2 1 FORZE ED EQUILIBRIO A cura di

2. 1 – FORZE ED EQUILIBRIO A cura di Mimmo CORRADO

Equilibrio di un punto materiale Lo studio dell’equilibrio del punto materiale è il caso più semplice di studio delle condizioni di equilibrio di un corpo. Il punto materiale è: un modello semplificato del corpo; si utilizza quando il corpo ha dimensioni trascurabili rispetto al fenomeno da studiare; è un punto adimensionale dotato di massa. Esempio: un pianeta, pur avendo dimensioni elevate, può essere considerato, in un problema di meccanica celeste, un punto materiale. 2

Equilibrio su un piano orizzontale Un vincolo è un corpo che impedisce a un altro corpo di compiere alcuni movimenti. La reazione vincolare è la forza che il vincolo esercita sul corpo. Nel caso di un oggetto appoggiato su un piano, le forze che agiscono su di esso sono il suo peso e la reazione del piano. In condizioni di equilibrio la risultante delle forze applicate è nulla. 3

4 Equilibrio su un piano inclinato Consideriamo una cassa di massa m posta su un piano inclinato avente altezza h, lunghezza l e che forma un angolo α con il piano orizzontale. La cassa è sottoposta alla forza peso piano. e alla reazione del La forza peso può essere scomposta in due componenti: Ø una perpendicolare al piano bilanciata dalla reazione vincolare del piano; Ø una parallela al piano responsabile del moto. l

5 Equilibrio su un piano inclinato Si dimostra e si verifica sperimentalmente che: l

6 Equilibrio su un piano inclinato Dimostrazione I triangoli ABC e A’B’C’ sono simili. Pertanto: A’C’ : AC = B’C’ : BC P|| : h = P : l Essendo: l si ha:

7 Equilibrio su un piano inclinato In assenza di attrito, attrito per mantenere il corpo in equilibrio è necessario applicare una forza uguale e opposta alla componente della forza peso parallela al piano. l

8 Equilibrio su un piano inclinato In presenza di attrito, attrito il corpo rimane in equilibrio finché la forza di attrito non viene vinta dalla componente della forza peso parallela al piano. In condizioni di equilibrio la risultante delle forze applicate è nulla. l

Equilibrio di un punto materiale Condizione generale di equilibrio di un punto materiale Un punto materiale è in equilibrio se la risultante di tutte le forze a esso applicate è uguale a zero. Viceversa, ogni volta che un corpo è in equilibrio, la risultante delle forze a esso applicate deve essere uguale a zero. 9

Equilibrio di un punto materiale vincolato Un punto materiale vincolato è in equilibrio se la risultante di tutte le forze a esso applicate, comprese tutte le reazioni vincolari, è uguale a zero. 10

Il corpo rigido Non sempre il modello del punto materiale è adatto per rappresentare della realtà. In alcuni casi il modello del corpo rigido è la scelta più appropriata. 11 la Il corpo rigido è un corpo non elastico esteso nelle tre dimensioni dello spazio. Ricordiamo comunque, che si tratta di un modello ideale. Infatti, così come non esistono in natura punti materiali, cioè corpi senza dimensioni ma dotati di massa, non esistono neanche corpi assolutamente rigidi.

Il corpo rigido Ø si studia quando il punto materiale non è adatto a rappresentare la realtà Ø è un corpo esteso e indeformabile (non elastico) Ø è un modello ideale Ø può essere traslato e ruotato intorno a un asse 12

Il corpo rigido 13 Differenze fra punto materiale e corpo rigido Un punto materiale può ovviamente muoversi o rimanere in equilibrio, ma non può ruotare su se stesso (non avendo dimensioni). Un corpo rigido invece può muoversi di moto rettilineo, circolare o altro, e può ruotare intorno a un asse, senza cambiare globalmente la sua posizione nello spazio.

Momento di una forza 14 Momento di una forza Consideriamo il moto di un corpo che può solamente ruotare intorno a un asse fisso, per esempio una porta girevole come quelle dei grandi alberghi. Si ottiene il massimo effetto spingendo la porta il più lontano possibile dal suo asse di rotazione. La porta non ruota, se si applica una forza perpendicolare all'asse di rotazione.

15 Momento di una forza Il momento di una forza rispetto a un punto O è il prodotto fra l’intensità della forza F e il braccio b. Il braccio di una forza è la distanza tra la retta di azione della forza e l’asse di rotazione.

Momento di una forza 16 Momento di una forza Il momento di una forza dipende: Ø dalla forza e dal braccio della forza Ø per convenzione è positivo se causa una rotazione in verso antiorario negativo se causa una rotazione in verso orario Ø si misura in newton per metro (N·m). Nel caso di più forze agenti su uno stesso corpo, si definisce momento risultante, risultante il momento dalla somma algebrica dei momenti agenti.

Momento di una forza 17 Momento di una forza Per svitare i bulloni di una ruota di automobile si utilizza una chiave speciale, il cui scopo è quello di applicare un momento torcente, ai bulloni stessi il più grande possibile.

Momento di una coppia di forze 18 Momento di una coppia di forze La coppia di forze è una coppia di forze parallele di uguale modulo ma verso opposto. Il momento risultante di una coppia di forze è:

Momento di una coppia di forze 19 Momento di una coppia di forze Il momento di una coppia di forze è uguale al prodotto dell'intensità di una delle due forze per il braccio della coppia

Applicazione del momento di una coppia di forze 20 Il pedale della bicicletta Durante la pedalata il ciclista trasmette il movimento delle sue gambe alle ruote della bicicletta. La coppia di forze che si stabilisce (spinta e sollevamento) è un esempio di momento di una coppia di forze Per ottenere il massimo effetto occorre applicare una spinta e un sollevamento perpendicolarmente alla pedivella.

Equilibrio di un corpo rigido 21 Condizione di equilibrio di un corpo rigido Un corpo rigido è in equilibrio se non trasla e non ruota. Ciò si ottiene quando sono contemporaneamente nulli: Ø la risultante di tutte le forze applicate al corpo, comprese le reazioni vincolari e la forza di attrito; Ø il momento risultante dei momenti di tutte le forze applicate al corpo, calcolati rispetto a un punto qualunque.

Equilibrio di un corpo rigido 22 La risultante delle forze applicate a un corpo rigido Due forze si dicono concorrenti se le loro rette di azione si intersecano. Per trovare la forza risultante R occorre: Ø traslare le due forze lungo le loro rette di azione fino al punto di intersezione che rappresenta il punto di applicazione della forza risultante; Ø sommare le due forze con la regola del parallelogramma.

Equilibrio di un corpo rigido La risultante delle forze applicate a un corpo rigido Due forze si dicono concordi se hanno lo stesso verso. Per trovare la forza risultante R occorre: Ø sommare i moduli delle forze; Ø determinare il punto di applicazione P della forza risultante attraverso la proporzione: PA : PB = FB : FA. Il punto di applicazione P è interno al segmento AB. 23

Equilibrio di un corpo rigido La risultante delle forze applicate a un corpo rigido Due forze si dicono discordi se hanno versi opposti. Per trovare la forza risultante R occorre: Ø sottrarre i moduli delle forze (il verso è quello della forza di modulo maggiore); Ø determinare il punto di applicazione P della forza risultante attraverso la proporzione: PA : PB = FB : FA. Il punto di applicazione P è esterno al segmento AB, dalla parte della forza di modulo maggiore. 24

Macchine semplici 25 Macchine semplici Una macchina semplice è uno strumento che permette di equilibrare una forza, detta forza resistente, con un’altra forza, detta forza motrice. Il guadagno di una macchina semplice è il rapporto fra la forza resistente e la forza motrice. Se il guadagno è maggiore di 1 la macchina è vantaggiosa Se il guadagno è minore di 1 la macchina è svantaggiosa

26 Macchine semplici Esempio Il piano inclinato è una macchina vantaggiosa. Infatti, permette di mantenere in equilibrio o di sollevare un corpo con una forza F minore del suo peso P. Se la lunghezza del piano è il doppio dell’altezza il guadagno è pari a 2. Infatti: Applicando una forza F di poco superiore alla metà del peso del corpo è possibile sollevarlo lungo il piano inclinato. l

27 Macchine semplici Leve Una leva è costituita da un'asta rigida in grado di ruotare intorno a un punto fisso, detto fulcro Alle estremità dell’asta agiscono due forze: la forza resistente (forza da vincere o equilibrare) la forza motrice (forza applicata per contrastare la forza resistente) Il sistema è in equilibrio se i momenti delle due forze sono uguali e opposti. Fulcro

Macchine semplici 28 Leve Una leva è vantaggiosa se la forza motrice esercitata è minore della forza resistente (il braccio della forza motrice è più lungo del braccio della forza resistente). Una leva è svantaggiosa se la forza motrice esercitata è maggiore della forza resistente (il braccio della forza motrice è più corto del braccio della forza resistente). Una leva è indifferente se la forza motrice esercitata è uguale della forza resistente (il braccio della forza motrice è uguale al braccio della forza resistente).

29 Macchine semplici Leve Una leva di primo genere è una leva in cui il fulcro è posto tra la forza resistente e la forza motrice. Queste leve possono essere vantaggiose, svantaggiose o indifferenti. Fulcro

Macchine semplici Leve di primo genere 30

31 Macchine semplici Leve Una leva di secondo genere è una leva in cui la forza resistente è tra il fulcro e la forza motrice. Queste leve sono sempre vantaggiose, perchè il braccio della forza resistente è minore del braccio della forza motrice. Fulcro

Macchine semplici Leve di secondo genere 32

Macchine semplici 33 Leve Una leva di terzo genere è una leva in cui la forza motrice è tra il fulcro e la forza resistente. Queste leve sono sempre svantaggiose, perchè il braccio della forza resistente è maggiore del braccio della forza motrice. Fulcro

Macchine semplici Leve di terzo genere 34

Baricentro di un corpo e la stabilità dell’equilibrio Baricentro di un corpo rigido La forza peso applicata a un corpo rigido può essere pensata come la risultante di tutte le forze peso applicate a parti così piccole del corpo da poter essere considerate dei punti materiali. Il punto di applicazione di questa risultante si chiama baricentro o centro di gravità del corpo. G 35

Baricentro di un corpo e la stabilità dell’equilibrio 36 Baricentro di un corpo rigido ll baricentro o centro di gravità di un corpo rigido è quel punto del corpo al quale si può ritenere che sia applicata la forza risultante di tutte le forze peso parallele, applicate a loro volta alle parti piccolissime di materia che compongono il corpo Il corpo è in equilibrio se, oltre alla forza peso, agisce su di esso una forza uguale e opposta (la reazione del vincolo) applicata nel suo centro di gravità. L'equilibrio del corpo rigido si riduce in questo modo all'equilibrio di un punto materiale, il suo baricentro.

Baricentro di un corpo e la stabilità dell’equilibrio Baricentro di un corpo rigido Nei corpi omogenei e dotati di un centro di simmetria il baricentro coincide con il loro centro di simmetria. G G Il baricentro di un corpo rigido non necessariamente appartiene al corpo. 37

Baricentro di un corpo e la stabilità dell’equilibrio Baricentro di un corpo rigido 38

Baricentro di un corpo e la stabilità dell’equilibrio Baricentro di un corpo rigido ll baricentro di un corpo rigido si può determinare sperimentalmente appendendo il corpo successivamente per due punti qualsiasi. G 39

Baricentro di un corpo e la stabilità dell’equilibrio La stabilità dell’equilibrio Appendiamo con un chiodo un oggetto a una parete. Si possono distinguere tipi diversi di equilibrio del corpo: Equilibrio stabile: stabile se l'asta, spostata leggermente dalla posizione di equilibrio, tende a ritornarvi oscillando come un pendolo. Il momento delle forze a essa applicate la riporta verso la posizione di equilibrio. A G 40

41 Baricentro di un corpo e la stabilità dell’equilibrio La stabilità dell’equilibrio Equilibrio instabile: instabile se l'asta, spostata leggermente dalla posizione di equilibrio, tende ad allontanarsene. Il momento delle forze a essa applicate la allontana dalla posizione di equilibrio instabile e tende a riportarla verso la posizione di equilibrio stabile G A

Baricentro di un corpo e la stabilità dell’equilibrio La stabilità dell’equilibrio Equilibrio indifferente: indifferente se l'asta, spostata leggermente dalla posizione di equilibrio, rimane in equilibrio. Il momento delle forze a essa applicate è sempre nullo, qualsiasi sia la posizione dell'asta, perché sia la forza peso sia la reazione vincolare sono applicate direttamente al baricentro. A G 42

Baricentro di un corpo e la stabilità dell’equilibrio 43 La stabilità dell’equilibrio Si può concludere che un corpo vincolato in un punto A: è in equilibrio stabile se il baricentro sta sotto il punto A è in equilibrio instabile se il baricentro sta sopra il punto A è in equilibrio indifferente se il baricentro e il punto A coincidono.

Baricentro di un corpo e la stabilità dell’equilibrio L’equilibrio di un corpo appoggiato Un corpo appoggiato su un piano: è in equilibrio se la retta verticale passante per il suo baricentro interseca la base di appoggio del corpo; si ribalta se la verticale cade fuori della base di appoggio. 44

Macchine semplici 45 La carrucola è una macchina semplice utilizzata per sollevare carichi può essere: fissa • serve solamente a deviare la direzione della forza • è una leva indifferente (guadagno = 1) mobile • è una leva di secondo genere (guadagno = 2) composta (paranco) • è una combinazione di carrucole fisse e mobili può raggiungere guadagni notevoli.

Macchine semplici La carrucola 46