Calcul ou Calculs Formation Cycle 2 Circonscription de

Calcul… ou Calculs? Formation Cycle 2 Circonscription de Meaux Villenoy 19 janvier 2018

Les enjeux : Rapport du CNESCO Permettre à TOUS décideurs, chercheurs, formateurs, enseignants, medias, parents… de mieux appréhender les enquêtes PISA et TIMSS en soulignant leurs apports respectifs et leurs limites éventuelles. Conseil national d’évaluation du système scolaire

Les enjeux : PISA Les élèves entre 15 ans et trois mois et 16 ans et 2 mois Informer les décideurs pour orienter les politiques éducatives Le citoyen doit savoir mobiliser ses connaissances scolaires pour résoudre les problèmes qu’il est susceptible de rencontrer dans « la vie réelle » • La France est en tête pour le déterminisme social à l’école. • Le nombre des élèves en difficulté a progressé depuis 2000 • L’écart se creuse entre les bons élèves et les élèves en difficulté. • 24 % des élèves français sont en difficulté Programme for International Student Assessment

Les enjeux : TIMSS Les élèves qui sont dans leur 4ème ou 8ème année de scolarité Connaître les systèmes éducatifs (mathématiques et sciences) Constitution d’une base de données (chercheurs) S’intéressent aux contenus d’enseignement, à leur présence dans les programmes et aux acquis des élèves par rapport à ces contenus. • 42 % des élèves français ont un niveau faible ou très faible en mathématiques • Ces élèves possèdent, au mieux, certaines connaissances de base mais ne sont pas en mesure de les appliquer dans des situations simples. Trends in international Mathematics and Science Study

Les résultats TIMSS

Les pays les mieux placés • Continuité dans les politiques scolaires • Caractère systématique et cohérent des politiques scolaires • Soutien au travail des enseignants qui ne sont plus isolés dans leur classe • Centration sur la gestion de la difficulté scolaire et la différenciation

Objectifs de formation • Favoriser la conception et la mise en œuvre d’activités régulières et diversifiées pour développer les compétences en calcul. • Développer les gestes professionnels, les outils et les modalités qui permettent d’impliquer les élèves dans leurs

PROGRAMMES Cycle 2 Nombres et calculs La connaissance des nombres se développe en appui sur les quantités et les grandeurs : • Des résolutions de problèmes contextualisés • L’étude de relations internes aux nombres

Analyse d’exercices Facteur de complexité pour l’énoncé ou la consigne Comment l’élève est-il amené à comprendre ce qu’il doit faire ? 3 niveaux Facteur de complexité pour la notion mathématique Facteur de compétences Quelles sont les compétences* en jeu pour réussir la tâche ? (connaissances - concept) Quelle notion mathématique convoquée ? (* au sens large) 3 niveaux 2 niveaux

DES OUTILS, DES SUPPORTS

Cartes Montessori

Réglettes « Cuisenaire »

Des matériels pour jouer au jeu du banquier

Matériel Montessori

La carte d’identité

Représentations des élèves Consigne: Ecris ce qui te vient à l’esprit si je te parle de CALCUL 4 écoles – Juin 2017 Merci à vous qui nous avez accueillis sans réserve

576 élèves du CP au CM 2 21% CP 22% CE 1 17% CM 1 21% CE 2 19%

Du CP… 125 au CM 2 96 111 123 CALCUL MENTAL 2 1 4 5 6 CALCUL EN LIGNE 1 2 2 0 0 Calculatrice 0 0 2 5 8 Tables 1 4 5 1 1 Ardoise 1 0 0

Les opérations du CP au CM 2 CP 12% CM 2 20% CE 1 17% CM 1 21% CE 2 30%

Représentations futurs enseignants Lorsque l’on demande à 178 futurs professeurs des écoles de représenter une multiplication à l’aide d’un dessin : Michel DERUAZ HEP -Professeur formateur, didactiques des mathématiques

PROGRAMMES Cycle 2 Nombres et calculs La connaissance des nombres se développe en appui sur les quantités et les grandeurs : • L’appropriation de stratégies de calcul • Une bonne connaissance des nombres inférieurs à mille et de leurs relations

PROGRAMMES Cycle 2 Les élèves établissent PUIS doivent progressivement mémoriser • des faits numériques : Les élèves s’appuient sur ces connaissances pour développer des procédures de calcul adaptées aux nombres en jeu • des procédures de calculs élémentaires.

Calcul ou Calculs? CALCUL MENTAL Pas de traitement écrit du calcul lui-même, même si le résultat peut être écrit CALCUL POSE Usage d’une technique opératoire CALCULS CALCUL INSTRUMENTE Utilisation d’un abaque, d’un boulier, d’une calculatrice ou d’un tableur CALCUL EN LIGNE Modalité de calcul écrit ou partiellement écrit

Intérêt social du calcul mental Usage du calcul mental dans la vie quotidienne d’un adulte Dans la vie de tous les jours, être performant en calcul mental est fort utile : «…les mathématiques fournissent des outils pour agir, choisir et décider dans la vie

Situations courantes d’utilisation du calcul mental : • Calcul de la monnaie qui doit être rendue (complément à ) • Calcul du nouveau prix après réduction (pourcentage) • Calcul des proportions d’une recette de cuisine (proportionnalité) • Vérification d’une addition au restaurant (calcul approché) • Calcul du prix à l’unité, au Kg, au L (division, calcul approché)

Lien avec les grandeurs et mesures Longueurs, masses : Relation entre mètre et centimètre - conversions (x 100, : 100) Relation entre kilomètre et mètre - conversions (x 1000, : 1000) Relation entre kilogramme et gramme - conversions (x 1000, : 1000) Durées : Relation entre heure et minute -conversions heure minute (x 60, : 60) Monnaie : Relation entre euro et centime d’euro -conversions euros centimes : (x 100, : 100) -rendre la monnaie (complément à…)

Intérêt pédagogique du calcul mental Liens avec le domaine « Nombres et calcul » • numération décimale de position • relation arithmétique entre les nombres • résolution de problèmes • techniques opératoires

Relations arithmétiques entre les nombres La carte d’identité du 8 4+4 ; 2 x 4 ; le double de quatre 7+1 ; 1+7 le nombre « juste après » 7 18 -10 ; 28 -20 ; 38 -30 5 et 3 8 la moitié de 16 ; 16: 2; 2 x…=16 9 -1 2+2+2+2 ; 4 x 2 40: 5 ; 5 x…=40 le nombre « juste avant » 9 10 -2; 2+ … = 10; ce qui manque à 2 pour aller à 10

Les nombres sympathiques Tout nombre dont la somme des chiffres est égale à 9, est un multiple de 9. . 432 --- 4+3+2 = 9 20 637 --- 2+6+3+7 = 18 / 1+8 = 9. . . Et donc un multiple de 3 Si en plus il est pair. . . Ou s’il finit par 5. . .

Les quatre opérations élémentaires • Addition : a + b = c terme (a) + terme (b) = somme (c) • Soustraction : c − b = a terme (c) − terme (b) = différence (a) • Multiplication : a x b = c facteur (a) x facteur (b) = produit (c) • Division euclidienne (entière): a = c x q + r dividende (a) = diviseur (c) x quotient (q) + reste (r) • Division exacte : a : b = a / b = a ÷ b = q

Intérêt pédagogique du calcul mental Liens avec le domaine « Nombres et calcul » • numération décimale de position • relation arithmétique entre les nombres • résolution de problèmes • techniques opératoires

Lien avec la résolution de problèmes Un calcul mental demande : • prise d’informations (nombres, opération); • réflexion et raisonnement ; • choix et mise en œuvre d’une stratégie ; • formulation du résultat. La pratique régulière du calcul mental : • favorise une prise de sens (compréhension de la situation) • contribue à accélérer le processus de reconnaissance du modèle (opération en jeu) dans la résolution de problèmes.

Intérêt pédagogique du calcul en ligne Le calcul en ligne à l’école élémentaire permet d’enseigner et de renforcer les propriétés des opérations. La commutativité L’associativité La distributivité

La commutativité est la propriété d'une opération qui permet de modifier l'ordre des termes sans changer le résultat. ADDITION MULTIPLICATIO N SOUSTRACTION DIVISION OUI a+b=b+a OUI axb=bxa NON a–b≠b–a NON a÷b≠b÷a 8+3 = 3+8 8 x 3 = 3 x 8 8 -3 ≠ 3 -8 8÷ 3 ≠ 3÷ 8

La commutativité de l’addition Michel DERUAZ HEP -Professeur formateur, didactiques des mathématiques

La commutativité de la multiplication Le résultat est le même mathématiquement parlant. Néanmoins, dans la réalité, la constitution des ensembles est différente. C’est ce qui pose problème aux élèves dans la conceptualisation.

L'associativité est la propriété d'une opération qui permet de modifier l'ordre des calculs sans modifier le résultat de l'opération. (9+4) +2 = 9+ (4+2) (9 x 4) x 2 = 9 x (4 x 2) (9 -4) -2 ≠ 9 -(4 -2) (9÷ 4) ÷ 2 ≠ 9÷ (4÷ 2)

La distributivité est la propriété d'une opération qui permet de distribuer une autre opération sur les termes du calcul ADDITION MULTIPLICATION SOUSTRACTION DIVISION OUI sur l’addition ax (b+c) = (axb) + (axc) Oui sur l’addition (b+c) ÷ a = (b÷a) + (c÷a) 5 x (8+3) = (5 x 8) + (5 x 3) (9+6) ÷ 3 = (9÷ 3) + (6÷ 3) NON OUI sur la soustraction ax (b-c) = (axb) - (axc) Oui sur soustraction (b-c) ÷ a = (b÷a) - (c÷a) 5 x (8 -3) = (5 x 8) - (5 x 3) (9 -6) ÷ 3 = (9÷ 3) - (6÷ 3)

L'élément neutre nombre qui ne modifie pas le résultat d'une opération. ADDITION MULTIPLICATION SOUSTRACTION DIVISION OUI : 0 a+0 = 0+a = a OUI : 1 ax 1 = 1 xa = a SANS L'élément absorbant nombre qui fait que le résultat est toujours de 0.

Recherche de procédures Calcul multiplicatif : Calculer 12 × 25 Calcul soustractif : Calculer 31 - 18 Calcul additif : Calculer 46 + 17 1. Recherche individuelle de 2 procédures 2. Mise en commun par 2 3. Recherche des propriétés des nombres et des opérations mises en jeu

Calcul multiplicatif - 12 X 25 La décomposition multiplicative et l’associativité 12 × 25 = (3 × 4) × 25 = 3 x (4 x 25) = 3 x 100 12 x 25 = 12 x (100 ÷ 4) = (12 ÷ 4) x 100 = 3 x 100 La décomposition multiplicative des deux facteurs et l’associativité 12 × 25 = (3 × 4) × (5 x 5) = 3 x (4 x 5) x 5 = 3 x (20 x 5) A partir du Nombre au cycle 3 Apprentissages numériques, SCEREN

Calcul multiplicatif - 12 X 25 La décomposition additive de l’un des deux facteurs et la distributivité de la multiplication par rapport à l’addition 12 × 25 = (10 + 2) × 25 = (10 × 25) + (2 × 25) 12 × 25 = 12 × (20 + 5) = (12 × 20) + (12 × 5) La décomposition additive des deux facteurs et la double distributivité de la multiplication par rapport à l’addition 12 × 25 = (10 + 2) × (20 + 5) = (10 × 20) + (2 × 20) + (10 × 5) + (2 × 5)

Calcul soustractif 31 -18 Passages à la dizaine : plusieurs stratégies envisagées Jalonnement : Calcul d’un écart en partant du nombre inférieur : de 18 à 20 –> de 20 à 30 – de 30 à 31 : 2+10+1 Décomposition : le plus petit terme est décomposé 31 – 18 = 31 - (1 + 10 + 7) = 31 - 10 – 7 A partir du Calcul mental au quotidien cycles 2 et 3, François Boule, SCEREN

Calcul soustractif 31 -18 Pivotement : rotation autour d’un nombre rond 31 -18= (31 -20) +2 = 11+2 Décalage : translation pour atteindre un nombre rond « c’est comme 30 -17 »

Calcul additif 46+17 Pivotement ( à la recherche du nombre rond) Décomposition soustractive 46 + (20 – 3) = (46+20) -3 = 66 - 3 Décomposition additive pour passer à la dizaine supérieure : 46 + (4 + 13) = 50 + 13 (43 + 3) + 17 = 43 + 20

Calcul additif 46+17 Décomposition additive et associativité (40 + 6) + 17 = 40 +(6+17) = 40 + 23 46 + (10 + 7) = (46 + 10) +7 = 56 + 7 (40 + 6) + (10 + 7) = (40+10) + (6+7) = 50 + 13 Décomposition faisant apparaître un double : 46 + (6 + 11) = 52 + 11 Décomposition faisant apparaître 5 : (45 + 1) + (5 + 12) = 50 + 13

Structurer les résultats « Il est plus facile de mémoriser un ensemble de résultats qui sont structurés, qui ont du lien entre eux, qu’un ensemble de résultats qui sont tous isolés les uns des autres » Roland Charnay, professeur de mathématiques en IUFM • Disposer de la connaissance de la commutativité permet une économie de 50% de mémorisation. Connaître 6 x 7, c’est connaître 7 x 6 • Etre capable de raisonner sur la différence entre 7 x 6 et 7 x 7 permet de retrouver plus facilement un résultat non mémorisé (7 x 7). • Disposer de résultats particuliers : doubles, carrés…

Construire Les résultats 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1+1 1+2 1+3 1+4 1+5 1+6 1+7 1+8 1+9 2+1 2+2 2+3 2+4 2+5 2+6 2+7 2+8 3+1 3+2 3+3 3+4 3+5 3+6 3+7 4+1 4+2 4+3 4+4 4+5 4+6 5+1 5+2 5+3 5+4 5+5

Présentation des tables de multiplication Jean Luc Bregeon IUFM auvergne 1 fois 2 2 2 fois 1 2 2 fois 2 4 3 fois 2 6 2 fois 3 6 4 fois 2 8 2 fois 4 8 5 fois 2 10 2 fois 5 10 6 fois 2 12 2 fois 6 12 7 fois 2 14 2 fois 7 14 8 fois 2 16 2 fois 8 16 9 fois 2 18 2 fois 9 18 10 fois 2 20 2 fois 10 20 C’est cette présentation qui s’appuie le mieux sur le sens de la multiplication tel que l’enfant le perçoit. Il peut ainsi établir plus facilement des associations entre les nombres. Par exemple, s’il sait « 4 X 2 » (8), il peut déduire « 5 X 2 » (10) car c’est 8+2. Cette présentation ne permet pas le raisonnement. Il ne peut s’agir alors que d’un apprentissage par cœur sans construction de sens.

Mémoriser et restituer des résultats « Les conditions de la mémorisation influent sur les conditions de la restitution. » Roland Charnay, professeur de mathématiques en IUFM La manière dont on a incité les élèves à mémoriser, dont on les a interrogés va avoir une influence sur la manière dont les élèves vont solliciter leurs résultats.

• Limiter le rituel de « récitation des tables » qui développe la difficulté à isoler un résultat de cette liste de résultats et empêche l’accès direct à chaque résultat. • Privilégier les interrogations collectives un élève interrogé = 29 élèves inactifs • Alterner interrogations orales (pas de support écrit) et interrogations écrites (pas de lecture de l’enseignant) • Varier les formes d’interrogations Jouer des combinaisons multiples autour des tables

Interroger les tables de multiplication A l’écrit 6 x 7=? 7 x 6=? ? x 7 = 42 ? x 6 = 42 42 : 6 = ? 42 : 7 = ? ? : 6=7 ? : 7=6 ? x ? = 42 Suites croissante et décroissante des nombres de 6 en 6, de 7 en 7 QCM : 6 x 7 = 13 ? 42 ? 67 ? Vrai / Faux : 6 x 7 = 48 (V) (F) Les enseignants-ressources en sciences de le Haute-Garonne

Interroger les tables de multiplication A l’oral « 6 fois 7 » …………………………… « 7 fois 6 » « 6 multiplié par 7 » ……………. …. . « 7 multiplié par 6 » « multiplie 6 par 7 » ………………. « multiplie 7 par 6 » « 42 est le résultat de quelle(s) multiplication(s) ? » « En 42 combien de fois 6 ? » . . « En 42 combien de fois 7 ? » « 42 divisé par 6 » …………………. « 42 divisé par 7 » « Partage 42 en 6 parts égales » « Partage 42 en 7 parts égales » « En 45 combien de fois 6 ? » … « En 45 combien de fois 7 ? » « 45 divisé par 6 » …………………. « 45 divisé par 7 » « Quel est le quotient de 42 par 6 » « Quel est le quotient de 42 par 7 »

Transposer les résultats mémorisés Tout calcul nécessite de recourir aux tables. Dans 56 + 20 ou 296 + 500, tout expert reconnaît un résultat mémorisé des tables. Pour pouvoir utiliser les tables dans toute procédure de calcul, chacun doit avoir appris à les reconnaître au-delà de leur cadre habituel. Cette reconnaissance doit être enseignée à l’école

Diversifier les supports d’entraînement « La mémorisation nécessite de l’entraînement. Pour mémoriser, il faut répéter, s’entraîner. » Roland Charnay, professeur de mathématiques en IUFM • • • Utilisation de l’ardoise Utilisation de support papier Utilisation de problèmes Utilisation de jeux Utilisation des TICE

Le procédé La Martinière Avantages : • Permet la visualisation des résultats de tous les élèves (évaluation globale de la classe et analyse des stratégies - Verbalisation) • Adapté au calcul automatisé (temps court) • Permet de travailler la concentration (temps court) Inconvénients – Points de vigilance • Peut défavoriser les élèves plus lents (temps limité) • Peut générer du stress (temps limité) • Peut générer de la compétition (comptabilisation des réussites) Les enseignants-ressources en sciences de Haute Garonne

Les problèmes • Le problème de l’autobus (calcul additif) • Le nombre pensé (calcul additif et multiplicatif) • Le nombre mystère (encadrement)

Les jeux De dés : • Pour restituer les tables (produit des deux dés marqués), dé magicien • (complément à 7), dé basculé, jeux du 5000 De cartes : • Traditionnelles (jeu des 6 cartes), numérotées, recto-verso Autres jeux de société : • Mille bornes, dominos, lotos, memory De piste : • Jeu de l’oie, le quinze vainc, trivial pursuit De plateau : • Numbles : scrable des égalités

Les TICE Le calcul en ligne. . . en ligne.

Le Matou Matheux

Sites de presse gratuits

Et enfin…

Intérêt pédagogique du calcul mental Liens avec le domaine « Nombres et calcul » • numération décimale de position • relation arithmétique entre les nombres • résolution de problèmes • techniques opératoires

Les opérations posées… … lorsque le calcul mental ou écrit en ligne atteint ses limites CP : addition avec des nombres de deux chiffres. OUI NON 28 52 + 63 + 8 Pas de calcul posé pour les calculs sans retenue

CE 1 : addition avec des nombres plus grands et de taille différente OUI 652 + 63 NON 752 + 8 soustraction : UNE technique de calcul posé CE 2 : Multiplication UNE technique de calcul posé

Les opérations posées… Le choix des techniques est laissé aux équipes d’école, il doit être suivi au cycle 3.

En résumé En ligne Propriétés des opérations Instrumenté Calculs intermédiaires Calcul (s) Posé Résultats mémorisés Mental Procédures automatisées Calcul approché

Bibliographie Le nombre au cycle 2 - apprentissages numériques – SCEREN Apprentissages numériques et résolution de problèmes, CP et CE 1 - ERMEL, Hatier Le calcul mental au quotidien - cycles 2 et 3, François Boule – SCEREN Le calcul mental entre sens et technique Denis BUTLEN