Cinematica del punto materiale Studia il moto dei

Cinematica del punto materiale • Studia il moto dei corpi senza riferimento alle sue cause • Il moto è completamente determinato se e` nota la posizione del corpo in funzione del tempo • Necessita` di un sistema di riferimento per determinare la posizione • Diversi tipi di sistemi di riferimento: – Cartesiano (2 e 3 dimensioni): x, y, z – Polare (2 dimensioni): r, f – Sferico (3 dimensioni): r, q, f 1

Cinematica • Ogni coordinata è funzione del tempo legge oraria: – – x(t), y(t), z(t) r(t), f(t), z(t) r(t), q(t), f(t) • Traiettoria: è il luogo dei punti dello spazio occupati dal corpo nei successivi istanti di tempo – dà informazioni di tipo geometrico, e si scrive ad esempio y=f(x) – tratteremo traiettorie semplici (rettilinee, paraboliche circolari) 2

Attenzione: non confondere traiettoria e legge oraria • Il moto dei pianeti nel campo di gravita` del sole si svolge lungo la seguente traiettoria o orbita (1 a legge di Keplero): • Questa è una funzione r(f) e rappresenta una relazione puramente geometrica tra le coordinate r e f: quale? • Nulla sappiamo sulle leggi orarie r(t), f(t) 3 • Lo studio delle leggi orarie si chiama cinematica

Cinematica • Le grandezze fisiche necessarie per lo studio della cinematica sono – Distanza – s, l, x, r… – Tempo - t – Velocità - v – Accelerazione – a • Partiamo da… a e t 4

Accelerazione • L’accelerazione, in generale, è un vettore che varia nel tempo: • Unità di misura: ms-2 • Variazioni valgono sia in modulo che in direzione • Nel caso in cui sia costante, il moto è detto uniformemente accelerato • Nel caso in cui sia 0, il moto è detto rettilineo uniforme • Qual è il significato dell’accelerazione? 5

Esempio: corpo che cade • Un corpo che cade si muove verso il basso (asse y) con un’accelerazione costante |g| =9. 8 m/s 2 • Il moto del grave è dunque uniformemente accelerato • Se prendiamo un sistema di riferimento con l’asse y rivolto verso l’alto, l’accelerazione a ha componente lungo quest’asse negativa: ay=-g y 6

Accelerazione • Dall’esperienza comune, si dice che un corpo ha una certa accelerazione quando la sua velocità varia nel tempo • Nel caso del corpo che cade, esso aumenta sempre di più la sua velocità; mentre, se sale, la sua velocità diminuisce sempre di più • Ma, a parità di tempo, quanto valgono le variazioni di velocità? O altrimenti detto, le variazioni di velocità sono uguali o diverse nel tempo? • Definiamo accelerazione il vettore dato da: 7

Attenzione a: • Non confondervi tra accelerazione e variazione di velocità • Velocità non è proporzionale ad accelerazione • Accelerazione non è proporzionale al «tempo» , né al «tempo» al quadrato • Accelerazione non è proporzionale a «spazio» 8

Relazioni tra velocità e accelerazione • Poichè: • Si ha: 9

Moto uniformemente accelerato • Accelerazione è costante • La velocità varia linearmente, cioè a parità di tempo, le variazioni di velocità sono uguali • A seconda del sistema di riferimento scelto, la velocità avrà component che saranno una retta con pendenza positiva o negativa y 10

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Velocita` • Ma cos’è la velocità? • Dall’esperienza comune, una persona va più o meno veloce a seconda della distanza che percorre in un tempo fissato. • Considerando intervalli di tempo piccoli • ovvero la derivata della posizione rispetto al tempo • Se v = costante, il moto (rettilineo) e` detto uniforme 12

Relazioni tra posizione e velocità • Poichè: • La relazione inversa è • Utile se è nota la dipendenza di v da t • x-x 0 rappresenta lo spostamento complessivo, cioe` la somma algebrica degli spostamenti e non lo spazio percorso che e` invece la somma del modulo degli spostamenti 13

Moto rettilineo uniforme • Se v è costante nel tempo • Lo spostamento del corpo è rappresentato da una retta la cui pendenza dipende dal moto: se il corpo si avvicina all’origine (x = 0, arbitraria) essa è negativa, se si allontanta è positiva 14

Pendenza positiva = allontanamento 15

Moto in avvicinamento, pendenza negativa 16

Determinare la velocità del moto la cui legge oraria è riprodotta in figura 17

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Moto uniformemente accelerato • Accelerazione è costante • Ricaviamo la legge oraria: 19

Esempio • Se il corpo che cade da altezza h con velocità iniziale nulla: x 0=h, v 0=0, t 0=0 si ha: • Il corpo raggiunge il suolo, cioè il punto x=0, al tempo: con velocità: 20

Grafici del moto di una pallina che rimbalza sul pavimento x v t t 21

Grafici del moto di una pallina che rimbalza sul pavimento Fare uno schizzo del grafico a(t)

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Moto su piano inclinato x’ y x gcosa g a a y’ -gsina 24

Cinematica del moto su piano inclinato x y x’ a a g gsinq gcosa -gsina -gcosq y’ q 25

Attenzione a: • Accelerazione in salita e discesa: uguali o diverse? • Velocità non ha stesso andamento accelerazione • Traiettoria rettilinea • Legge oraria diversa da traiettoria 26

Discesa su piano inclinato x 0 gsinq h d q y 27

Salita su piano inclinato 0 h v 0 d q y 28

Velocità massima se (non) si vuole che corpo vada oltre sommità 0 h v 0 d q y 29

Salita/discesa su piano inclinato 30

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Equazione del moto • Come abbiamo visto, per conoscere le coordinate di un corpo in funzione del tempo è necessario risolvere un’equazione, detta equazione del moto • L’equazione del moto ha come incognite le accelerazioni: • Occorre risalire dall’ accelerazione alla posizione 33

Soluzione di equazioni differenziali • Si dice integrare l’equazione come sinonimo di risolvere • Risolvere un’equazione differenziale significa abbassarne il grado di derivazione mediante operazioni di integrazione agenti sulle funzioni incognite o su funzioni di queste funzioni 34

Accelerazione come funzione della posizione • Sia: a = a(x) cioè in funzione della posizione • Moltiplichiamo ambo i membri dell’equazione per la velocita`: • Integriamo ambo i membri rispetto a t: • Poichè 35

Accelerazione come funzione della posizione • Risolvendo l’integrale si ha: • cioè 36

Un esempio importante • Nel caso più semplice: • Avremo allora: • Risolvendo rispetto a v: 37

Un esempio importante • Ma: • Risolvendo per separazione di variabili: 38

Un esempio importante • Risolvendo avremo: 39

Moto armonico • A l’ampiezza • w la pulsazione • f la fase iniziale • Poiche’ la funzione seno e` periodica, a due istanti di tempo t 1, t 2, che soddisfano la relazione seguente • corrispondera` uno stesso valore della coordinata 40

Moto armonico • Quando n assume il valore minimo (n=1), i due istanti differiscono per un tempo T detto periodo • E dunque: • La frequenza è l’inverso del periodo: 41

Misura di oscillazioni 42

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Esercizi • 1) Un corpo puntiforme viene lanciato verticalmente verso l’alto con velocita` iniziale v 0 dall’altezza h 1 – Trovare a) il tempo in cui raggiunge la massima altezza; b) la massima altezza; c) il tempo in cui arriva a terra; d) la velocita` con cui arriva a terra • 2) Un corpo si muove con una velocita` data da nell’intervallo di tempo Dt tra t 1 e t 2 – Trovare a) la velocita` media in Dt; b) l’accelerazione media in Dt; c) lo spazio percorso in Dt 45

Esercizi • 3) dato un moto armonico – Determinare le costanti A e f in funzione delle condizioni iniziali • 4) mostrare che le seguenti implicazioni sono false 46

Esercizi 47