ZAŁOŻENIE: struktura bazowa rozwiązania optymalnego nie ulegnie modyfikacji cena dualna wynosi 0 cena dualna to przyrost (spadek) optymalnej wartości funkcji celu spowodowany jednostkowym przyrostem (spadkiem) wyrazu wolnego jednego z warunków ograniczających przy założeniu, że struktura bazowa rozwiązania optymalnego nie zostanie zmieniona warunek napięty ZAŁOŻENIE: struktura bazowa rozwiązania optymalnego nie ulegnie modyfikacji założenie pozwala nam uznać, że te same warunki pozostaną napięte (np. warunek (1) i (2) ); zapisujemy warunki spełniane przez nową decyzję optymalną: rozwiązujemy ze względu na x 1 i x 2 (obie zmienne decyzyjne będą funkcją Db 2), a następnie podstawiamy do funkcji celu: d jest ceną dualną Andrzej Torój, Ekonometria 26

Cena dualna (2) • w przypadku problemu Kubusia Puchatka: (1) (2) (3) warunek (1) jest napięty x 1 + x 2 ≤ 8 x 1 ≤ 5 x 2 ≤ 7 warunek (2) jest napięty warunek (3) jest luźny cena dualna dla warunku (3) = 0 cena dualna dla warunku (1) = 0, 2 cena dualna dla warunku (2) = 0, 3 Andrzej Torój, Ekonometria 27

Co się stanie, gdy dodamy nowy warunek? • jeżeli dotychczasowa decyzja optymalna spełnia ten warunek, pozostanie ona optymalna; w przeciwnym razie szukamy nowego rozwiązania (o ile zbiór rozwiązań dopuszczalnych nie stał się pusty!) Co się stanie, gdy usuniemy warunek? • jeżeli warunek był luźny, dotychczasowe rozwiązanie pozostaje optymalne; jeżeli był napięty, musimy rozwiązać zadanie ponownie Andrzej Torój, Ekonometria 28

Uwagi końcowe • zasada ceteris paribus: przedziałów stabilności współczynników funkcji celu nie można rozpatrywać łącznie • analiza pooptymalizacyjna dotyczy zagadnień ze zmiennymi ciągłymi Andrzej Torój, Ekonometria 29

Zadania programowania liniowego – podstawowe typy Andrzej Torój, Ekonometria 30

1. Dieta Andrzej Torój, Ekonometria 31

1. Dieta (c. d. ) • wyróżnione są składniki (m) diety oraz ich maksymalne i minimalne dawki • składniki dostępne są w produktach (n), dla każdego produktu znana jest jego cena (c) i zawartość składnika (b) • należy znaleźć najtańszą mieszankę produktów zawierającą odpowiednie ilości składników • klasyczne zagadnienie diety – jedynie dawki minimalne, nieograniczony zbiór rozwiązań dopuszczalnych, ale przy dodatnich cenach i kryterium minimalizacji – istnieje rozw. opt. Andrzej Torój, Ekonometria 32

2. Portfel inwestycyjny Andrzej Torój, Ekonometria 33

2. Portfel inwestycyjny • poszukujemy optymalnej struktury portfela inwestycyjnego: • jak najmniejsze ryzyko przy zadanej oczekiwanej stopie zwrotu • jak najwyższa oczekiwana stopa zwrotu przy zadanym oczekiwanym poziomie ryzyka • zmienne decyzyjne: udział poszczególnych rodzajów aktywów w portfelu (%); ograniczenie budżetowe: ich suma równa 1 • limity prawne dla udziału poszczególnych aktywów (np. max. udział akcji, aktywów zagranicznych itp. ) • założenie o doskonałej podzielności aktywów i płynności rynku • oczekiwana stopa zwrotu z portfela: średnia ważona z oczekiwanych stóp zwrotu poszczególnych jego elementów • założenie o NIEZALEŻNOŚCI stóp zwrotu poszczególnych aktywów (? ) Andrzej Torój, Ekonometria 34

3. Harmonogram Andrzej Torój, Ekonometria 35

3. Harmonogram • decydujemy o liczbie pracowników rozpoczynających pracę o różnych porach • zadanie ze zmiennymi dyskretnymi (np. liczby naturalne) – trudniejsze do rozwiązania Andrzej Torój, Ekonometria 36

4. Mieszanka Andrzej Torój, Ekonometria 37

4. Mieszanka • mieszamy składniki; każdy z nich ma swoją cenę • mieszanka musi być jak najtańsza i spełnić jednocześnie określone wymagania Andrzej Torój, Ekonometria 38

5. Zagadnienie transportowe Andrzej Torój, Ekonometria 39

5. Zagadnienie transportowe • produkt zmagazynowany u m dostawców należy dostarczyć do n odbiorców; ile jednostek produktu przewieźć od i-tego dostawcy (i=1, . . . , m) do j-tego odbiorcy (j=1, . . . , n) by spełnić wymagania odbiorców • n*m zmiennych decyzyjnych • należy tak ustalić plan transportu, by zminimalizować jego łączny koszt (znany jednostkowy koszt transportu od i-tego dostawcy do j-tego odbiorcy) • zagadnienie jest zbilansowane, gdy początkowy zasób u dostawców równy zapotrzebowaniu odbiorców (warunki ograniczające: równości) • niezbilansowane, gdy podaż lub popyt mniejsze (nierówności wśród warunków ograniczających) • gdy towar jest niepodzielny, nie ma konieczności uwzględniania całkowitoliczbowości zmiennych Andrzej Torój, Ekonometria 40

6. Przydział Andrzej Torój, Ekonometria 41

6. Przydział • m zadań do wykonania i m pracowników, którzy mogą je wykonać; każdy pracownik otrzymuje dokładnie jedno zadanie • zadań może być więcej niż pracowników (wtedy wśród warunków ograniczających nierówności) • minimalizujemy koszt realizacji zadań lub łączną efektywność • wszystkie zmienne decyzyjne są binarne; warunek ten można zastąpić warunkiem xij≥ 0 (na podstawie analogicznej własności zagadnienia transportowego) Andrzej Torój, Ekonometria 42

Zadanie E 12 Andrzej Torój, Ekonometria 43

Zadanie E 13 Andrzej Torój, Ekonometria 44

Zadanie E 14 Andrzej Torój, Ekonometria 45

Dodatkowe zadania • Przykłady i zadania do rozdziałów – 11 – 12 – 13 Andrzej Torój, Ekonometria 46