Badania Operacyjne Zagadnienie transportowe Problem transportowy zastosowania Optymalne

Badania Operacyjne Zagadnienie transportowe

Problem transportowy - zastosowania • Optymalne planowanie transportu towarów, przy minimalizacji kosztów lub towarów czasu wykonania zadania. • Optymalny rozdział czynników produkcji, w celu maksymalizacji wartości produkcji, zysku lub dochodu. 2

Rozwiązanie dopuszczalne – dopuszczalne jest to rozwiązanie przejściowe. Istnieje wiele rozwiązań dopuszczalnych dla przejściowe jednego zagadnienia transportowego, przy czym każde kolejne ma lepszy (niższy) lub przynajmniej nie gorszy koszt od poprzedniego. 3

Rozwiązanie optymalne 4

Popyt i podaż • Łączną ilość dobra dostępną we wszystkich punktach nadania przywykło się określać mianem podaży • Łączną ilość dobra, na które jest zapotrzebowanie we wszystkich punktach odbioru nazwiemy popytem 5

Opis problemu • R dostawców pewnego towaru, zaopatruje N odbiorców. • Dostawcy dysponują Ai (i = 1, 2, . . . , R) 1, 2, . . . , R jednostkami danego towaru. • Zapotrzebowanie każdego z odbiorców wynosi Bj (j = 1, 2, . . . , N) jednostek. 1, 2, . . . , N • Każdy dostawca może zaopatrywać dowolnego odbiorcę. dostawca odbiorcę • Każdy odbiorca może otrzymywać towar od dowolnego odbiorca dostawcy 6

Opis problemu c. d. • Ponadto znane są jednostkowe koszty transportu towaru od i-tego dostawcy do j-tego odbiorcy cij (i = 1, 2, . . . , R; j = 1, 2, . . . , N) 1, 2, . . . , N UWAGA: 1. Zakłada się, że całkowity koszt transportu jest sumą kosztów transportu na poszczególnych trasach. 2. Cij – może również wyrażać czas transportu lub odległość Mówimy tu o zagadnieniach transportowych z kryterium czasu, odległości lub kosztu. 7

Matematyczny model zagadnienia transportowego Oznaczenia: xij — wielkość przewozu towaru od i-tego dostawcy do j-tego odbiorcy, cij — jednostkowy koszt przewozu towaru od i-tego dostawcy do j-tego odbiorcy, Ai — limit dostaw i-tego dostawcy, Bj — zapotrzebowanie j-tego odbiorcy, m — liczba dostawców, 8 n — liczba odbiorców.

Zapis tabelaryczny zagadnienia transportowego Odbiorca Dostawca 1 2 … 1 … 2 … … m … … … n … … Macierz kosztów jednostkowych: 9

ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE ZAMKNIĘTE ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE OTWARTE 10

Zamknięte zagadnienie transportowe = zbilansowane zagadnienie transportowe Zamknięte (ZZT) Z zamkniętym (zbilansowanym zagadnieniem transportowym) mamy do czynienia, gdy łączna podaż jest równa popytowi: 11

Model matematyczny dla ZZT • warunki dla dostawców: • warunki dla odbiorców: • warunki brzegowe: • funkcja celu: 12

PODAŻ ZZT - przykład sklep hurtownia 10 30 40 30 70 20 30 25 50 80 15 40 20 15 55 95 95 POPYT 13

Otwarte zagadnienie transportowe = niezbilansowane zagadnienie transportowe Otwarte (OZT) • łączna podaż > łączny popyt – u dostawców zostanie pewna ilość towaru, na którą nie ma zapotrzebowania, a zapotrzebowanie odbiorców zostanie zaspokojone: • łączna podaż < łączny popyt – zapotrzebowanie odbiorców nie zostanie zaspokojone, mimo, że dostawcy wyślą cały towar: 14

Model matematyczny dla OZZ łączna podaż>łączny popyt • warunki dla dostawców: • warunki dla odbiorców: • warunki brzegowe: • funkcja celu: 15

Sprowadzenie OZT do ZZT łączna podaż>łączny popyt UWAGA: Algorytm transportowy zakłada, że zadanie jest zbilansowane (zamknięte). Możliwe jest sprowadzenie OZT do ZZT poprzez dodanie, wprowadzenie fikcyjnego odbiorcy, którego zapotrzebowanie Bn+1 jest równe nadwyżce podaży nad popytem, tzn. W funkcji celu minimalizuje się łączne koszty transportu i magazynowania. 16

PODAŻ OZT - przykład sklep hurtownia 10 30 40 40 70 20 30 30 50 80 15 40 20 15 60 110 95 POPYT 17

Sprowadzenie OZT do ZZT łączna podaż>łączny popyt c. d. UWAGA: Mogą być podane dodatkowo jednostkowe koszty magazynowania u poszczególnych dostawców (c magazynowania i, n+1) lub też zakłada się, że koszty magazynowania są pomijalnie małe w porównaniu z kosztami transportu (tzn. ci, n+1 = 0). 18

Sprowadzenie OZT do ZZT łączna podaż>łączny popyt - podsumowanie OZT -> ZZT 19

Model matematyczny dla OZZ łączna podaż< łączny popyt • warunki dla dostawców: • warunki dla odbiorców: • warunki brzegowe: • funkcja celu: 20

Sprowadzenie OZT do ZZT łączna podaż<łączny popyt UWAGA: Algorytm transportowy zakłada, że zadanie jest zbilansowane (zamknięte). Możliwe jest sprowadzenie OZT do ZZT poprzez dodanie, wprowadzenie fikcyjnego dostawcy, którego zapotrzebowanie Am+1 jest równe nadwyżce podaży nad popytem, tzn. W funkcji celu minimalizuje się łączne koszty transportu i magazynowania. 21

PODAŻ OZT - przykład sklep hurtownia 10 30 40 40 70 20 30 30 50 80 15 40 20 30 70 110 120 POPYT 22

Sprowadzenie OZT do ZZT łączna podaż>łączny popyt c. d. UWAGA: Mogą być podane dodatkowo jednostkowe koszty magazynowania u poszczególnych dostawców (c magazynowania i, n+1) lub też zakłada się, że koszty magazynowania są pomijalnie małe w porównaniu z kosztami transportu (tzn. ci, n+1 = 0). 23

Sprowadzenie OZT do ZZT łączna podaż>łączny popyt - podsumowanie OZT -> ZZT 24

METODY ROZWIĄZYWANIA ZAGADNIENIA TRANSPORTOWEGO 25

Metoda kąta północno-zachodniego (górnego lewego rogu) Metodą tą uzyskamy rozwiązanie dopuszczalne zadania rozwiązanie dopuszczalne transportowego. Nie bierze ona pod uwagę macierzy kosztów, przez co koszt rozwiązania jest dość wysoki w porównaniu z pozostałymi metodami. 26

Metoda kąta północno-zachodniego - przykład (ZZT) Firma przewozowa (np. czekolady) ma kontrakt z czterema producentami czekolady (P 1, P 2, P 3, P 4) z różnych miast dysponuje odpowiednio: 20, 30, 10 i 40 paletami czekolady. Natomiast 5 hurtowni (H 1, H 2, H 3, H 4, H 5) z innych miast chętnie kupią odpowiednio: 10, 15, 30, 10 i 35 palet. Mamy jak najmniejszym kosztem porozwozić wszystkie palety, znając koszty drogi od danego producenta (dostawcy) do każdej hurtowni (odbiorcy). Uwaga koszty zestawiono w tabeli 27

Metoda kąta północno-zachodniego - przykład hurtownia producent 5 3 1 2 2 20 2 1 1 30 1 1 2 5 2 10 5 4 3 1 6 40 10 15 30 10 35 100 28

Metoda kąta północno-zachodniego Należy przygotować niewypełnioną tabelę o wymiarze m-wierszy i n-kolumn, gdzie: m - liczba odbiorców, n- liczba dostawców. hurtownia Podaż producent 20 30 10 40 Popyt 10 15 30 10 35 30

Wypełnianie tabelki zaczynamy od pierwszej komórki w górnym, lewym narożniku. Komórce tej odpowiada dana podaż oraz dany popyt. Wybieramy spośród nich mniejszą wartość i wpisujemy ją do komórki. hurtownia Podaż producent 10 20 10 Min(10; 20)=10 20 -10=10 Popyt 0 10 10 -10=0 Następnie należy tę wartość odjąć zarówno od podaży jak i od popytu. 31

Sprawdzamy, gdzie po odjęciu uzyskaliśmy 0 (w podaży czy w popycie). Jeżeli wyzerował się popyt to w danej kolumnie wpisujemy w resztę komórek zera. Jeżeli wyzerowałaby się podaż to należałoby wpisać zera w resztę komórek w danym wierszu. W tym przypadku wyzerował się popyt więc należy wypełnić resztę komórek w pierwszej kolumnie zerami. hurtownia Podaż producent 10 10 0 Popyt 0 32

Idziemy do kolejnej wolnej komórki i powtarzamy całą procedurę, aż do pełnego wypełnienia całej tabeli. hurtownia Podaż producent Popyt 10 10 0 0 5 25 0 0 0 5 5 0 0 0 0 5 35 0 0 5 0 5 0 0 33

Uzyskujemy wówczas rozwiązanie dopuszczalne. Wszystkie zerowe elementy (bierzemy pod uwagę te zera, które wpisaliśmy jako uzupełnienie tabeli) rozwiązania nazywamy elementami nie bazowymi. Natomiast elementami nie bazowymi elementami bazowymi nazywamy wszystkie elementy niezerowe. elementami bazowymi hurtownia Podaż producent Popyt 10 10 0 0 5 25 0 0 0 0 0 5 35 0 0 0 Przy czym el. bazowych powinno być m+n-1 (5+4 -1=8), wówczas rozwiązanie nazywamy zdegenerowanym. W innym przypadku rozwiązanie zdegenerowanym będzie niezdegenerowane, a my nie będziemy w stanie sprawdzić jego niezdegenerowane optymalności metodą potencjałów (wyjątkiem jest przypadek w którym jeden z elementów bazowych jest zerem). 34

Na koniec należy policzyć koszt jaki uzyskaliśmy tą metodą. Koszt wyliczamy przemnażając dany element tablicy kosztów z danym elementem naszego rozwiązania po czym wartości te sumujemy. hurtownia producent 5 3 1 2 2 20 2 1 1 30 1 1 2 5 2 10 5 4 3 1 6 40 10 15 30 10 35 hurtownia Podaż producent Popyt 10 10 0 0 5 25 0 0 0 0 0 5 35 0 0 0 35

Metoda kąta północno-zachodniego - przykład (OZT) Firma przewozowa (np. mąki) ma kontrakt z trzema magazynami (M 1, M 2, M 3) z różnych miast dysponuje odpowiednio: 100, 50 i 80 tonami mąki. Natomiast 4 piekarnie (P 1, P 2, P 3, P 4) z innych miast chętnie kupią odpowiednio: 40, 60, 50 i 50 ton mąki. Mamy jak najmniejszym kosztem porozwozić mąkę, znając koszty drogi od danego magazynu (dostawcy) do każdej piekarni (odbiorcy). 36

piekarnia magazyn 50 40 50 20 100 40 80 70 30 50 60 40 70 80 80 40 60 50 50 230 200 37

Ponieważ algorytm transportowy zakłada zbilansowanie popytu i podaży, zatem OZT zamieniamy na ZZT. Ponieważ zatem wprowadzamy jednego fikcyjnego odbiorcę (dodatkową piekarnię). piekarnia dodatkowe założenie o kosztach magazynowania F magazyn 50 40 50 20 5 100 40 80 70 30 5 50 60 40 70 80 5 80 40 60 50 50 30 230 200 38

Nowy model matematyczny: • funkcja celu: funkcję celu rozszerzamy o dodane składniki Dalej rozwiązujemy metodą kąta pn. -zach. (lub później najmniejszego elementu) 39

Metoda najmniejszego elementu Pełna nazwa to metoda najmniejszego elementu w macierzy kosztów. Metodą tą uzyskamy rozwiązanie dopuszczalne zadania transportowego. Bierze ona pod uwagę macierz transportowego kosztów dzięki czemu zazwyczaj (ale nie zawsze) daje w wyniku niższy koszt rozwiązania niż koszt rozwiązania metodą kąta pn. -zach. 40

Metoda najmniejszego elementu - przykład Firma przewozowa (np. czekolady) ma kontrakt z czterema producentami czekolady (P 1, P 2, P 3, P 4) z różnych miast dysponuje odpowiednio: 20, 30, 10 i 40 paletami czekolady. Natomiast 5 hurtowni (H 1, H 2, H 3, H 4, H 5) z innych miast chętnie kupią odpowiednio: 10, 15, 30, 10 i 35 palet. Mamy jak najmniejszym kosztem porozwozić wszystkie palety, znając koszty drogi od danego producenta (dostawcy) do każdej hurtowni (odbiorcy). Uwaga koszty zestawiono w tabeli 41

Metoda najmniejszego elementu - przykład hurtownia producent 5 3 1 2 2 20 2 1 1 30 1 1 2 5 2 10 5 4 3 1 6 40 10 15 30 10 35 42

o najmniejszym koszcie, odznaczamy ją. hurtownia podaż producent popyt 5 3 1 2 2 20 2 1 1 30 1 1 2 5 2 10 5 4 3 1 6 10 15 30 10 35 20 -20=0 40 30 -20=10 Min(20; 30)=20 Komórce tej odpowiada jedna wartość podaży oraz popytu. Wybieramy spośród nich wartość mniejszą i odejmujemy ją zarówno od danej komórki popytu jak i komórki podaży. 43

Wyniki wpisujemy do nowej tabeli, tak, że wartość minimalną wpisujemy w komórkę, która odpowiada komórce z minimalnym kosztem w tabeli kosztów. hurt. poda ż Prod. hurtownia podaż producent 0 popyt 5 3 1 2 2 20 2 1 1 30 1 1 2 5 2 10 5 4 3 1 6 40 10 15 30 10 35 popyt 0 20 0 10 Następnie sprawdzamy, która wartość (popytu czy podaży) wyzerowała się. Jeżeli wyzerowała się podaż to wstawiamy zera w resztę komórek w tym wierszu, jeżeli popyt to wstawiamy zera w resztę komórek danej kolumny. 44

Następnie bierzemy tabelkę kosztów i zakreślamy na niej komórki, które wypełniliśmy zerami w tabelce wyników. hurt. podaż Prod. popyt 5 3 1 2 2 0 2 1 1 30 1 1 2 5 2 10 5 4 3 1 6 40 10 15 10 10 35 Następnie szukamy w niej następnego minimalnego kosztu (pomijając zakreślone komórki). Dalej postępujemy analogicznie jak w etapie pierwszym. 45

hurt. podaż Prod. popyt 5 3 1 2 2 0 2 1 1 30 1 1 2 5 2 10 5 4 3 1 6 40 10 15 10 10 35 hurt. podaż Prod. 0 0 20 15 Procedurę powtarzamy do momentu uzupełnienia całej tabeli. 0 0 0 15 0 0 popyt 0 10 46

hurt. podaż Prod. popyt 5 3 1 2 2 0 2 1 1 15 1 1 2 5 2 10 5 4 3 1 6 40 10 10 35 hurt. podaż Prod. 0 popyt 0 20 15 10 0 0 0 0 5 47

hurt. podaż Prod. popyt 5 3 1 2 2 0 2 1 1 5 1 1 2 5 2 10 5 4 3 1 6 40 10 0 0 10 35 hurt. podaż Prod. popyt 0 0 20 0 0 15 10 5 0 0 0 0 5 48

hurt. podaż Prod. popyt 5 3 1 2 2 0 2 1 1 0 1 1 2 5 2 10 5 4 3 1 6 40 10 0 0 5 35 hurt. podaż Prod. popyt 0 0 20 0 0 15 10 5 0 0 10 0 0 5 49

hurt. podaż Prod. popyt 5 3 1 2 2 0 2 1 1 0 1 1 2 5 2 0 5 4 3 1 6 40 0 5 35 hurt. podaż Prod. popyt 0 0 20 0 0 15 10 5 0 0 10 0 0 0 0 5 0 0 35 50

hurt. podaż Prod. popyt 5 3 1 2 2 0 2 1 1 0 1 1 2 5 2 0 5 4 3 1 6 35 0 0 35 podaż Prod. popyt 0 0 20 0 0 15 10 5 0 0 10 0 0 0 0 5 35 0 0 0 Uzyskaliśmy rozwiązanie dopuszczalne. Wszystkie zerowe elementy (bierzemy pod uwagę te zera, które wpisaliśmy jako uzupełnienie tabeli) rozwiązania nazywamy elementami nie bazowymi. Natomiast elementami bazowymi nazywamy nie bazowymi wszystkie elementy niezerowe. Przy czym el. bazowych powinno być m+n-1 (5+4 -1=8), wówczas rozwiązanie nazywamy zdegenerowanym. W innym przypadku rozwiązanie będzie zdegenerowanym niezdegenerowane, a my nie będziemy w stanie sprawdzić jego optymalności metodą potencjałów (wyjątkiem jest przypadek w którym jeden z elementów bazowych jest zerem). 51

Na tą metodą. Koszt wyliczamy w analogiczny sposób jak w przykładzie z użyciem metody kąta północnozachodniego. ODP. : koszt rozwiązania dopuszczalnego wynosi 225. Porównując koszty rozwiązań metodą kąta pn. -zach. i najmniejszego elementu zauważymy, że wynik nie jest najgorszy (ani najlepszy). W odróżnieniu od metody kąta pn. - zach. w metodzie najmniejszego elementu bierzemy pod uwagę macierz kosztów. 52