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Information, Calcul, Communication 1. Information & Calcul – Leçon 4: Représentation de l’Information Clip 2: Nombres Entiers J-C. Chappelier, R. Boulic, commentaire: P. Janson 1 / 9 1. Information & Calcul – 4. Représentation de l’Information – 2. Nombres Entiers

Plan de la leçon 1. Codage de l’information en binaire Unité élémentaire d'information ●Bits et bytes (octets) ● 2. Nombres entiers Représentation positionnelle ●Grandeur et limites ● 3. Nombres négatifs Représentation et traitement ● 4. Nombres rationnels à virgule fixe Représentation et erreurs => notation scientifique ● 5. Nombres rationnels à virgule flottante Représentation et approximation => précision ● 6. Représentation d’informations non-numériques 2 / 9 1. Information & Calcul – 4. Représentation de l’Information – 2. Nombres Entiers

Comment représenter un nombre entier naturel (≥ 0) ? Rappel ● Tout nombre peut être représenté par une suite d’éléments binaires (voir 1 er vidéoclip) ● Définition ● Une telle suite de 0 et de 1 est appelé un motif binaire Un motif binaire est insuffisant en soi ● Pour « comprendre » ce motif il faut une convention d’interprétation en tant que donnée (data) – nombre entier naturel dans le cas présent Solution ● La représentation positionnelle des nombres 3 / 9 1. Information & Calcul – 4. Représentation de l’Information – 2. Nombres Entiers

Représentation positionnelle des nombres Exemple d’un nombre entier naturel en base 10 Le nombre 703 est la notation abrégée de l’expression 7. 102+ 0. 101+ 3. 100 ● Le chiffre de droite est toujours associé à la puissance 0 de la base 10 ● La puissance de la base augmente d’une unité de chiffre en allant de la droite vers la gauche ● Cette convention de représentation positionnelle peut être admise dans n’importe quelle base ● 4 / 9 1. Information & Calcul – 4. Représentation de l’Information – 2. Nombres Entiers

Représentation positionnelle en base 2 (binaire) Repose sur les mêmes conventions qu’en base 10 (décimal) poids forts à gauche poids faibles à droite (Voir à ce sujet le vidéoclip du Prof. Boulic http: //wandida. com/fr/archives/633) 5 / 9 1. Information & Calcul – 4. Représentation de l’Information – 2. Nombres Entiers

Conversion binaire-décimal et décimal-binaire Du binaire vers le décimal ● additionner les puissances de 2 présentes dans le motif binaire Du décimal vers le binaire ● Décomposer un nombre entier X en une somme de puissances de 2 par division entières successives tant que le quotient reste ≥ 2 11 = 2 • 5 +1 = 2 • (2 • 2 + 1) + 1 = 8 + 2 +1 = 1 • 2 3 + 0 • 2 2 + 1 • 2 1 + 1 • 2 0 6 / 9 1. Information & Calcul – 4. Représentation de l’Information – 2. Nombres Entiers

Domaine couvert des nombres entiers (1) Dans un ordinateur les bits sont des objets physiques (voir 3 e module du cours) ÞUn ordinateur contient nécessairement une quantité finie de bits (d’octets) ÞIl ne peut contenir qu’une quantité finie de nombres (entiers naturels) ÞChaque nombre tient en une quantité finie de bits (d’octets) Þ parfois 16 bits (2 octets), plus typiquement 32 bits (4 octets), de plus en plus 64 bits (8 octets) 32 bits 231 230 229 228 227 226 225 224 223 222 221 220 219 218 217 216 215 214 213 212 211 210 29 28 27 26 25 24 23 22 21 20 32 ÞLe nombre d’entiers représentables est 2 Þ Le domaine d’entiers ainsi couverts est Min = motif binaire avec des 0 partout = zéro 32 9 ●Max = motif binaire avec des 1 partout = 2 – 1 = 4294967295 ~ 4. 3 10 ● 7 / 9 1. Information & Calcul – 4. Représentation de l’Information – 2. Nombres Entiers

Domaine couvert des nombres entiers (2) Les calculs sur des nombres entiers naturels sont exacts si le résultat désiré est aussi un entier appartenant au domaine couvert ● => La représentation choisie des nombres entiers naturels doit tenir compte de l’ensemble des résultats possibles => Plusieurs causes peuvent entraîner des résultats inexacts Exemple: division entière => perte de reste fractionnaire 31 – 1 ●Exemple: multiplication, addition => résultat au delà du maximum de 2 ●Exemple: soustraction => résultat en dessous du minimum de 0 ● 8 / 9 1. Information & Calcul – 4. Représentation de l’Information – 2. Nombres Entiers

Exemples de dépassement de capacité Exemple 1: addition de 2 entiers d’ 1 seul bit 0 0 1 1 +0 +1 ----0 1 1 10 ●Exemple 2: addition de 2 entiers de 32 bits ● 232 231 <= la retenue est perdue 20 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 retenue 1 X 1 1 1 1 1 1 1 1 perdue 0 0 0 0 0 0 0 0 résultat 9 / 9 1. Information & Calcul – 4. Représentation de l’Information – 2. Nombres Entiers