Meccanica del Punto Materiale Corsi di Laurea in

Meccanica del Punto Materiale Corsi di Laurea in: Fisica e Astrofisica, Tecnologie Fisiche Innovative Anno Accademico 2006 -2007 Lezioni ( docente: Savrié Mauro ) mercoledì : 10: 30 -12: 30 aula F 4 venerdì : 10: 30 -12: 30 aula F 4 Esercitazioni ( docente: Zavattini Guido ) giovedì : 10: 30 -12: 30 aula F 4 Le copie delle presenti trasparenze saranno disponibili in rete all’ indirizzo: www. fe. infn. it/~savrie. . cercare. . . ma occhio agli errori! Inizio lezioni: 10 gennaio 2007 Fine lezioni: 17 marzo 2007 Esami: - prova scritta: esito positivo: p >18/30 valida solo per l’ Anno Accademico sconsigliato: 15/30<p<18/30 - prova orale : A. A. 2006 -07 non ammesso: p<15/30 esito positivo: p>18/30 Prof. Savrié Mauro Università di Ferrara www. fe. infn. it/~savrie 1

CALENDARIO ESAMI ANNO ACCADEMICO 2006 -2007 CORSO DI LAUREA IN FISICA ED ASTROFISICA _ Riforma (trimestri) MATERIA DI INSEGNAMENTO: meccanica del punto materiale PRIMA SESSIONE Dal 4 dicembre 2006 al 5 gennaio 2007 Scritto Orale Giorno Ora 4 Dicembre 9: 00 Giorno Ora 6 Dicembre 9: 00 20 Dicembre 9: 00 SECONDA SESSIONE Dal 20 marzo 2006 al 31 marzo 2006 Scritto Orale Giorno Ora 19 marzo 9: 00 21 marzo 9: 00 26 marzo 9: 00 28 marzo 9: 00 TERZA SESSIONE Dal 16 giugno 2006 al 29 luglio 2006 Scritto Orale Giorno Ora 18 giugno 9: 00 20 giugno 9: 00 2 luglio 9: 00 4 luglio 9: 00 QUARTA SESSIONE Dal 1 settembre 2006 a inizio lezioni a. a. 2006/07 Scritto Orale Giorno 17 settembre Ora 9: 00 Giorno 19 settembre Ora 9: 00 COMMISSIONE GIUDICATRICE Professore ufficiale della materia: Prof. Savrié Mauro Secondo membro: Dr. Guido Zavattini SUPPLENTI: Dr. Michelle Thompson Stancari Prof. Luppi Eleonora, Dr. Baldini Wander, Dr. Barbara Ricci IL PRESIDENTE DELLA COMMISSIONE D’ESAME Savrié Mauro A. A. 2006 -07 Prof. Savrié Mauro Università di Ferrara www. fe. infn. it/~savrie 2

Principali Argomenti Trattati • I vettori • Cinematica del punto materiale; • Dinamica del punto ed equazioni del moto; • Lavoro, energia e sistemi conservativi; • Dinamica dei sistemi • Urti e reazioni; • Dinamica rotazionale • La gravità e le forze centrali Testi consigliati: 1) 2) 3) 4) A. A. 2006 -07 Mazzoldi, Nigro, Voci: FISICA (1° vol. ) ed. Edi. SES Napoli Mencuccini, Silvestrini: Fisica I Meccanica Termodinamica ed. Liguori H. C. Ohanian: FISICA ( 1° vol. ) ed. Zanichelli Bologna B. Borgia, M. Grilli Fisica Meccanica-Termodinamica Ed. CISU Prof. Savrié Mauro Università di Ferrara www. fe. infn. it/~savrie 3

Introduzione perturbazioni modelli correlazioni qualitative procedure e conv. numeri ed unità Grandezze fisiche: (definiz. opeativa) relazioni matematiche tra le grandezze fisiche rilevanti correlazioni quantitative tabelle, grafici, formule . . . vediamo se è giusta la teoria calcolo. . . “teorico” Metodo induttivo osservazioni leggi Metodo deduttivo quantificazione delle grandezze A. A. 2006 -07 Prof. Savrié Mauro Università di Ferrara www. fe. infn. it/~savrie 4

Grandezze fisiche: Una grandezza fisica è definita se si è indicato un modo operativo per misurarla e la misura è riproducibile misura diretta indiretta Confronto (eguaglianza) Somma (multipli e sottomultipli) Unità di misura ( campione unitario ) Misura di grandezze diverse ma legate a quella in esame da leggi note→sistemi di unità di misura 1. Criterio di confronto tra coppie grandezze omogenee A e B permette di stabilire se A>=<B 2. Definire un criterio di somma permette di definire i multipli ed i sottomultipli di grandezze fisiche : A*n, A: n 3. Definizione delle grandezze campione sistemi di unità di misura A. A. 2006 -07 Prof. Savrié Mauro Università di Ferrara www. fe. infn. it/~savrie 5

Possiamo definire operativamente le Grandezze Fisiche Grandezza fisica: tutto ciò che, essendo suscettibile di variare quantitativamente, può essere sottoposto ad un processo di misura definito e ripetibile Esempi: - lunghezze, aree …. . Scelta iniziale dell’ unità di misura: ARBITRARIA : unità fondamentali poi, per le leggi generali in cui compare: LEGGI SEMPLICI La ripetibilità della misura comporta: 1. Esistenza di errori (casuali) 2. Necessità di un sistema di unita’ di misura A. A. 2006 -07 Prof. Savrié Mauro Università di Ferrara www. fe. infn. it/~savrie 6

Sistemi di unità di misura. . . prendiamo un caso interessante: L’ AREA Una volta scelta l’unità di misura (ad es. di forma rettangolare), se applichiamo il “criterio del confronto”, ogni altra area sarà caratterizzata dalla misura “A”. Se misuriamo più superfici rettangolari, vediamo che: Costante che dipende dalle unità di misura delle lunghezze e aree N. B. L’area di qualunque figura piana è proporzionale al prodotto di 2 lunghezze. In pratica: in modo che le leggi siano le più semplici, si sceglie come area unitaria l’ area del rettangolo di lati a=b=1. In questo modo si ha che: ma in generale, scelto il m 2 come U. d. M. per ogni altra figura piana: Fattore di forma Triangolo: f=1/2 Cerchio: f=π. . N. B. La scelta dell’ unità di misura è, in principio, arbitraria! A. A. 2006 -07 Prof. Savrié Mauro Università di Ferrara www. fe. infn. it/~savrie 7

Se scegliessimo come unità di misura il cerchio di raggio unitario: Area rettangolo= a*b/π In ogni caso dobbiamo constatare che : L’area di qualunque figura piana, a meno del fattore di forma (numero puro), risulta essere sempre proporzionale al prodotto di 2 lunghezze: Tale relazione è detta: EQUAZIONE DIMENSIONALE Altri esempi di grandezze derivate dalla lunghezza • angolo (gradi, radianti) A. A. 2006 -07 Prof. Savrié Mauro Università di Ferrara www. fe. infn. it/~savrie 8

θ (GRADI) θ (RAD) 0° 0 30° π/6 45° π/4 90° π/2 180° π • angolo solido (sterandianti) Area normale al raggio: Area non normale al raggio: Angolo solido infinitesimo: Dimensioni Leggi fisiche A. A. 2006 -07 Omogeneità dimensionale delle equazioni della Fisica Grandezze Prof. Savrié Mauro Università di Ferrara www. fe. infn. it/~savrie Sistemi fondamentali 9

Sistemi di unità di misura A) IL SISTEMA INTERNAZIONALE Unità usate: Metro: m Chilogrammo: Kg secondo: s 1) Metro: - campione di Sèvres (Pt/Ir): circonferenza polare della Terra=4 107 m - l. Kr(arancio) : 1 m=1650763. 73 l. Kr - dal 1983 : 1 m= distanza percorsa dalla luce in t=(299792458)-1 s 2) Secondo: - giorno solare medio: 1 s=(86400)-1 g. s. m. - frequenza di oscillazione dell’atomo di cesio 1 s 9192631770 oscillazioni (coincide con il secondo solare medio dell’ anno 1900) 3) Chilogrammo: - campione di Sèvres - Campione atomico: 1 u. m. a. =1. 66 10 -27 Kg B) IL SISTEMA C. G. S. - centimetro: cm - grammo: g - secondo: s A. A. 2006 -07 Prof. Savrié Mauro Università di Ferrara www. fe. infn. it/~savrie 10

Ancora sulle dimensioni Una volta definito un insieme di grandezze ogni altra può essere definita in maniera indiretta. Le grandezze dell’ insieme ( arbitrarie ) si dicono fondamentali. Le operazioni algebriche definiscono una grandezza derivata D in base alle fondamentali Fi implicano relazioni specifiche tra le dimensioni note come: equazioni dimensionali. Per ogni relazione del tipo: vale: Le dimensioni “fondamentali” del S. I sono L, M, t. Per cui: A. A. 2006 -07 Prof. Savrié Mauro Università di Ferrara www. fe. infn. it/~savrie 11

q Le dimensioni non definiscono una grndezza fisica (g. f. ) q le dimensioni di una g. f. sono sempre esprimibili come prodotto dimensionale delle g. f. fondamentali del sistema di unità di misura (s. u. m. ) usato, elevate a potenza con esponente reale (±) q è possibile sommare solo g. f. omogenee q g. f. diverse possono essere combinate solo con operazioni di moltiplicazione ed elevamento a potenza con esponente adimensionale q g. f. o loro funzioni possono essere legate da uguaglianze in una legge fisica solo se i due termini hanno le stesse dimensioni. Il segno di eguaglianza non è vero solo da un punto di vista matematico introduzione di coefficienti e costanti “dimensionali”il cui valore dipende dal s. u. m. scelto. q Per essere usate come argomenti di funzioni, le grandezze fisiche devono essere combinate in modo adimensionale. Infatti qualsiasi funzione può essere sviluppata in serie di potenze: Per cui x deve essere adimensionale!!!!!!!!!! A. A. 2006 -07 Prof. Savrié Mauro Università di Ferrara www. fe. infn. it/~savrie 12

ESEMPIO pratico di uso di eq. dimensionali: Un pendolo è costituito da una pallina di piombo di massa m appesa ad un filo di lunghezza l. Usando un cronometro si è misurato il periodo T. NOTIAMO CHE: - pendolo fisicamente caratterizzato solo da: m, l - moto del pendolo caratterizzato solo da: g costante adimensionale IPOTESI: DA CUI: K = costante da determinare. . . sperimentalmente!! A. A. 2006 -07 finqui 100107 Prof. Savrié Mauro Università di Ferrara www. fe. infn. it/~savrie 13

ALCUNI NUMERI UTILI Tempi tipici (circa): Età dell’ Universo 4 1017 s Età del nostro Sistema Solare 1. 4 1017 s Età delle scritture più antiche 1. 6 1011 s Durata media della vita dell’ uomo 2. 2 109 s Tempo luce da Terra a prima stella 1. 4 108 s Rivoluzione della Terra 3. 15 107 s Rotazione terrestre 8. 6 104 s Vita media di un neutrone libero 9. 2 102 s Tempo luce dal Sole alla Terra 5 102 s Tempo luce dalla Luna alla Terra 1. 3 s Periodo onda sonora 3. 8 10 -3 s ( do 3, 261. 6 Hz) Vita media del π+ 2. 6 10 -8 s Periodo di un’ onda luminosa ~2 10 -15 s Periodo raggi X ~3 10 -19 s Vita della particella più instabile ~10 -24 s A. A. 2006 -07 Prof. Savrié Mauro Università di Ferrara www. fe. infn. it/~savrie 14

DISTANZE: Distanza Universo osservabile ~1026 m Distanza galassia di Andromeda 2. 1 1022 m Diametro della Galassia 7. 6 1020 m Distanza Proxima Centauri 4. 0 1016 m Distanza Terra-Sole 1. 5 1011 m Diametro Terra 6. 4 106 m Lungezza di una radio-onda (AM) ~3 102 m Lunghezza d’ onda della luce ~5 10 -7 m Diametro di un virus piccolo ~2 10 -8 m Diametro di un atomo ~1 10 -10 m Diametro di un nucleo di ferro 8 10 -15 m Diametro del protone 2 10 -15 m MASSE: Universo osservabile 1055 Kg Galassia 4 1041 Kg Sole 2 1030 Kg Terra 6 1024 Kg Automobile ~1. 5 103 Kg Goccia di pioggia 2 10 -6 Kg Virus più piccolo 4 10 -21 Kg Atomo di ferro 9. 5 10 -26 Kg Protone 1. 7 10 -27 Kg Elettrone 9. 1 10 -31 Kg A. A. 2006 -07 Prof. Savrié Mauro Università di Ferrara www. fe. infn. it/~savrie 15

Sistemi di unità di misura IL SISTEMA INTERNAZIONALE (completo) Grandezza fisica Unità di misura Simbolo lunghezza metro m massa chilogrammo Kg tempo secondo s Corrente ampere A Temperatura Kelvin K Intensità luminosa candela Cd Quantità si sostanza mole mol prefisso abbr. fattor e prefiss abbr. fattore o deca da 10 deci d 10 -1 etto h 102 centi c 10 -2 kilo K 103 milli m 10 -3 mega M 106 micro μ 10 -6 giga G 109 nano n 10 -9 tera T 1012 pico p 10 -12 peta P 1015 femto f 10 -15 exa E 1018 atto a 10 -18 A. A. 2006 -07 Prof. Savrié Mauro Università di Ferrara www. fe. infn. it/~savrie 16

IL SISTEMA INTERNAZIONALE (completo) Grandezza fisica Unità di misura Simbolo lunghezza metro m massa chilogrammo Kg tempo secondo s Corrente ampere A Temperatura Kelvin K Intensità luminosa candela Cd Quantità si sostanza mole mol prefisso abbr. fattor e prefiss abbr. fattore o deca da 10 deci d 10 -1 etto h 102 centi c 10 -2 kilo K 103 milli m 10 -3 mega M 106 micro μ 10 -6 giga G 109 nano n 10 -9 tera T 1012 pico p 10 -12 peta P 1015 femto f 10 -15 exa E 1018 atto a 10 -18 zetta Z 1021 zepto z 10 -21 Yotta Y 1024 yocto a 10 -24 A. A. 2006 -07 Prof. Savrié Mauro Università di Ferrara www. fe. infn. it/~savrie 17

Cambiamento dell’ unità di misura Data un grandezza q con misura {q}, dimensione Q ed unità di misura [Q], per convertirla in una nuova unità di misura [Q]*si scrive: da cui: c=rapporto tra due unità con la stessa dimensione. N. B. 1 ft = 12 in In pratica è esattamente come moltiplicare per una quantità unitaria che “cancelli “la vecchia unità: A. A. 2006 -07 Prof. Savrié Mauro Università di Ferrara www. fe. infn. it/~savrie 18

Cambiamento di unità di misura Esempio: L’ acqua ha densità : ρ=1. 00 103 Kg/m 3. La si esprima in grammi al centimetro cubo: E analogamente: Oppure si moltiplica per “rapporti unitari”: A. A. 2006 -07 Prof. Savrié Mauro Università di Ferrara www. fe. infn. it/~savrie 19

Le grandezze fisiche sono in generale: variabili Le relazioni tra grandezze fisiche ( le variabili ) sono sabilite da funzioni : ü Univoche: se ad ogni x corrisponde un y ü Biunivoche: se sono univoche e ad ogni y corrisponde un solo x (ad un sol valore) Le funzioni si rappresentano mediante: Ø tabelle: Tempo ( data e ora) temperatura 1/1 3: 00 -0, 1 °C 1/1 6: 00 -1, 0 °C 1/1 9: 00 +2, 9 °C 1/1 12: 00 +7, 1 °C 1/1 15: 00 +9, 3 °C 1/1 18: 00 +6, 1 °C 1/1 21: 00 +3, 8 °C 1/1 14: 00 +0, 8 °C A. A. 2006 -07 Prof. Savrié Mauro Università di Ferrara www. fe. infn. it/~savrie 20

Ø grafici: Ø si definisce un sistema di assi coordinati Ø si definisce un origine ed un orientamento Ø si definisce una unità di misura per ogni asse Dall’ esempio di prima: Ma non si hanno informazioni nei “ punti intermedi” A. A. 2006 -07 Prof. Savrié Mauro Università di Ferrara www. fe. infn. it/~savrie 21

Si ricorre alla “interpolazione dei dati” La curva interpolante si sceglie in base a: • criteri fisici • criteri statistici A. A. 2006 -07 Prof. Savrié Mauro Università di Ferrara www. fe. infn. it/~savrie 22

Classificazione delle grandezze fisiche SCALARI: identificate da numero e unità di misura VETTORIALI: identificate da: - numero ( modulo ) e u. d. m. - direzione - verso - punto di applicazione? ( eventualmente ) Simboli usati: • vettore: • modulo del vettore: VETTORE TIPICO: spostamento Da cui deriva la definizione: ogni grandezza caratterizzata da modulo, direzione e verso è un vettore se gode delle stesse proprietà del vettore spostamento (che vedremo poi) Rappresentazione: mediante segmenti orientati la cui lunghezza, secondo una certa unità, è proporzionale al modulo e la cui direzione è la direzione del vettore. A. A. 2006 -07 Prof. Savrié Mauro Università di Ferrara www. fe. infn. it/~savrie 23

PROPRIETÀ DEI VETTORI 1) SOMMA • regola del parallelogramma (golden rule!) • commutatività • associatività • elemento neutro VETTORE NULLO Non è indispensabile costruire Il parallelogramma! A. A. 2006 -07 che modulo e direzione ha? Prof. Savrié Mauro Università di Ferrara www. fe. infn. it/~savrie 24

Proprietà commutativa Proprietà associativa: si ha che: dati 3 vettori tali che: 2) DIFFERENZA dati 2 vettori: la loro differenza è un vettore: . . . e vale? Nella differenza ci aiuta il prodotto. . . A. A. 2006 -07 Prof. Savrié Mauro Università di Ferrara www. fe. infn. it/~savrie tale che: quanto 25

2) PRODOTTO: A) Per uno scalare È un vettore!!!!! • ha la stessa direzione • ha lo stesso verso ( se m>0) • ha modulo: Proprietà: • distributiva • elemento neutro Vettore unitario (versore : ) vettore opposto Vettore nullo Differenza di vettori N. B. Segue dalla definizione di moltiplicazione di vettore per uno scalare che ogni vettore può essere rappresentato come: Vettore unitario (versore) con la stessa direzione e lo stesso verso di se a è>0 A. A. 2006 -07 Prof. Savrié Mauro Università di Ferrara www. fe. infn. it/~savrie 26

In generale: si indica E tutti i versori sono ovviamente adimensionali!! I versori sono relazionabili non solo con i vettori ma con qualsiasi direzione o curva nello spazio: Versore dell’ asse coordinato x Versore della normale ad una curva Versore della tangente ad una curva Importanti relazioni lineari vettoriali • siano dati tre vettori complanari e non collineari, uno qualunque può essere espresso come combinazione lineare degli altri due: scalari che determinano univocamente il vettore • per estensione: siano dati tre vettori ognuno dei quali non complanare con altri due, ogni altro vettore è tale che: • data una direzione l nello spazio ed un vettore un angolo φ con essa: che forma Proiezione del vettore lungo la direzione l In generale: A. A. 2006 -07 Prof. Savrié Mauro Università di Ferrara www. fe. infn. it/~savrie 27

B) Scalare È uno scalare!!!!! Proprietà: commutativa distributiva 1. 2. condizione di ortogonalità: modulo di un vettore: C) vettoriale È un vettore!!! • direzione ortogonale al piano di • verso della vite destrorsa A. A. 2006 -07 Prof. Savrié Mauro Università di Ferrara www. fe. infn. it/~savrie e 28

Proprietà: • è anticommutativo • condizione di parallelismo • la moltiplicazione per uno scalare • proprietà distributiva: D) Misto è un vettore o uno scalare? ? A. A. 2006 -07 finqui 110107 Prof. Savrié Mauro Università di Ferrara www. fe. infn. it/~savrie 29

Cosa rappresenta? In particolare: Il prodotto vettoriale non cambia per trasformazione ciclica dei suoi fattori: C B A rotazioni positive: è numericamente uguale al volume rotazioni negative: è uguale al volume cambiato di segno A. A. 2006 -07 Prof. Savrié Mauro Università di Ferrara www. fe. infn. it/~savrie 30

VETTORI QUALCHE ALTRA PROPRIETA’ 1) non è definito. . univocamente La divisione per un vettore è un’operazione non definita 2) A. A. 2006 -07 Prof. Savrié Mauro Università di Ferrara www. fe. infn. it/~savrie 31

Problema 0 Una nave si muove per 2. 89 miglia in direzione 65° N e successivamente per 1. 83 miglia in direzione S. Trovare lo spostamento totale effettuato dalla nave. soluzione: N 65° O γ E β per il teorema di Carnot: C 2 =A 2 +B 2+2 ABcosγ C=(8. 35+3. 35 -4. 45)1/2=2. 69 miglia per il teorema dei seni: senβ/B=senγ/C β=38. 1° A. A. 2006 -07 Prof. Savrié Mauro Università di Ferrara www. fe. infn. it/~savrie 32

CINEMATICA STUDIA IL MOTO DEGLI OGGETTI INDIPENDENTEMENTE DALLE CAUSE CHE LO PRODUCONO Definisce alcuni concetti fondamentali: 1) EVENTO • fenomeno che accade in un certo punto dello spazio ed in un certo istante di tempo; • spazio e tempo caratterizzano un evento. 2) PUNTO MATERIALE • sistema fisico che concorre alla realizzazione di un evento e le cui dimensioni sono piccole rispetto alle altre in gioco; oppure sono piccole rispetto alla precisione con cui se ne conosce la posizione. • è un concetto relativo. A. A. 2006 -07 Prof. Savrié Mauro Università di Ferrara www. fe. infn. it/~savrie 33

La cinematica si occupa del moto dei sistemi descrivendone la configurazione (posizione) al passare del tempo. Dobbiamo definire operativamente il concetto di: posizione SISTEMI DI RIFERIMENTO Perchè la posizione di un punto materiale ha senso solo se definita rispetto alla posizione di altri corpi presi come riferimento Si assume che lo spazio sia: • tridimensionale • euclideo • omogeneo • isotropo Si assume che il tempo sia : • assoluto Come si rappresenta lo spazio? A. A. 2006 -07 Prof. Savrié Mauro Università di Ferrara www. fe. infn. it/~savrie 34

y Py P(x, y) assi coordinati nel piano: 2 D y o x x Px P(x, y) py y o px x z assi coordinati cartesiani nello spazio ( sistema levogiro o destrorso) 3 D P(x, y, z) z o assi coordinati cartesiani nel piano: 2 D y x versori degli assi: y x Componenti di un vettore in una certa direzione A. A. 2006 -07 Prof. Savrié Mauro Università di Ferrara www. fe. infn. it/~savrie 35

Gradi di libertà: numero di parametri indipendenti necessari per definire la posizione di un sistema fisico. Punto materiale libero nello spazio : 3 gradi di libertà Punto materiale libero nel piano: 2 gradi di libertà Ma non coincidono con le dimensioni dello spazio!!! 1. sistema di N punti materiali liberi nello spazio 2. sbarra rigida di lunghezza l libera nello spazio 3. sistema rigido mobile nello spazio 4. punto in moto su una circonferenza di raggio dato Vettori componenti Componenti cartesiane del vettore Componenti del vettore In coordinate polari A. A. 2006 -07 Prof. Savrié Mauro Università di Ferrara www. fe. infn. it/~savrie 36

Rappresentazione cartesiana dei vettori COSENI DIRETTORI Ogni vettore puo’essere espresso mediante le sue componenti cartesiane: Consideriamo il caso di un vettore unitario: Coseni direttori Se calcoliamo il modulo: La somma dei quadrati dei coseni direttori di una retta ( vettore ) vale 1. A. A. 2006 -07 Prof. Savrié Mauro Università di Ferrara www. fe. infn. it/~savrie 37

Dato un sistema di coordinate cartesiane: In due dimensioni: y qy o P qx In tre dimensioni: x In particolare per i “versori degli assi”: A. A. 2006 -07 Prof. Savrié Mauro Università di Ferrara www. fe. infn. it/~savrie 38

Prodotto scalare E’ uno scalare ! In termini di versori: A. A. 2006 -07 Prof. Savrié Mauro Università di Ferrara www. fe. infn. it/~savrie 39

Notiamo che, se ruotiamo il sistema di coordinate, cambiano le componenti cartesiane dei vettori ( per ora è intuitivo!) ma non cambia la quantità (prodotto scalare): che per questo viene detta: Invariante Scalare La condizione di ortogonalitàè implicita in: In generale: A. A. 2006 -07 Prof. Savrié Mauro Università di Ferrara www. fe. infn. it/~savrie 40

Prodotto Vettoriale E’ un vettore ! y x o z In termini di versori: N. B. Nel determinare la direzione del prodotto vettoriale abbiamo fatto riferimento ala direzione di rotazione dal primo al secondo vettore. Per il vettore spostamento no. L’ orientazione è data dalla natura stessa del vettore: polare o vero. Nel primo caso parliamo di vettori assiali o pseudovettori che cambiano di segno passando da sistemi destrorsi a sispemi sinistrorsi contrariamente ai polari che rimangonio invariati. A. A. 2006 -07 finqui 12 Gennaio Prof. Savrié Mauro Università di Ferrara 2007 www. fe. infn. it/~savrie 41

è cond. di parallelismo: In generale: A. A. 2006 -07 Prof. Savrié Mauro Università di Ferrara www. fe. infn. it/~savrie 42

Prodotto misto E’ uno scalare (triplo prodotto scalare): y x Volume del parallelepipedo di lati A, B, C z Proprietà: In termini di componenti: A. A. 2006 -07 Prof. Savrié Mauro Università di Ferrara www. fe. infn. it/~savrie 43

Triplo prodotto vettoriale E’ un vettore: In quale piano giace il vettore ? Nel piano dei vettori B e C Possiamo quindi scrivre: E si può dimostrare (ma non lo facciamo) che: Dove vallgono le seguenti relazioni: A. A. 2006 -07 Prof. Savrié Mauro Università di Ferrara www. fe. infn. it/~savrie 44

Derivata di un vettore Sia dato un vettore dipendente dal tempo: e supponiamo che il sistema di riferimento non ruoti. In un intervallo di tempo t il vettore subisce un incremento a Che cosa significa? • Qual’è la velocità di variazione del vettore nel tempo? • Cosa implica che il sistema di riferimento non ruota? A. A. 2006 -07 Prof. Savrié Mauro Università di Ferrara www. fe. infn. it/~savrie 45

La seguente notazione è molto usata: Ad esempio, nel caso del vettore posizione: Valgono tutte le regole delle derivate alcuni esempi interessanti: 1) A. A. 2006 -07 Prof. Savrié Mauro Università di Ferrara www. fe. infn. it/~savrie 46

2) 3) Dato che: A. A. 2006 -07 Prof. Savrié Mauro Università di Ferrara www. fe. infn. it/~savrie 47

Ancora sulle grandezze vettoriali Avevamo detto: e’ vettoriale una grandezza con modulo, direzione e verso e che si trasforma come il vettore posizione Abbiamo visto: Ma ci son anche : le proprietà matematiche le trasformazioni Come cambiano le componenti (cartesiane) del vettore posizione ( quindi di un vettore generico ) se passiamo ad un nuovo sistema di riferimento (x’, y’, z’) ruotato rispetto al primo? In due dimensioni. . . per iniziare y’ z=z’ θ o=o’ P(x, y, z) z y’ α y y X’ x y α x x x’ A. A. 2006 -07 Prof. Savrié Mauro Università di Ferrara www. fe. infn. it/~savrie 48

y’ y X’ Che in forma matriciale: Cosa significa? che in generale può essere scritta: Tali regole di trasformazione valgono per ogni altro vettore e definiscono le proprietà vettoriali A. A. 2006 -07 Prof. Savrié Mauro Università di Ferrara www. fe. infn. it/~savrie 49

Altri sistemi di coordinate 1. Cilindriche z P(r, φ, h) h o r y φ x 2. Polari Sferiche z P(r, θ, φ) θ r h o y φ x A. A. 2006 -07 Prof. Savrié Mauro Università di Ferrara www. fe. infn. it/~savrie 50

LA LEGGE ORARIA DEL PUNTO MATERIALE Il moto di un punto materiale è noto se è nota la sua posizione in funzione del tempo cioè la sua: legge oraria La legge oraria (vettoriale) è sempre equivalente a tre equazioni scalari cerchiamo di analizzare il caso seguente: A. A. 2006 -07 Prof. Savrié Mauro Università di Ferrara www. fe. infn. it/~savrie 51

cinematica in una dimensione La notazione vettoriale è superflua velocità intensiva media: dimensionalmente: unità e simboli: La velocità intensiva media: 1. è uno scalare 2. non è associata al concetto di direzione 3. è definita positiva A. A. 2006 -07 Prof. Savrié Mauro Università di Ferrara www. fe. infn. it/~savrie 52

Esempio La Terra si muove attorno al Sole descrivendo un’ orbita circolare (? ) di raggio r=1. 5 108 Km. Qaunto vale la velocità intensiva media della Terra (rispetto al Sole)? T=1 anno=3. 15 107 s s=2π*1. 5 108 Km = 2π*1. 5 1011 m Metri al secondo m/s Chilometri all’ ora Km/h 1 3. 6 0. 2778 1 0. 4470 1. 609 1 mi=5280 feet=63. 36 103 in=1760 yd=1609 m 1 NM=1 M=6076. 1155 feet=1. 150774 mi=2025. 372 yd=1852 m A. A. 2006 -07 Prof. Savrié Mauro Università di Ferrara www. fe. infn. it/~savrie 53

Alcune velocità: Luce 3. 0 108 ms-1 Recessione di una quasar 2. 7 108 ms-1 Elettrone attorno al nucleo 2. 2 106 ms-1 Terra attorno al Sole 3. 0 104 ms-1 Aereo supersonico 7. 1 102 ms-1 Rotazione della Terra( equatore) 4. 6 102 ms-1 Moto casuale delle molecole di aria 4. 5 102 ms-1 suono in aria 3. 3 102 ms-1 Ghepardo 28 ms-1 Uomo (max) 11 ms-1 chiocciola 10 -3 ms-1 ghiacciaio 10 -6 ms-1 Velocità di crescita dei capelli 3 10 -9 ms-1 Deriva dei continenti 10 -9 ms-1 A. A. 2006 -07 Prof. Savrié Mauro Università di Ferrara www. fe. infn. it/~savrie 54

Velocità media ( in 1 dimensione!! ): x(m) p 2 200 accelerazione frenata p 1 100 10 ta 20 non è la traiettoria! arresto linea di universo tf t(s) Spostamento ossia variazione di posizione Intervallo di tempo Dimensionalmente: Unità e simboli: Cosa rappresenta • fisicamente: il valore di velocità costante che mi permette di effettuare lo stesso spostamento nello stesso tempo • matematicamente: . . . . A. A. 2006 -07 Prof. Savrié Mauro Università di Ferrara www. fe. infn. it/~savrie 55

x(m) 200 p 2 x 2 p 1 x 1 100 t 1 t 2 t(s) dove m = Esempio 2 Un atleta corre i 100 m su una pista rettilinea in 11 s e poi ritorna comminando al punto di partenza in 80 s. Quanto valgono la velocità media e la velocità intensiva media nei primi 11 s, nei successivi 80 s e per tutto il percorso? x 100 80 60 40 20 0 10 30 50 70 90 t Ma: A. A. 2006 -07 Prof. Savrié Mauro Università di Ferrara www. fe. infn. it/~savrie 56

Velocità istantanea ( in 1 dimensione!! ): ~ Linea universo del punto materiale Dimensionalmente: Unità e simboli: Quale è l’interpretazione geometrica della velocità scalare istantanea? A. A. 2006 -07 Prof. Savrié Mauro Università di Ferrara www. fe. infn. it/~savrie 57

Valutazione analitica un punto materiale si muove con legge oraria data da: x(m) accelerazione arresto frenata 200 10 A. A. 2006 -07 Prof. Savrié Mauro Università di Ferrara www. fe. infn. it/~savrie 14 t(s) 58

In modo analogo posso definire la: Accelerazione media ( in 1 dimensione!! ): P 1(v 1, t 1) P 2(v 2, t 2) Dimensionalmente: Unità e simboli: A. A. 2006 -07 Prof. Savrié Mauro Università di Ferrara www. fe. infn. it/~savrie 59

Accelerazione istantanea( 1 dimensione ): Per cui: Se riprendiamo il nostro esempio: analiticamente: A. A. 2006 -07 Prof. Savrié Mauro Università di Ferrara www. fe. infn. it/~savrie 60

Alcune accelerazioni Protoni accelerari a FNAL 9 1013 ms-2 supercentrifuga 3 106 ms-2 Palla da baseball 3 104 ms-2 Pallone da calcio 3 103 ms-2 automobile a 100 Km/h contro ost. fisso 103 ms-2 Paracadutista all’ pertura del paracadute 3. 2 102 ms-2. Accelerazione di gravità sul Sole 2. 7 102 ms-2 Aviogetto in risalita dopo una picchiata 80 ms-2 Perdita di coscienza dell’ uomo 70 ms-2 Accelerazione di gravità sulla Terra 9. 8 ms-2 Frenatura di un’ automobile 8 ms-2 Accelerazione di gravità sulla Luna 1. 7 ms-2 Rotazione della Terra ( Equatore) 3. 4 10 -2 ms-2 Rivoluzione della Terra 0. 6 10 -2 ms-2 A. A. 2006 -07 finqui 17 Gennaio 2007 Prof. Savrié Mauro Università di Ferrara www. fe. infn. it/~savrie 61

A. A. 2006 -07 Prof. Savrié Mauro Università di Ferrara www. fe. infn. it/~savrie 62

A. A. 2006 -07 Prof. Savrié Mauro Università di Ferrara www. fe. infn. it/~savrie 63

A. A. 2006 -07 Prof. Savrié Mauro Università di Ferrara www. fe. infn. it/~savrie 64

Cinematica in 3 D In una dimensione: In tre dimensioni: Le interpretiamo come le componenti di un vettore Nel caso sia un vettore velocità: y p p’ o A. A. 2006 -07 z Prof. Savrié Mauro Università di Ferrara www. fe. infn. it/~savrie x 65

Passando al limite per t→ 0 Diventano la velocità istantanea: per le proprietà delle derivate: • È dimensionalmente corretta? • Che ipotesi si sono fatte sui versori ? • Derivare un vettore equivale a derivare tre funzioni scalari A. A. 2006 -07 Prof. Savrié Mauro Università di Ferrara www. fe. infn. it/~savrie 66

In realtà sia la velocità che l’ accelerazione (come la posizione e lo spostamento) sono grandezze vettoriali ed in 3 dimensioni: 1. velocità vettoriale media 2. velocità vettoriale istantanea 3. accelerazione vettoriale media 4. accelerazione vettoriale istantanea come si ricavano i moduli? A. A. 2006 -07 Prof. Savrié Mauro Università di Ferrara www. fe. infn. it/~savrie 67

Esempio 1 un punto materiale si muove lungo una circonferenza di raggio R nel piano xy con centro nell’origine percorrendo archi uguali in tempi uguali. Scrivere la legge oraria in coordinate polari e cartesiane Moto nel piano xy: Moto circolare: Archi di circonferenza proporzionali al tempo: Equazione oraria: (lunghezza di) arco percorso nell’ unità di tempo angolo descritto nell’ unità di tempo quale unità? quale dimensione? A. A. 2006 -07 Prof. Savrié Mauro Università di Ferrara www. fe. infn. it/~savrie 68

La trasformazione a coordinate cartesiane: Quanti gradi di libertà ha il sistema? Cosa succede eliminando il tempo? Quadriamo, sommiamo ed otteniamo la: cosa rappresenta ? : L’equazione della traiettoria Il moto è periodico (di periodo T): si ripete con le stesse modalità passando dalla stessa posizione negli istanti: In un tempo T infatti l’ angolo varia di 2π ( a v=cost. !!!): A. A. 2006 -07 Prof. Savrié Mauro Università di Ferrara www. fe. infn. it/~savrie 69

Esempio 3 Da: H. Ohanian (come molti altri) Un’ auto entra in una curva a 90° con una velocità costante con modulo V=25 m/s ed Esce dopo 6 s. Quanto vale la sua accelerazione media in questo intervallo di tempo? y o A. A. 2006 -07 x Prof. Savrié Mauro Università di Ferrara www. fe. infn. it/~savrie 70

Problema cinematico inverso Date la velocità e l’ accelerazione trovare le leggi orarie. Sia dato un punto che si muove di moto con accelerazione costante. In t=0 siano: E se la velocità cresce in modo lineare con il tempo Cos’è Ma non è vera anche se corretta dal punto di vista dimensionale PERCHE’? La velocità, se considero un moto accelerato, è variabile con il tempo. E’ più ragionevole quindi usare la velocità media: A. A. 2006 -07 Prof. Savrié Mauro Università di Ferrara www. fe. infn. it/~savrie 71

Con la velocità media: E questa relazione è corretta Ma il vero problema consiste nella ricerca di una funzione “generale” di cui si conosce la derivata: Cos’è? Ma la soluzione più generale è: Vediamo un caso più difficile: In pratica il problema consiste nella ricerca della funzione primitiva ( integrazione ) A. A. 2006 -07 Prof. Savrié Mauro Università di Ferrara www. fe. infn. it/~savrie 72

A. A. 2006 -07 Prof. Savrié Mauro Università di Ferrara www. fe. infn. it/~savrie 73

Abbiamo quindi un procedimento generale per risolvere il problema cinematico inverso Costante ignota. . Ma se sono definiti l’ istante e la posizione iniziali. . . Dove in generale: Se la velocità è costante ( moto rettilineo uniforme ): A. A. 2006 -07 Prof. Savrié Mauro Università di Ferrara www. fe. infn. it/~savrie 74

Analogamente per i moti uniformemente accelerati: Possiamo scrivere altre relazioni interessanti: Se l’accelerazione è costante: A. A. 2006 -07 Prof. Savrié Mauro Università di Ferrara www. fe. infn. it/~savrie 75

In generale: La ricerca della primitiva stabilisce che se una F(x) è primitiva della f(x) allora anche qualunque altra funzione del tipo G(x)=F(x)+c è primitiva della f(x) e possiamo scrivere: A. A. 2006 -07 Prof. Savrié Mauro Università di Ferrara www. fe. infn. it/~savrie 76

. . . e nel nostro caso, se supponiamo di conoscere l’accelerazione in funzione del tempo (. . . adesso in tre diensioni ): Le tre costanti non sono determinabili dal sistema. Se deriviamo le velocità otteniamo le stesse accelerazioni per qualunque valore delle costanti. Le vi sono funzioni del tempo: cosa succede se poniamo t=t 0 ( es. t 0 =0) ? Condizioni iniziali A. A. 2006 -07 Prof. Savrié Mauro Università di Ferrara www. fe. infn. it/~savrie 77

ESEMPIO 4 Un punto materiale si muove con accelerazione data da: Se all’ istante t=5 s abbiamo misurato le velocità abbiamo trovato (in metri al secondo): ed Poniamo t=5 s Integrando ancora: A. A. 2006 -07 Prof. Savrié Mauro Università di Ferrara www. fe. infn. it/~savrie 78

E ancora per t= 5 s: COSA CI MANCA PER AVERE LA SOLUZIONE? e se all’ istante t=5 s abbiamo misurato le posizioni ed abbiamo, per esempio, trovato (in metri): E l’ equazione del moto completa si scrive: A. A. 2006 -07 finqui 18 Gennaio 2007 Prof. Savrié Mauro Università di Ferrara www. fe. infn. it/~savrie 79

Riassumiamo le più importanti “formule” in una dimensione: . . . e in tre dimensioni: Ognuna delle quali vale tre relazioni scalari (tranne l’ ultima!) A. A. 2006 -07 Prof. Savrié Mauro Università di Ferrara www. fe. infn. it/~savrie 80

Equazioni del moto per la caduta libera y o x z Le formule del moto uniformemente accelerato si trasformano in: Con: A. A. 2006 -07 Prof. Savrié Mauro Università di Ferrara www. fe. infn. it/~savrie 81

z ESEMPIO 5 v 0 P α z 0 = h y o A che distanza il punto P cade dall’ origine? Quanto tempo rimane in volo? x L’ accelerazione del punto P è: Condizioni iniziali Integrando le eq. del moto: Aggiungendo le condiz. Iniz. Se integriamo ancora: A. A. 2006 -07 Prof. Savrié Mauro Università di Ferrara www. fe. infn. it/~savrie 82

E ricaviamo la legge oraria: Quali caratteristiche ha il moto? Come possiamo determinare la traiettoria? Come troviamo la “gittata”? cosa indicano i segni + e – nella eq. della gittata? ? cos’è e quanto vale il “tempo di volo”? qual’è la quota massima raggiunta? A. A. 2006 -07 Prof. Savrié Mauro Università di Ferrara www. fe. infn. it/~savrie 83

Esempio 7 Un punto materiale si muove secondo la legge oraria: Cosa possiamo dire del moto ? Si trovino: 1) velocità media nell’ intervallo di tempo tra t 1=1 s e t 2=5 s e la velocità istantanea, in modulo ed argomento, in t=4 s. 2) l’ accelerazione ; dipende da t non dipende da t A. A. 2006 -07 Prof. Savrié Mauro Università di Ferrara www. fe. infn. it/~savrie 84

N. B. La velocità non è costante né in modulo né in argomento (direzione)!! Infatti: Per l’accelerazione: N. B. L’ accelerazione è costante in modulo e in argomento (direzione)!! Infatti: A. A. 2006 -07 Prof. Savrié Mauro Università di Ferrara www. fe. infn. it/~savrie 85

Variazione di g con la latitudine luogo latitudine g Quito (Ecuador) 0° Nord 9. 780 ms-2 Madras ( India) 13° Nord 9. 783 ms-2 Hong Kong (Cina) 22° Nord 9. 788 ms-2 Cairo (Egitto) 30° Nord 9. 793 ms-2 New York (USA) 41° Nord 9. 803 ms-2 Londra ( Inghilterra) 51° Nord 9. 811 ms-2 Oslo (Norvegia) 60° Nord 9. 819 ms-2 Murmansk (Russia) 69° Nord 9. 825 ms-2 Spitsbergen 80° Nord 9. 831 ms-2 Polo Nord 90° Nord 9. 832 ms-2 A. A. 2006 -07 Prof. Savrié Mauro Università di Ferrara www. fe. infn. it/~savrie 86

(ancora) il caso (? ) del moto circolare uniforme Che avevamo già iniziato a vedere L’equazione del moto: 1. In forma vettoriale: 2. In forma scalare (coodinate cartesiane): 3. Nel moto circolare: In rappresentazione polare: In rappresentazione cartesiana: A. A. 2006 -07 Prof. Savrié Mauro Università di Ferrara www. fe. infn. it/~savrie finqui 19 Gennaio 2007 87

Condizioni del moto ( circolare uniforme): V: LT-1 R: L V/R: LT-1 L-1 = T-1 Dimensionalmente: y p’ s p x o unità di misura: A. A. 2006 -07 rad. /s Prof. Savrié Mauro Università di Ferrara www. fe. infn. it/~savrie s-1 88

Le equazioni del moto diventano allora: Per la velocità (vettoriale) istantanea: Ed il suo modulo: La velocità è costante ? , perchè? E le derivate delle Vx, Vy, Vz sono diverse da 0 ? , Perchè? A. A. 2006 -07 Prof. Savrié Mauro Università di Ferrara www. fe. infn. it/~savrie 89

y p’ p o x Accelerazione del moto: Quali sono la direzione ed il verso dell’ accelerazione? y p o A. A. 2006 -07 Prof. Savrié Mauro Università di Ferrara www. fe. infn. it/~savrie x 90

Supponiamo che la velocità sia costante (in modulo): (ma è del tutto generale) y p’ θ o A. A. 2006 -07 α Δθ p=p’ p θ β x Prof. Savrié Mauro Università di Ferrara www. fe. infn. it/~savrie 91

quindi compattando in notazione vettoriale: E’ generale!!! dato un vettore v di modulo costante e che ruota con velocità angolare costante ω, la sua derivata è un vettore di modulo pari a ωv e ruotato di π/2 nel senso in cui ruota v Se la velocità varia in direzione e modulo: modulo Ortogonale a V Parallelo a V Ed anche questo risultato è generale!!! La derivata di un vettore v può essere scritta come somma di due termini vettoriali: un termine parallelo al versore del vettore , avente come modulo la derivata dv/dt e l’ altro ortogonale a v ( nel senso in cui ruota v avente come modulo ωv ( dove ω è la velocità angolare istantanea con cui il vettore ruota). A. A. 2006 -07 Prof. Savrié Mauro Università di Ferrara www. fe. infn. it/~savrie 92

N. B. Sappiamo che possiamo scrivere per la velocità: velocità Versore tangente alla traiettoria nello stesso verso di Proviamo ad esprimerlo in altro modo: ricordiamocela: è importante!!!! A. A. 2006 -07 Prof. Savrié Mauro Università di Ferrara www. fe. infn. it/~savrie 93

l’accelerazione N. B. anche per l’accelerazione: Accelerazione tangenziale Accelerazione normale (radiale) 1. 2. 3. Se la velocità cresce con il tempo la accelerazione ha la stessa direzione di Se la velocità diminuisce con il tempo la accelerazione ha verso opposto a quello di e quindi a quello della velocità Se il moto è uniforme l’ accelerazione tangenziale è nulla. Cerchiamo di comprendere le proprietrà del’accelerazione Radiale (detta anche normale): A. A. 2006 -07 finqui 24 Prof. Savrié Mauro Università di Ferrara Gennaio www. fe. infn. it/~savrie 2007 94

Curvatura: Raggio di curvatura: Centro di curvatura istantaneo A. A. 2006 -07 Prof. Savrié Mauro Università di Ferrara www. fe. infn. it/~savrie 95

Coordinate cartesiane ( moto piano!!!): Coordinate polari: visto prima Ma sappiamo che: A. A. 2006 -07 Prof. Savrié Mauro Università di Ferrara www. fe. infn. it/~savrie 96

Come nel moto rettilineo uniforme: Se ω=costante: Se ω≠cost. : A. A. 2006 -07 Per Prof. Savrié Mauro valgono le stesse formule che per Università di Ferrara www. fe. infn. it/~savrie ……. 97

Esempio 8 Calcolare la velocità e l’ accelerazione di un punto materiale mobile su una triettoria circolare, nota che sia la legge oraria s=s(t) ( ascissa curvilinea). y p o s=s(t) x versore tangente alla traiettoria e ortogonale a r nel senso in cui r ruota Dato che R è costante: A. A. 2006 -07 Prof. Savrié Mauro Università di Ferrara www. fe. infn. it/~savrie 98

L’ angolo e’ una quantita’ vettoriale? A. A. 2006 -07 La velocità Prof. Savrié Mauro Università di Ferrara angolare e’ una quantita’ www. fe. infn. it/~savrie 99 vettoriale?

Per il moto circolare uniforme abbiamo visto che: y è chiaro cos’è? p(x, y) s o’ x o z Come rappresentiamo ω? vediamolo in 3 d anche se è un moto piano: ω R p(x, y, z) γ o y x se il moto è vario(v≠cost. ) abbiamo già visto che: e se il modulo della velocità è costante: formula di Poisson A. A. 2006 -07 Prof. Savrié Mauro Università di Ferrara www. fe. infn. it/~savrie 100

abbiamo visto che per il moto circolare: Per cui avremo che: y p(x, y) o s o’ x se il moto è circolare uniforme: visto prima! z ω p(x, y, z) e poichè α=0 → ω=costante: o y x A. A. 2006 -07 Prof. Savrié Mauro Università di Ferrara www. fe. infn. it/~savrie 101

A. A. 2006 -07 Prof. Savrié Mauro Università di Ferrara www. fe. infn. it/~savrie 102

Esempio 9 Tutti I punti sulla terra si muovono con la stessa w l =latitudine r =CA=raggio terrestre 6. 35 106 m R=r cos l A. A. 2006 -07 Prof. Savrié Mauro Università di Ferrara www. fe. infn. it/~savrie 103

I MOTI RELATIVI z osservatore A Velocita’ rispetto ad O B o y x Le velocità di B relativa a A e di A relativa ad B sono: Dove: Ne segue che: N. B. Le velocità di A relativa a B e di B relativa ad A sono uguali ed opposte A. A. 2006 -07 Prof. Savrié Mauro Università di Ferrara www. fe. infn. it/~savrie 104

Derivando le posizioni relative: Ed usando le definizioni di velocità: N. B. le velocità relative sono la differenza delle velocità che A e B hanno rispetto all’ osservatore “fisso” in O ( sistema di riferimento o, x, y, z) Esempio 9. 1 Un aeroplano A viaggia in direzione N alla velocita’ di 300 mi h-1 rispetto al suolo. Un altro, B, viaggia in direzione N 60 W alla velocita’ di 200 mi h-1. trovare le velocita’ relative. α=60° A. A. 2006 -07 Prof. Savrié Mauro Università di Ferrara www. fe. infn. it/~savrie 105

Dati due sistemi in moto traslazionale relativo uniforme con velocità : y A y‘ in t=t 0 O≡O’ vtr o x o’ x’ z z’ x≡x’ Che relazione esiste tra la posizione di A rispetto a O (XYZ) e quella di A rispetto a O’(X’Y’Z’)? A. A. 2006 -07 Prof. Savrié Mauro Università di Ferrara www. fe. infn. it/~savrie 106

Ricaviamo così le: Trasformazioni di Galileo Ma in generale : N. B. Si suppone t=t’ ( il tempo è assoluto!!) Derivando l’ equazione vettoriale: Velocità di trascinamento proiettando l’ equazione precedente sugli assi di riferimento: Se c’è trascinamento Solo lungo x ( ad es. ) Se A si muove in una particolare direzione ( es. Y): Vx=Vz=0; Vy=V Ma se deriviamo ancora (l’ eq. vettoriale): L’ accelerazione è invariante per A. A. 2006 -07 Prof. Galileo! Savrié Mauro( assi paralleli 107 trasformazioni di Università di Ferrara in traslazione uniforme relativa) www. fe. infn. it/~savrie finqui 26 Gennaio 2007

La relazione che lega il vettore posizione di un punto materiale nel sistema “fisso” ed in quello “mobile” è quindi data da: che è sempre vera!!!! e per le componenti cartesiane si legge: ma questo implica che }? moltiplichiamola scalarmente per: A. A. 2006 -07 Prof. Savrié Mauro Università di Ferrara www. fe. infn. it/~savrie 108

Ovvero: matrice di trasformazione nel caso di assi cartesiani paralleli: E solo in questo caso vale che: N. B. Una relazione di eguaglianza tra vettori implica l’ eguaglianza tra le rispettive rappresentazioni cartesiane solo rispetto ad uno stesso sistema di riferimento Le componenti del vettore al I membro di un’ eq. ne sono uguali alle componenti omologhe del vettore al II membro purchè sia il I che il II membro siano ottenuti da proiezioni sugli assi di uno stesso sistema di riferimento!!! A. A. 2006 -07 Prof. Savrié Mauro Università di Ferrara www. fe. infn. it/~savrie 109

ovviamente vale anche per le velocità: e per le accelerazioni: N. B. Tutto questo vale per i sistemi di riferimento in moto relativo rettilineo ed uniforme Cosa succede in caso di moti relativi rotazionali ? . . . . lo vedemo più avanti! A. A. 2006 -07 rivisto finqui 20. 12. 07 Prof. Savrié Mauro Università di Ferrara www. fe. infn. it/~savrie 110

Seguono trasparenze di bakup A. A. 2006 -07 Prof. Savrié Mauro Università di Ferrara www. fe. infn. it/~savrie 111

CIFRE SIGNIFICATIVE ED ARROTONDAMENTI A) CIFRE SIGNIFICATIVE • • Il digit diverso da zero più a sinistra si chiama: digit più significativo Se non c’è il punto decimale, il digit diverso da zero più a destra si chiama: digit meno significativo Se c’è il punto decimale, il digit più a destra si chiama: digit meno significativo anche se è zero; I digit compresi tra quello più significativo e quello meno significativo si chiamano: digit significativi (cifre significative) B) OPERAZIONI • Moltiplicazione e divisione: • Somma e sottrazione: Si conserva un numero di cifre significative del numero con precisione minore si conserva un numero di cifre decimali quante quelle del numero che ha meno cifre decimali Eleminando le cifre non significative si fanno gli: C) ARROTONDAMENTI • • Troncare il numero al numero di cifre significative voluto e trattare quelle in eccesso come una frazione decimale Se la frazione è maggiore di 0. 5 si incrementa il digit meno significativo Se la frazione è minore di 0. 5 non si incrementa Se la frazione è 0. 5 si incrementa solo se ( ad esempio) è dispari A. A. 2006 -07 Prof. Savrié Mauro Università di Ferrara www. fe. infn. it/~savrie 112

Esempi 1. 2 h 7 m 11. 0 s si può scrivere: Ø 7. 6310 103 s al decimo di secondo Ø 7. 631 103 s al secondo Ø 7. 63 103 s alla decina di secondi 2. 7. 63 103*7. 6 103 =5. 7988 107 si deve scrivere come: 5. 8 107 3. 7. 631 103 + 7. 6 103 = 15. 231 103 si deve scrivere come: 15. 2 103 I seguenti numeri hanno tutti 4 cifre significative: • 1234. ; 123400 ; 123. 4 • 1001 ; 1000. ; 10. 10 ; 0. 0001010 ; 100. 0018 ha 2 c. s. (1. 8 10 -3) 0. 001800 ha 4 c. s. (1. 800 10 -3) 4. 5. 6. 15. 7 cm è misurata al decimo di centimetro e significa che è compresa tra 15. 65 cm e 15. 75 cm. ( 3 cifre sign. ) 15. 70 cm è misurata al centesimo di centimetro ed è compresa tra 15. 699 e 15. 701 ( 4 cifre sign. ) 3. 4062 Kg è una massa misurata al decimo di grammo ed ha 5 cifre significative. 9800 N è misurato al Newton( 4 cifre sign. ) 9. 80 103 è misurato alla diecina di N 9. 8 103 è misurato al centinaio di N A. A. 2006 -07 Prof. e. Savrié Mauro 0. 001, 0. 00010, 0. 00100 1. 001 hanno rispettivamente 113 1, 2, 3 e 4 cifre sign. Università di Ferrara www. fe. infn. it/~savrie

moltiplicazione e divisione: il risultato deve essere arrotondato in modo da contenere lo stesso numero di cifre significative quante ce ne sono nel fattore noto con la minore precisione. Attenzione: come si arrotonda? 1. 1 ha due cifre significative ma una differenza di 1 sulla cifra meno significativa comporta una precisione dell’ 1% in 1. 1 e diel 10% in 9. 3 si arrotonda a: in questo modo la variazione di 1 sulla cifra meno significativa del risultato ha lo stesso livello di precisione di una variazione di 1 nel numero meno preciso dell’ operazione. funzione trigonometriche? il valore delle funzioni deve avere lo stesso numero di cifre significative dei loro argomenti: A. A. 2006 -07 Prof. Savrié Mauro Università di Ferrara www. fe. infn. it/~savrie 114

Precisione ed Accuratezza ØAccuratezza valuta quanto le misure effettuate sono prossime al valore vero della grandezza da misurare ØPrecisione valuta quanto esattamente le misure vengono effettuate, indipendentemente dal loro valore e significato (riproducibilità della misura). Misura accurata Misura precisa Valore vero Valore misurato Misura accurata e precisa A. A. 2006 -07 Prof. Savrié Mauro Università di Ferrara www. fe. infn. it/~savrie 115

# h(mm) t(s*10 -2) 1 100 15 2 200 22 3 300 25 4 400 29 5 500 32 6 600 35 7 700 38 8 800 40 9 900 43 10 1000 45 11 1100 47 12 1200 49 13 1300 51 14 1400 53 15 1500 55 16 1600 57 17 1700 59 18 1800 61 19 1900 62 20 2000 64 #=numero d’ ordine della misura h=altezza del punto di misura t=tempo trascorso dall’ istante di riferimento K=costante della legge Dall’ interpolazione dei dati si vede che la legge è quadratica : Se ripetiamo l’ esperimento ( h=cost. ) a differenti latitudini, si ha che : Siamo “autorizzati” a fare l’ ipotesi che: A. A. 2006 -07 Prof. Savrié Mauro Università di Ferrara www. fe. infn. it/~savrie 116

# 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 k 1. 45 1. 54 1. 43 1. 44 1. 42 1. 40 1. 42 1. 41 1. 40 1. 41 1. 42 1. 40 1. 41 <t> 14. 3 20. 3 24. 8 28. 3 32. 0 35. 1 37. 9 40. 5 43. 0 45. 3 47. 5 49. 6 51. 7 53. 6 55. 5 57. 3 59. 1 60. 8 62. 4 64. 1 Δt 0. 7 1. 7 0. 2 0. 7 0. 0 -0. 1 -0. 5 0. 0 -0. 3 -0. 5 -0. 6 -0. 7 -0. 6 -0. 5 -0. 3 -0. 1 0. 2 -0. 4 -0. 1 Possiamo ipotizzare che il fenomeno sia “regolato” da una legge del tipo ( forma analitica ): E infatti vedremo che: A. A. 2006 -07 Prof. Savrié Mauro Università di Ferrara www. fe. infn. it/~savrie 117

Si ricorre alla “interpolazione dei dati” La curva interpolante si sceglie in base a: • criteri fisici • criteri statistici Un esempio interessante (? ) interrutore h A. A. 2006 -07 cronometro Prof. Savrié Mauro Università di Ferrara www. fe. infn. it/~savrie 118

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E se il vettore è un vettore unitario (versore di un Vettore ) come cambia con il tempo? Sia il versore di un vettore Se in un tempo t ruota di un angolo φ piccolo: Versore del vettore Quando φ→ 0 E per la definizione di derivata: è importante: è il modulo della velocità angolare A. A. 2006 -07 Prof. Savrié Mauro Università di Ferrara www. fe. infn. it/~savrie 120